加強四種能力培養(yǎng) 提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》提出了“三會\"的核心素養(yǎng)目標(biāo)，并且界定了初中階段的九大核心素養(yǎng)表現(xiàn)：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識[1].在這九個核心素養(yǎng)表現(xiàn)中有三個“能力\"指標(biāo)，分別是抽象能力、運算能力和推理能力，我們不妨稱之為“能力素養(yǎng)”.

能力素養(yǎng)是一個人素養(yǎng)系統(tǒng)的重要組成部分.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力達到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》提出的“總目標(biāo)”的自的.在初中學(xué)段，主要包括四種關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力.

1閱讀理解能力

閱讀理解能力是指在閱讀過程中獲取信息，并能利用信息理解、分析直至解決材料中有關(guān)問題的能力.在理解“閱讀能力\"時應(yīng)特別注意“閱讀過程”四個字.

數(shù)學(xué)閱讀理解能力是在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)閱讀的過程中逐漸形成并發(fā)展得到的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生開展閱讀活動.學(xué)生在閱讀時，能從“材料”中獲取有關(guān)數(shù)學(xué)信息，并根據(jù)材料中的“問題\"進行思考、探索、猜想、推理等系列活動，這些活動對于學(xué)生多種能力的發(fā)展都是有益的.所以，學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀，不僅提高了閱讀理解能力，而且也有助于發(fā)展推理能力、抽象能力等素養(yǎng).

數(shù)學(xué)閱讀是一個自學(xué)的過程，這個過程主要包括三個環(huán)節(jié)：

（1）在閱讀材料的基礎(chǔ)上，分析、歸納出其基本規(guī)律或基本結(jié)構(gòu)；

（2）充分理解材料中重要的數(shù)學(xué)概念或句子的含義，在閱讀“材料”的過程中，盡可能多地獲取“材料”中含有的信息，并且能捕捉、推斷閱讀材料中的隱含信息；

（3）在分析的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確找到材料的“主題”，由此“歸納—概括”出中心要點.

學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力伴隨著閱讀量的增加，也處在不斷的變化、提高的過程之中.一個人的閱讀理解能力是他將來繼續(xù)學(xué)習(xí)或工作的基礎(chǔ)“素養(yǎng)”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，適當(dāng)設(shè)置一些供學(xué)生閱讀的材料，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力.

案例1遞減數(shù)問題（重慶 2023 年中考題的改編）

一個各數(shù)位上的數(shù)字不為0且互不相等的四位數(shù)abcd，如果滿足 ，則稱這個四位數(shù)為“遞減數(shù)”.例如：四位數(shù)4129是“遞減數(shù)”；而5324不是“遞減數(shù)”.

（1）如果四位數(shù) 是一個“遞減數(shù)”，請求出這個數(shù)；

（2）如果一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)abc與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)bcd的和能被9整除，求滿足條件的數(shù)的最大值.

簡解：（1）因為 31+12=43 ，所以 10a+3=43 ，解得 a=4 ，因此這個數(shù)是4312.

（2）由題意可知， 10a+b-（10b+c）=10c+d ，所以 10a-9b-11c=d .因為一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù) abc 與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)bcd的和為 100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+ c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99× （a+b）+11a+2b. 又因為前三個數(shù)字組成的三位數(shù) 與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)bcd的和能被9整除，所以得到 是整數(shù).結(jié)合題意，可確定出當(dāng) a=8 時， .b=1，c=6，d=5. 所以符合題目條件的數(shù)的最大值為8165.

設(shè)計意圖：本題給出了“遞減數(shù)”的定義，考查學(xué)生對這個定義的理解和應(yīng)用情況，要求根據(jù)“遞減數(shù)”的意義解答兩個問題.

對于第（1）問，學(xué)生通過閱讀，明確“遞減數(shù)”的意義并構(gòu)造方程是解答的關(guān)鍵.學(xué)生在解答第（2）問時，有兩個地方應(yīng)特別注意：一是通過閱讀，在理解題意的基礎(chǔ)上建立方程 10a+b-（10b+c）=10c+d ；二 （204是根據(jù)題意得到 是整數(shù).這兩個地方既是學(xué)生容易出錯的地方，也是解決問題的關(guān)鍵所在.

