關(guān)于多元凸函數(shù)性質(zhì)的探討

胡　芳

(武漢商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 電商管理學(xué)院，湖北 武漢 430205)

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關(guān)于多元凸函數(shù)性質(zhì)的探討

胡芳

(武漢商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 電商管理學(xué)院，湖北 武漢 430205)

凸性及廣義凸性問題已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)工作者們極大的興趣與關(guān)注，并取得了很多重要結(jié)果，但是由于許多理論問題尚處于發(fā)展之中，很多結(jié)論仍有待進(jìn)一步完善，對凸性的認(rèn)識還需進(jìn)一步系統(tǒng)化。文章充分運(yùn)用文獻(xiàn)研究法，在翻閱大量國內(nèi)外的參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出線性拓?fù)淇臻g中函數(shù)的凸性定義及等價定義，進(jìn)一步完善多元凸函數(shù)的性質(zhì)及判定等問題，從而豐富了凸函數(shù)的理論。

凸集；多元凸函數(shù)；凸性

近2個世紀(jì)，凸函數(shù)的研究主要有以下幾個方面： 其一，凸函數(shù)的應(yīng)用研究.Jensen首次給出凸函數(shù)的概念. 自建立凸函數(shù)理論以來，許多數(shù)學(xué)工作者都致力于一元凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用，如Jensen、Holder不等式的巧妙應(yīng)用[1]，使證明簡練明了.其二，凸函數(shù)的性質(zhì)研究.徐海巖介紹二元函數(shù)諸如有界性、連續(xù)性等性質(zhì)[2]，f(x)凸性與f(x)的上圖凸性關(guān)系[3]，凸之和仍凸、復(fù)合函數(shù)的凸性,由f(x)的凸性推及到g(x)=(f(x)+|f(x)|)f(x)的凸性，并給出了此性質(zhì)在求解線性與非線性不等式組及線性規(guī)劃中的應(yīng)用[4].其三凸函數(shù)的判定研究.楊新民在文獻(xiàn)[5]研究了擬凸函數(shù)構(gòu)成凸函數(shù)的條件，連續(xù)凸函數(shù)的判定定理[6].

凸性及廣義凸性問題已經(jīng)有很多重要的結(jié)果.但仍然有許多理論問題尚處于發(fā)展之中，有待進(jìn)一步完善和系統(tǒng)化，筆者力求通過本文的研究，給出凸函數(shù)較為全面、系統(tǒng)地介紹.

定義1設(shè)D?Rn是非空開集，若對?x,y∈D，及任意實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，恒有：λx+(1-λ)y∈D，則稱D是凸開集[5]．

定義2設(shè)D?Rn是凸開集，f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)[5]，若對?x,y∈D，及?實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，恒有：

(1)

則稱f是D上的下凸函數(shù)，簡稱凸函數(shù)．

注：-f是D上的下凸函數(shù)，則稱f是D上的凹函數(shù)．

若當(dāng)λ∈[0,1]且x≠y時,(1.1)中的不等式為嚴(yán)格不等式，則稱f是D上的嚴(yán)格凸函數(shù)．

則稱f是D上的凸函數(shù)．

定義4設(shè)D?Rn是凸開集，若f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，稱圖像空間Rn+1=Rn×R中的集合epif為f的上圖，其中epif={(x,c)T∈D×R|f(x)≤c}.

定義5設(shè)D?Rn是凸集，若f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，稱集合S(f,c)為水平集,

定理1定義2與定義3等價．

證明定義3?定義2顯然．

用數(shù)學(xué)歸納法證明定義2?定義3

n=2，顯然成立.

(2)

由歸納假設(shè)知，

(3)

定理2設(shè)D?Rn是凸開集，f是定義在D上的n元函數(shù)，則f是凸函數(shù)的充要條件是epif是Rn+1中的凸集.

證明先證“?”.

f∶D→R是凸函數(shù).設(shè)任意(x,c1)T、(y,c2)T∈epif，即：f(x)≤c1，f(y)≤c2

由f凸性知：f[λx+(1-λ)y]≤λf(x)+(1-λ)f(y)≤λc1+(1-λ)c2

則有：(λx+(1-λ)y,λc1+(1-λ)c2)T∈epif

λ(x,c1)T+(1-λ)(y,c2)T∈epif

可知：epif是Rn+1中的凸集.

再證“?”.設(shè)epif是Rn+1中的凸集. ?x,y∈D，?λ∈[0,1]

若(x,f(x))T∈epif，(y,f(y))T∈epif，由epif的凸性得：

從而f是凸函數(shù).

