求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)的解法

求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)是初中數(shù)學(xué)中的常見題型，主要是利用等線段共點(diǎn)、特殊角，以及已知的直角三角形或構(gòu)造的直角三角形，構(gòu)造“一線三垂直”模型、“一線三等角\"模型，將求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求線段的長度問題，下面通過具體的例題來探討其解法.

1例題呈現(xiàn)

題目如圖1，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4，0），將線段 AB 繞點(diǎn) A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45^° 得到線段 AC ，則點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

2解法展示

2.1構(gòu)造“一線三垂直\"模型

分析一：求點(diǎn)的坐標(biāo)通常需要求出點(diǎn)到 x 軸、 y 軸的距離，利用特殊角求線段的長度通常是構(gòu)造直角三角形，因此可以構(gòu)造“一線三垂直”模型.

解法一：如圖2，過點(diǎn) C 作 CD⊥ AB ，垂足為 D ，過點(diǎn) D 作DE ⊥ y 軸，垂足為 E ，過點(diǎn) C 作 CF⊥ DE ，垂足為 F，CF 的延長線交 x 軸于點(diǎn) G. 由 A（0，3），B（4，0） ，得 AB=AC=5. 又 ∠CAB=45^° ，

CD⊥AB ，則 由 AD⊥CD，AE⊥EF

CF⊥EF ，得 ∠AED=∠DFC=90^°. 于是 ∠EAD=

∠FDC ，又 AD=CD ，所以 ΔAED?ΔDFC ： ?AE=DF，DE=CF ： ?_ED//OB

∴點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

解法二：如圖3，過點(diǎn) c 作CD⊥AC，CD 交 AB 的延長線于點(diǎn) D ，過點(diǎn) c 作 軸的垂線，垂足為 E ，過點(diǎn) D 作 DF⊥CE ，垂足為 F，DF 交 x 軸于點(diǎn) G 由 ∠BAC=45^° ∠DCA=90^° ，可

得 DC=AC=AB=5 ，則

易證 ΔAOB～ΔDGB ，則

： ： 易證 ΔAEC?ΔCFD ： AE=CF ： ： ?AE²+EC²=AC²=25 ：點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

方法歸納：先過旋轉(zhuǎn)后的線段的動端點(diǎn)作垂直于線段旋轉(zhuǎn)前的線段或旋轉(zhuǎn)后的線段的垂線，得到直角三角形，再過直角三角形的直角頂點(diǎn)作垂直于坐標(biāo)軸的直線，構(gòu)造“一線三垂直\"模型，將求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求線段的長度問題.

2.2構(gòu)造“一線三等角\"模型

分析二：點(diǎn)的坐標(biāo)可由線段的長度及線段與坐標(biāo)軸所形成的角（通常是特殊角）來確定，由于旋轉(zhuǎn)角是特殊角，因此可以構(gòu)造“一線三等角”模型.

解法三：如圖4，在 軸上且

在點(diǎn) A 的兩側(cè)取點(diǎn) D，E ，使得

∠CDA=∠BEA=45^° ： ∠BAC=45^° ： ∴∠BAE+∠CAD=135^° ： ∠CDA=45^° ，： .∠CAD+∠ACD=135^° ·∠BAE=∠ACD 又 ∠CDA=∠BEA ， AB=AC ： ∴ΔAEB?ΔCDA ： 過點(diǎn) c 作 CF⊥AD，CG⊥x 車

G ，則 ：點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

解法四：如圖5，過點(diǎn) A 作 y 軸的垂線 AM ，在 AM 上取點(diǎn) D ，E ，使 ∠ADB=∠AEC=135^° ，過點(diǎn) B 作 BF⊥AM ，垂足為 F ，過點(diǎn)c 作 CG⊥x 軸，垂足為 G，CG 交AM于點(diǎn) H ，則 BF=DF=3= HG，AD=AF-DF=1 易證 ΔABD?ΔCAE ，則 ，則 CH= ，所以 CG=CH+ （20

故點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

方法歸納：在過旋轉(zhuǎn)中心且垂直于坐標(biāo)軸的直線上取兩點(diǎn)作等于旋轉(zhuǎn)角（或其補(bǔ)角）的兩個角，構(gòu)造“一線三等角\"模型，得到兩個全等三角形，將求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求線段的長度問題.

2.3旋轉(zhuǎn)直角三角形

分析三：求點(diǎn)的坐標(biāo)通常需要求出點(diǎn)到 x 軸、 y 軸的距離，由于旋轉(zhuǎn)角是特殊角、旋轉(zhuǎn)線段等長共點(diǎn)，因此可以將旋轉(zhuǎn)線段與坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，再構(gòu)造“一線三垂直”模型.

解法五：如圖6，將直角三角形 AOB 繞點(diǎn) A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45^° ，得到 ΔADC ，過點(diǎn) D 作DE⊥y 軸，垂足為 E ，過點(diǎn) c 作CF⊥DE ，垂足為 F，CF 的延長線交 x 軸于點(diǎn) G ，則 AD=AO=3 ，

DC=OB=4 ∠DAE=∠CDF=45^° （204號 ：點(diǎn) c 的坐標(biāo)為

解法六：如圖7，過點(diǎn) c 作 yCD⊥y 軸，垂足為 D ，將直角三角 D FFG形 CDA 繞點(diǎn) A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45^° 得△BEA，過點(diǎn) E 作 EF⊥y 軸，垂足為 F ，過點(diǎn) B 作 BG⊥ 0 B x圖7EF ，垂足為 G ，則 AE=AD= 由 FE+EG=FG=OB= ，得 ，所以 OD=OA+AD=3+ 故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

方法歸納：將旋轉(zhuǎn)線段與坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，再過直角三角形的直角頂點(diǎn)作垂直于坐標(biāo)軸的直線，構(gòu)造“一線三垂直\"模型，將求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求線段的長度問題.

以上探討了求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)的解法，需要注意的是構(gòu)造“一線三垂直”模型與“一線三等角\"模型時直線均與坐標(biāo)軸垂直，這樣能將求線段旋轉(zhuǎn)后動端點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化求線段的長度問題.