學(xué)生的閱讀理解能力是其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)志之一，閱讀理解能力的“強弱\"決定著他們學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合具體知識點，適當(dāng)補充一些閱讀材料，讓學(xué)生進行閱讀學(xué)習(xí).學(xué)生通過閱讀，能不斷提高自己的閱讀理解能力、運算能力以及推理能力，同時還能養(yǎng)成勤于觀察、思考、討論的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì).這些良好的“數(shù)學(xué)品質(zhì)\"都是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，對學(xué)生一生的發(fā)展都起著重要作用.

2運算能力

《課標(biāo)（2022年版）》把“運算能力\"作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一，并且強調(diào)指出，運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力[1].這種能力表現(xiàn)在尋求合理簡捷的方法、途徑并據(jù)此得到運算結(jié)果兩個方面.學(xué)生的運算能力有“強”“弱”之分，能力“強”的學(xué)生不僅表現(xiàn)在運算速度快且準(zhǔn)確，還表現(xiàn)在他們能理解運算方法與算理之間的關(guān)系.

學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的形成與提高離不開過程，這里的過程主要指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識（含數(shù)學(xué)概念、公式、法則、運算律）和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決有關(guān)問題的過程.

在《課標(biāo)（2022年版）》界定的絕大部分“課程內(nèi)容\"的學(xué)習(xí)中，都離不開數(shù)學(xué)運算.“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容就是用運算“維系”的；“圖形與幾何”中線段的長短，角的大小，圖形的周長、面積，圖形的全等、相似，圖形的坐標(biāo)表示等都涉及運算；在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域中，學(xué)生在收集數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測，利用頻率估算概率的大小以及準(zhǔn)確求出概率的過程都與數(shù)學(xué)運算密不可分.

我們知道，數(shù)學(xué)知識主要包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題以及數(shù)學(xué)論證，數(shù)學(xué)運算始終貫穿于這三大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中.

“數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到現(xiàn)代社會的各個方面\"]，我們的生活中一刻也離不開數(shù)學(xué)，《課標(biāo)（2022年版）》提出的“三會”目標(biāo)離開了“數(shù)學(xué)運算”是無法實現(xiàn)的.正因為如此，《課標(biāo)（2022年版）》才把運算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分來要求，這要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中都要強化對學(xué)生運算能力的培養(yǎng)[2].

從案例1第（2）問的解答過程來看，學(xué)生通過閱讀理解題意是關(guān)鍵，能進行數(shù)學(xué)運算也是非常重要的因素.

案例2二次函數(shù)中的問題（福建 2023中考題節(jié)選）

已知拋物線 y=ax²+bx+3 交 x 軸于 A（1，0） ，B（3，0） 兩點， M 為拋物線的頂點， ?_C，D 為拋物線上不與 A，B 重合的相異兩點，記 AB 中點為 E ，直線 AD .BC的交點為 P

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若 ，且 mlt;2 ，求證： c _D，E 三點共線.

（1）解析：根據(jù)拋物線 y=ax²+bx+3 經(jīng)過點A（1，0），B（3，0） ，利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組 解得{a=1， 由此得到拋物線的函， ，數(shù)表達式為 y=x²-4x+3

（2）證明：設(shè)直線 CE 的函數(shù)表達式為 y=kx+n L k≠0） .因為 ∣AB 中點為 E ，所以點 E 的坐標(biāo)為（2，0）.

把點 E（2，0），C（4，3） 的坐標(biāo)分別代入 y=kx+ n ，得到方程組 2’故直線CE對應(yīng)的函數(shù)表達式為

由于點 在拋物線 y=x²-4x+3 上，因此把點 的坐標(biāo)代入可得 m²-4m+3= ，解得 或 根據(jù)mlt;2得m= 2，所以 進一步可判斷 D 在直線 CE 上，即Φ_C，D，E 三點共線.

