步步進階 拓展提升

“幾何整體教學(xué)體現(xiàn)在幾何概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幾何內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，幾何方法的一致性.\"[這與邢成云[2]老師提出的“整體化教學(xué)\"相合.本節(jié)課在研究\"線段的垂直平分線、角的平分線”的基礎(chǔ)上，進階性研究三角形中的軸對稱圖形——等腰三角形.通過“問題驅(qū)動\"\"探究活動”“小組合作”，幫助學(xué)生形成研究三角形的思路方法.

1教材分析

等腰三角形是立足“線段”“角”等一維、二維軸對稱圖形基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)，三角形的軸對稱性自然進人我們的視野，而一般的三角形不具備這一特性，但邊特殊的等腰三角形具備，由此確定了這一進階性研究對象.另外，三角形、全等三角形的知識也是學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ).等腰三角形的性質(zhì)是證明線段相等、角相等、兩條直線垂直的常用依據(jù)，也是下節(jié)課研究等邊三角形的重要依據(jù)，屬于是全章或整個平面幾何中重要的圖形之一，也是學(xué)習(xí)四邊形、圓等知識的重要基礎(chǔ).對于等腰三角形性質(zhì)的證明，需要先添加輔助線構(gòu)造全等三角形，這一構(gòu)造策略也是學(xué)生解題過程中經(jīng)常遇到的，更是體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想的良好載體.

本節(jié)課基于單元整體思維，把等腰三角形的性質(zhì)、判定整合成一節(jié)課完成，更利于形成等腰三角形的小單元系統(tǒng)，能夠提高教學(xué)效能，由此獲得的研究策略與方法也可遷移到等邊三角形的研究中去.

2教學(xué)目標(biāo)

（1）探究并理解等腰三角形的性質(zhì)、判定；（2）能夠運用等腰三角形的性質(zhì)與判定證明線段相等、角相等、兩條直線垂直；

（3）理解等腰三角形的性質(zhì)與判定的互逆關(guān)系，能根據(jù)具體問題選擇合適的定理解決問題.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點確定為：探究理解等腰三角形的性質(zhì)與判定；教學(xué)難點確定為：等腰三角形“三線合一\"性質(zhì)的推理與應(yīng)用.

3教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)境引悱，孕育模型.

問題1欣賞圖片（圖1），能否找出你熟悉的圖形？

追問1：前面學(xué)習(xí)了兩個軸對稱圖形——線段、角，按照學(xué)習(xí)圖形的規(guī)律，接下來研究哪個圖形？

預(yù)設(shè)：三角形，等腰三角形.

追問2：大家對等腰三角形有哪些了解？

追問3：請結(jié)合圖2，指出三角形ABC各條邊的名稱與各個角的名稱.

師生活動：教師結(jié)合學(xué)生回答板書相關(guān)定義.

設(shè)計意圖：結(jié)合圖片導(dǎo)入課題，讓學(xué)生感受等腰三角形在生活中的

運用，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.等腰三角形的相關(guān)概念學(xué)生在小學(xué)已初步認(rèn)識，考慮到學(xué)生可能會遺忘，在此通過回顧做一喚醒.

環(huán)節(jié)二：設(shè)疑猜想，形成模型，

問題2類比我們學(xué)習(xí)圖形的經(jīng)驗，接下來要研究等腰三角形的哪些內(nèi)容？

預(yù)設(shè)：性質(zhì)、判定、尺規(guī)作圖.

追問：在圖2中，根據(jù)等腰三角形的定義，可知AB=AC ，進一步可以得出哪些結(jié)論？

預(yù)設(shè)： ∠B=∠C

教師借助幾何畫板演示，并改變等腰三角形的形狀，用實驗驗證猜想.

設(shè)計意圖：從等腰三角形的定義出發(fā)，借助直觀感知形成猜想，進而過渡到下階段的理性思考.

環(huán)節(jié)三：合作探究，驗證模型.

問題3那如何證明 ∠B=∠C 呢？

引導(dǎo)學(xué)生思考證明兩個角相等的方法，由此把構(gòu)造全等三角形拎出來，形成作高線、中線、角平分線等3種基本方法.