定理3設(shè)D?Rn是凸開集，f、g分別都是定義在D上的n元實(shí)值凸函數(shù)，則h(x)=max{f(x),g(x)}也是D上的凸函數(shù)[7].

定理4設(shè)D?Rn是凸開集，f、g分別都是定義在D上的n元實(shí)值凸函數(shù)，則Φ(x)=μ1f(x)+μ2g(x)也是D上的凸函數(shù)[7]，其中常數(shù)μ1≥0， μ2≥0.

定理6設(shè)D?Rn是凸開集,f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù)，?x,y∈D，令F(?)=f(?x+(1-?)y),?∈[0,1]，則f是D上的凸函數(shù)的充要條件是F(?)在[0,1]上是凸的[8].

定理7設(shè)D?Rn是凸開集, f是定義在D上的n元實(shí)值非負(fù)凸函數(shù)，若S(x)=f2(x),則S(x)也是D上的凸函數(shù).

證明由f是非負(fù)凸函數(shù)，?x,y∈D，?λ∈[0,1]，有：

即：

(4)

又

則：

(5)

結(jié)合式(4)、(5)得：

推廣定理7可得：

定理8設(shè)D?Rn是凸開集, f和g都是定義在D上的n元實(shí)值凸函數(shù)，且f和g是具有相同單調(diào)性的單調(diào)函數(shù)，又f(x)≥0，g(x)≥0，若W(x)=f(x)g(x),則W(x)也是D上的凸函數(shù).

證明 由f和g都是凸函數(shù)，?x,y∈D，?λ∈[0,1]，有：

(6)

又

若f(x)=f(y)≡C或g(x)=g(y)≡C，其中C為常數(shù).由定理4，結(jié)論顯然.

若f和g不恒為常函數(shù)，又f和g是具有相同單調(diào)性的單調(diào)函數(shù)，則有：

則有：

(7)

由式(6)、(7)得：

即W(x)是D上的凸函數(shù).

證明僅就限制在Dxi上的情況進(jìn)行證明.

則有：

即：f[λx+(1-λ)y]≤λF(x)+(1-λ)F(y).

注：當(dāng)沿某一方向上f(p)是凸函數(shù)，并不足以說明f是D上的凸函數(shù).

定理10設(shè)D?Rn是凸開集, f是定義在D上的n元實(shí)值凸函數(shù)，f(x)是凸函數(shù)的充要條件是f限制在任何的Dxi上是一元凸函數(shù)，

證明“?”定理9已證.

下證“?”，f限制在任何的Dxi上f(x)是一元凸函數(shù)，設(shè)?s,t∈D，(s≠t)

定義F(u)=f(x0+au)且由充分性假設(shè)F(u)是一元凸函數(shù)得：

從而有： f[λs+(1-λ)t]≤λf(s)+(1-λ)f(t)，即f(x)是凸函數(shù).

[1]徐娜.凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013,(13):117.

[2]徐海巖.多元凸函數(shù)的某些性質(zhì)[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1988,7(1): 90-94.

[3]蔣善利,普豐山.凸函數(shù)的性質(zhì)與判斷[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,26(6):13-14.

[4]時貞軍.r-凸函數(shù)與幾個重要不等式的聯(lián)系與應(yīng)用[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,33(5):703-706.

[5]Yang X M, Teo K L, Yang X Q. A Characterization of Convex Function[J].Applied Mathematics Letters,2000,13(1):27-30.

[6]陶有德,朱葉,陶亦文.連續(xù)凸函數(shù)的判定定理[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,33(3): 27-29.

[7]Rockafellar R T.Convex Analysis[M].Pinceton University Press,1970.

[8]陳喬.E-凸函數(shù)的一個新性質(zhì)[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,25(4):8-11.

責(zé)任編輯王菊平

A discussion about the properties of the multivariate convex function

HU Fang

(School of E-Business Management, Wuhan International Trade College, Wuhan 430205, Hubei, China)

Convexity and generalized convexity problems have aroused great interest in and attracted great attention of professionals of mathematics, and many significant achievements have been attained. However, because of the underdevelopment of many theories, many conclusions remain imperfect and the understanding of convexity needs to be further systematized. Applying literature research method and based on numerous domestic and international literature, the paper presents convexity definition and equivalence definition of linear space of convex function in linear topological space. By doing so, it is supposed to further improve the properties and determination of multivariate convex function, so as to enrich the theory of convex function.

convex set; multiple convex function; convexity

O1

A

1003-8078(2016)03-0004-04

2016-03-17

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.02

胡芳，女，湖北武漢人，講師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。