設(shè)計意圖：本題以“二次函數(shù)”為載體，考查學(xué)生對一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程等基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用情況.本題第一問屬于“常規(guī)”的計算問題，第二問屬于“代數(shù)推理”問題.解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識.從解答過程看，這兩問都是以“計算”為主.通過本題可考查學(xué)生的運算能力、推理能力等素養(yǎng).學(xué)生在平常練習(xí)中經(jīng)常做類似的題目，有助于培養(yǎng)和提高他們的數(shù)學(xué)運算能力.當(dāng)然這也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

《課標(biāo)（2022年版）》在初中學(xué)段共提出了157條課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教材是課標(biāo)的具體化“材料”，學(xué)生是通過學(xué)習(xí)這個“材料\"完成課程內(nèi)容的，也是通過學(xué)習(xí)這個“材料\"實現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》提出的“課程總目標(biāo)”的.學(xué)生學(xué)習(xí)這些課程內(nèi)容的過程幾乎都與運算相關(guān)，這樣的過程有益于學(xué)生運算能力的發(fā)展與提高.

3抽象能力

《課標(biāo)（2022年版）》指出，抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力[1].

在數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法等“知識\"的教學(xué)中，教師應(yīng)認真研讀教材內(nèi)容，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)實情，結(jié)合所學(xué)知識的特點，設(shè)計系列問題.學(xué)生在“問題情境\"中通過思考、探索、概括等活動學(xué)習(xí)知識時，必將經(jīng)歷“數(shù)學(xué)抽象\"的過程，這是學(xué)生抽象能力得到培養(yǎng)和提高不可或缺的過程.

案例3一元二次方程概念的建立過程

一元二次方程是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的重要方程，為了以此為“載體”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，有的老師設(shè)計了下面的系列問題：

【問題情境】

（1）ABCD是一個矩形硬紙板，已知長為 40cm ，寬為 30cm 首先在四個直角 A，B，C，D 處分別剪去一個同樣大小的小正方形（圖1），然后把紙板的四邊沿虛線折起，即可做成一個無蓋紙盒.假設(shè)無蓋紙盒的底面積為 600cm² ，剪去小正方形的邊長為 acm ，則可列方程為

（2）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小3，這個兩位數(shù)比個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的3倍小10.如果設(shè)個位數(shù)字為 x ，那么可列方程為_

（3）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會.問：甲乙行幾何？”

大意為：“甲乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度是7，乙的速度是3.乙向東行走，甲向南走了10步后向東北行走，與乙相遇.問：相遇時，甲，乙分別走了多少步？”

設(shè)甲，乙兩人相遇所用的時間為t，此時甲走的路程是 ，乙走的路程是 ；于是我們可建立方程

設(shè)計意圖：《課標(biāo)（2022年版）》要求學(xué)生“能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義”，同時經(jīng)歷一元二次方程的產(chǎn)生過程.根據(jù)這一要求，我們設(shè)計了上面的系列問題情境，該情境含有三個問題.學(xué)生通過閱讀、思考問題（1）和問題（2），容易得到方程 （30-2a）（40-2a）= 600和 x+10（x+3）=3x（x+3）-10. 對于問題（3），采用的是間接“設(shè)元法”，如果設(shè)甲、乙兩人相遇時用的時間為 Ψ_t ，那么只要求出相遇時用的時間 χ_t ，就能進一步求出甲、乙二人各自行走的路程.學(xué)生根據(jù)“勾股定理”不難得到方程 （3t）²+10²=（7t-10）² ：

學(xué)生通過解答問題（1）和（3），不僅感受到“數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)”，還能感悟到數(shù)形結(jié)合以及相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時由于問題（3）取自我國古代數(shù)學(xué)名著，所以本題還能讓學(xué)生“感受”到數(shù)學(xué)史的價值，增強學(xué)生的愛國心.

