空間觀念進階下“圖形旋轉(zhuǎn)”的教學設(shè)計

一、課前思考

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"）強調(diào)核心素養(yǎng)的一致性和階段性，“圖形的運動\"是培養(yǎng)學生空間觀念的重要載體。

思考之一：何為圖形運動的一致性？

軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)都是剛體運動，軸對稱是指圖形上任一點和其對應(yīng)點到對稱軸的距離相等，且點和對應(yīng)點的連線垂直于對稱軸；平移是指圖形上任一點和其對應(yīng)點都是沿著某一個方向移動一定的距離；旋轉(zhuǎn)是指圖形上任一點繞固定點（固定軸線）旋轉(zhuǎn)一個定角[1。旋轉(zhuǎn)的要素分為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，因其要素的增多在描述和刻畫上的難度值較另外兩種運動更高，但三種運動都不改變圖形的大小，歸根結(jié)底都是點的運動。

軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)是培養(yǎng)學生空間觀念的重要工具，三種運動可以幫助學生更好地理解空間中的位置、方向和相對位置，從運動視角識別理解不同圖形的性質(zhì)，培養(yǎng)學生的空間推理能力等。史寧中教授認為，小學階段學生的空間觀念應(yīng)著重“感知并描述圖形的運動和變化規(guī)律，能夠在頭腦中對圖形進行變換\"[2]。

思考之二：旋轉(zhuǎn)運動的階段性為何？

新課標對圖形的旋轉(zhuǎn)有明確的階段性要求：第二學段讓學生結(jié)合實例感受旋轉(zhuǎn)想象；第三學段讓學生在方格紙上進行簡單圖形的旋轉(zhuǎn)，從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，借助方格紙設(shè)計簡單圖案，感受數(shù)學美，形成空間觀念；第四學段讓學生通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，探索基本性質(zhì)，運用圖形的旋轉(zhuǎn)進行圖案設(shè)計等[3]。圖形的旋轉(zhuǎn)在義務(wù)教育階段形成了三個螺旋式上升的過程，各個學段雖然各有側(cè)重，但始終體現(xiàn)了對學生空間觀念培養(yǎng)的重視。

筆者以空間觀念在旋轉(zhuǎn)教學中的素養(yǎng)進階為導向，以理解、想象、表達和應(yīng)用四大要素為變量，進一步細化本節(jié)課在旋轉(zhuǎn)知識序和認知序上的目標定位。本節(jié)課屬于學生第二次學習旋轉(zhuǎn)，起著承上啟下的作用，能讓學生基于第一次的現(xiàn)象辨析整體感知走向特征感悟，為后續(xù)的性質(zhì)探索埋下伏筆。在直觀想象與簡單分析抽象階段，教師要引導學生：一是從元素的角度理解旋轉(zhuǎn)；二是在頭腦中對圖形進行旋轉(zhuǎn)想象，形成表象；三是根據(jù)要求在格子圖上正確刻畫旋轉(zhuǎn)或描述旋轉(zhuǎn)運動，進行多元的數(shù)學表達和關(guān)聯(lián)互譯表達；四是借助旋轉(zhuǎn)進行簡單分析或解決某一相關(guān)問題。

思考之三：旋轉(zhuǎn)教學的結(jié)構(gòu)性如何？

圖形的旋轉(zhuǎn)可以化歸為關(guān)鍵線段的旋轉(zhuǎn)，而關(guān)鍵線段的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)是關(guān)鍵點的旋轉(zhuǎn)。因此，筆者要求學生在格子圖上刻畫并描述線段 _AB 的旋轉(zhuǎn)。通過前測，筆者發(fā)現(xiàn)辨析旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象不是第三學段學生的難點，精準描述旋轉(zhuǎn)的特征才是學生的難點。學生對旋轉(zhuǎn)角度為 90^° 的動作表征旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象最熟悉，方向次之，旋轉(zhuǎn)中心最弱[4]。筆者以線段的旋轉(zhuǎn)為本節(jié)課的明線，以點的旋轉(zhuǎn)為本節(jié)課的暗線，通過變化旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)對象，引導學生開展感受旋轉(zhuǎn)本質(zhì)特征的深度學習。

