一致分數(shù)階積分的Hermite-Hadamard型不等式及差值估計

曾志紅，時統(tǒng)業(yè)，曹俊飛

（1.廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報編輯部，廣東 廣州 510303；2.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800；3. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510303）

1 引言和引理

設(shè)f是[a,b]上的凸函數(shù)(即對于任意x,y∈[a,b]和任意λ∈[0,1]有f(λx+(1?λ)y)≤λf(x)+(1?λ)f(y))，則有著名的Hermite-Hadamard不等式成立：

關(guān)于Hermite-Hadamard不等式的改進、推廣和加細可見文獻[1-3].

利用一階導(dǎo)數(shù)可估計由式(1)生成的差值[4-5].

文[6]引入一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和一致分數(shù)階積分的定義.

定 義1[6]設(shè)0<α≤1，f:[0,∞)→R在點t>0處的一致α分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

如果f在某個區(qū)間(0,a)是一致α分數(shù)階可導(dǎo)的，且存在，則定義

當f在點t處可微時，Dα(f)(t)=f′(t)t1?α.如果f在區(qū)間I上每一點處的一致α分數(shù)階導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f在區(qū)間I上是一致α分數(shù)階可微的.

定義2[6]設(shè)0<α≤1，0≤a

存在，則稱f在[a,b]上是一致α分數(shù)階可積的.

引理1[7]（一致分數(shù)階積分分部積分法）設(shè)0<α≤1，0≤a

定理1[8](一致分數(shù)階Hermite-Hadamard型不等式)設(shè)α∈(0,1]，f:[a,b]→R一致分數(shù)階可微，

（1）若Dα(f)(t)單調(diào)增加，則有

（2）若Dα(f)(t)單調(diào)增加，f單調(diào)減少，則有

定理2[11]設(shè)α∈(0,1]，0

引理2[11]設(shè)α∈(0,1]，0

文[11]給出了由式(4)的左邊生成的差值的估計，本文將給出這個差值的新的估計.

引理3 設(shè)α∈(0,1]，0≤a

證明 由引理1有

將式(6)與式(7)相加，則式(5)得證.

2 主要結(jié)果

定理3 設(shè)α∈(0,1]，0

證明 利用引理2，有

式（8）的左邊不等式得證.

由f的凸性及αbα?1(b?a)≤bα?aα≤αaα?1(b?a)，有

式（8）的右邊不等式得證.

注1 式（8）的左邊不等式是式(4)的左邊不等式的加強.事實上，由貝努利不等式，對任意有xα≤1+α(x?1)≤1?αx，故有

注2 式(8)的右邊不等式與式(4)的右邊不等式各有強弱.事實上，當αaα?1≥bα?1時，有

定理4 設(shè)α∈(0,1]，0

利用微分中值定理，存在ξ∈(a,b)，，使得

(i)當f(b)≥pf(a)時，有a≤c1≤d，c2≥b，由引理3有

對任意t∈[a,c1]，有，由的凸性有

對任意t∈[c1,d]，有，由的凸性有

對任意t∈[d,b]，有，由的凸性有

綜合式（10）～（13）得

（ii）當f(a)

對任意t∈[a,d]，有，又由的凸性有

（iii）當max{q,r}f(a)≤f(b)

（iv）當qf(a)≤f(b)≤rf(a)時，有d1≤0，d≤c2≤b，由引理3有

對任意t∈[d,c2]，有，又由的凸性有

對任意t∈[c2,b]，有，又由的凸性有

（v）當rf(a)≤f(b)≤qf(a)時，有0≤c1≤a，0≤c2≤d，由引理3有

對任意t∈[a,d]，有，又由的凸性有

對任意t∈[d,b]，有，又由的凸性有

（vi）當f(b)≤min{q,r}f(a)時，有0≤c1≤α，0，d≤c2≤b，由引理3有

式（9）得證.

推論1 設(shè)α∈(0,1]，0≤a

證明 在定理4(i)和(iii)中 取α=1即 可得證.