【抽象概括】

（4）觀察下面三個方程，說出它們的特點①a²-35a-150=0 ； ②3x²-2x-40=0 ③2t²-7t=0 （5）上述三個方程的本質(zhì)特征是什么？

設(shè)計意圖：我們知道，“抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性的，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的途徑有多種，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程就是行之有效的途徑.為培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，我們設(shè)計了抽象概括這個環(huán)節(jié)，

對于問題（4），學(xué)生可能能說出三個方程的諸多屬性.這些屬性既有本質(zhì)的屬性，也有非本質(zhì)的屬性.為了歸納、概括出一元二次方程的概念，我們只關(guān)注這些屬性中的本質(zhì)屬性.這就是設(shè)計問題（5）的目的所在，教學(xué)時教師應(yīng)舍得在這里下功夫，給學(xué)生充足的時間進行歸納、概括與討論.學(xué)生概括本質(zhì)屬性時需要具備一定的抽象能力，這樣也進一步提高了抽象能力.在學(xué)生抽象出方程的本質(zhì)屬性后，教師及時給出一元二次方程的概念.

數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)量關(guān)系和空間形式上揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法[3.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要結(jié)合具體知識的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生透過表面現(xiàn)象“看到\"事物“本質(zhì)\"的能力，這種“去偽存真”的功夫是在學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程中逐漸形成的.

4推理能力

《課標(biāo)（2022年版）》指出：“推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.\"推理能力的形成、發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程密不可分.

《課標(biāo)（2022年版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何\"“統(tǒng)計與概率”三個領(lǐng)域的課程內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“載體”[4].這就要求我們在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這三個領(lǐng)域的課程內(nèi)容以及綜合利用這三個領(lǐng)域的知識開展“綜合與實踐”活動時，都要“適時適度”地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

從案例1和案例2的解答過程看，都用到了推理能力，這樣的題自對學(xué)生推理能力的形成與發(fā)展都具有積極的意義.

案例4究竟錄取誰

某校學(xué)生會要在小亮和小瑩兩位同學(xué)中選擇一人擔(dān)任文藝部干事.為了公正公平，學(xué)校對二人進行了量化測試.測試從“文化水平、藝術(shù)水平、組織能力”三個方面進行，測試（單項滿分100分）結(jié)果如表1所示.

（1）如果用三個方面成績的平均數(shù)作為選拔條件，你認為該錄取誰？

（2）如果把“文化水平、藝術(shù)水平、組織能力”三個方面的成績分別按照 20%，20%，60% 的比例計人綜合成績，根據(jù)綜合成績該選拔誰？

設(shè)計意圖：主要考查學(xué)生對算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)概念的理解情況以及應(yīng)用這些知識解決問題的能力.

學(xué)生通過閱讀，容易給出下面的解答：

（1）小亮的平均成績?yōu)?"（分）；小瑩的平均成績?yōu)?"分）.

因為小瑩的平均成績高于小亮的平均成績，所以應(yīng)該錄取小瑩.

（2）小亮的綜合成績?yōu)?80×20%+88×20%+ 84×60%=84 （分）；小瑩的綜合成績?yōu)?83×20%+ 95×20%+77×60%=81.80 （分）.

因為小亮的綜合成績高于小瑩的綜合成績，所以應(yīng)該錄取小亮.

從解答過程看，這兩個小題的解答過程都含有推理過程，這種統(tǒng)計推理能力也屬于推理能力的范疇.

我們通過四個具體案例闡述了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)在知識學(xué)習(xí)過程中加強對學(xué)生閱讀理解能力、運算能力、抽象能力、推理能力的培養(yǎng)；在應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的過程中進一步發(fā)展這些能力，從而不斷提高和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：7.

[2]李樹臣，李麗娜.深入開展探索活動不斷提升核心素養(yǎng)——安徽省2023年中考第23題教學(xué)研究[J.中數(shù)數(shù)學(xué)雜志，2023（10）：45-48.

[3]張金良.解密數(shù)學(xué)抽象探索教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)通報，2019（8）：23-26，66.

[4]李樹臣.立足三個過程培養(yǎng)推理能力[J].中數(shù)數(shù)學(xué)雜志，2024（8）：1-5.Z