追問1：這3種不同方法的共同點是什么？你是如何想到這些方法的？

追問2：由以上證明還能進一步發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

通過師生活動，獲得等腰三角形的“等邊對等角”“三線合一\"兩個重要性質(zhì)，進而從推理的角度證得等腰三角形是軸對稱圖形.

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷等腰三角形性質(zhì)的探究證明過程，借助對不同方法的探究，體會并發(fā)現(xiàn)添加輔助線的方法，在獲得兩個重要性質(zhì)的同時，加深對角平分線、中線、高線的認(rèn)識，并從理論的角度認(rèn)識等腰三角形的軸對稱性.

環(huán)節(jié)四：前后聯(lián)系，理解模型，

問題4現(xiàn)在得出了等腰三角形的性質(zhì)，接下來應(yīng)該繼續(xù)研究什么內(nèi)容？說說這樣研究的想法.

預(yù)設(shè)：等腰三角形的判定，類比平行線的研究思路.

追問：根據(jù)平行線的研究經(jīng)驗，應(yīng)如何研究等腰三角形的判定？

預(yù)設(shè)：研究其性質(zhì)定理的逆命題.

師生活動略.

設(shè)計意圖：結(jié)合追問，實現(xiàn)研究方法的遷移，明確等腰三角形的研究路徑仍然是從定義出發(fā)研究性質(zhì)與判定，而判定與性質(zhì)一般呈互逆關(guān)系，通過活動引導(dǎo)學(xué)生從中感悟?qū)W習(xí)這些性質(zhì)與判定的價值.

環(huán)節(jié)五：發(fā)散思維，鞏固模型.

問題5已知線段 BC ，請你用尺規(guī)作圖畫出等腰三角形 ABC ，使得 AB=AC ，再用尺規(guī)作圖畫出ΔABC 的外角 ∠DAC 的平分線 AE .給出 ①AB= AC 4 ②AE 平分 ∠DAC ③AE//BC ，請你以其中兩個為條件，另外一個為結(jié)論，寫出可以組成的所有真命題，并給出證明.

設(shè)計意圖：此題是對課本中的兩個例題進行整合，讓學(xué)生完成尺規(guī)作圖，再結(jié)合自己畫出的圖形寫出命題并對問題進行思考，借助對不同命題的證明，考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運用知識解決問題的能力.這種開放題的設(shè)計，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高他們的深度思考能力.

環(huán)節(jié)六：反思評價，拓展模型.

問題6通過等腰三角形的學(xué)習(xí)，大家有哪些新的收獲？

引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)過程思考，得出數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型等方面的收獲.

設(shè)計意圖：從不同角度進行總結(jié)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的梳理歸納能力.

4教學(xué)立意與闡釋

4.1重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累

引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要義之所在.課堂上通過實驗與探究，學(xué)生在“感悟理解”的基礎(chǔ)上學(xué)會學(xué)習(xí)、思考，這樣不僅加深了對等腰三角形的性質(zhì)、判定的理解，也可以逐步形成直觀感知.羅增儒教授說“沒有理解的操作是傻練，越練越傻；沒有操作的理解是空想，越想越空.\"學(xué)生只有經(jīng)歷了實驗操作，才會慢慢把知識化為技能，只有形成了能力，才可談提高核心素養(yǎng).

4.2重視學(xué)生多角度提出問題

在等腰三角形性質(zhì)的證明過程與例題的設(shè)計中，都注重了題目的多解與開放性.“多解\"的證明，可以讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，有助于學(xué)生掌握解決問題、分析問題的方法，也為學(xué)生的思維打開了一扇窗，拓寬他們的思維廣度，發(fā)展他們的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

4.3重視從幾何直觀到邏輯證明

整節(jié)課從定義出發(fā)，通過對等腰三角形的直觀感知，引導(dǎo)學(xué)生理解基本概念；借助幾何直觀提出猜想，再通過邏輯推理論證得出等腰三角形的對稱性.這不僅加深了他們對等腰三角形性質(zhì)的理解，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維能力和解決問題的能力.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅掌握了相關(guān)的幾何知識，還學(xué)會了如何將直觀感受轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

[1劉志昂.從事實到結(jié)構(gòu)：幾何整體教學(xué)的實踐與思考以等腰三角形教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報，2023，62（12）：24-28.

[2]邢成云.“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)[J].中國教師，2021（10）：38-41.Z