二、教學過程

1.立要素，經(jīng)驗相輔

（1）精準描述

師：如圖1所示，都是線段 AB 的旋轉(zhuǎn)，怎么不一樣？旋轉(zhuǎn)需要說清楚什么？你們能說清楚 ① 號圖中線段_AB 是怎么旋轉(zhuǎn)的？[5]

生1：我認為 ① 號圖中線段 _AB 旋轉(zhuǎn)了 90^° 。

生2：我覺得你這樣沒有說清楚，②③④ 都旋轉(zhuǎn)了 90^° ，但 ① 號是向左下角順時針旋轉(zhuǎn)，所以應(yīng)該說線段_AB 順時針旋轉(zhuǎn) 90^°

生3：我同意生2的想法，雖然清楚了一些，但還不夠， ② 號也是順時針旋轉(zhuǎn)呀！

生4：對，我們還需要說清楚繞著哪個點旋轉(zhuǎn)，線段 _AB 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計意圖：課前學生在格子圖上刻畫長度為5格的線段 _AB 的旋轉(zhuǎn)，前測中 88.94% 的學生能將線段 _AB 旋轉(zhuǎn) 90^° ，但有 92.17% 的學生較難精準描述旋轉(zhuǎn)中心，如出現(xiàn)“繞著某點旋轉(zhuǎn)\"這樣的表述。因此，筆者選取了學生的5幅典型作品作為本節(jié)課的主要交流素材，讓學生在對比辨析的過程中感受精準描述的必要性。

（2）逆向鞏固

生3：（將作品遮擋出現(xiàn)：繞點 B ）猜猜看，我描述的是哪幅圖的旋轉(zhuǎn)？

生4：可能是 ②③⑤ 中的一幅，我還需要更多的信息。

學生作品遮擋出現(xiàn)：繞點 ^B 繞點 B 順時針。

生5：還需要知道旋轉(zhuǎn)角度，可能是 ② ，也可能是 ⑤ 。

生3：繞轉(zhuǎn)點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生4：那肯定是 ② 號， ⑤ 號是線段 _AB 繞著點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 180^° 。

生5：要說清楚旋轉(zhuǎn)，需要說清楚旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度才可以。

設(shè)計意圖：生生互動既改變了學生交流的方式，又提升了學生學習的興趣[6。學生在猜的過程中，從原來的操作表征轉(zhuǎn)化成語言表征，到根據(jù)語言表征想象操作表征，在操作表征中進一步感受利用三要素描述旋轉(zhuǎn)的必要性。

（3）立破并舉

師：（出示圖2）線段 _AB 是怎么 旋轉(zhuǎn)的？

生6：線段 _AB 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生7：我覺得不對，這幅圖就不是旋轉(zhuǎn)。

生8：對啊，線段 _AB 的長度是5個格子，線段 AB^′ 的長度是6個格子，長度發(fā)生了變化。

生6：我贊同你們的看法，旋轉(zhuǎn)后線段長應(yīng)該還是5格。

師：正如你們所說，旋轉(zhuǎn)后圖形的大小和形狀是不變的。

設(shè)計意圖：旋轉(zhuǎn)的認識在第二學段著重于整體的感知，筆者通過多次實踐教學發(fā)現(xiàn)學生雖能夠快速看出素材中的三要素，卻未關(guān)注到線段旋轉(zhuǎn)后長度變長了，未能理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。通過錯例的呈現(xiàn)，學生自然意識到每次描述圖形的旋轉(zhuǎn)時需要保證圖形的大小、形狀不變。

（4）表征互譯

① 課件動態(tài)呈現(xiàn)線段 _AB 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，學生描述。

② 線段 _AB 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)90^° ，學生比畫。

③ 課件出示靜態(tài)圖，如圖3所示。

生9：線段 _AB 繞著點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生10：我猜，還可能是線段 _AB 繞著點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 270^° 。

生11：我覺得都有可能，只有動起來我們才能確定。

課件呈現(xiàn)不同方向的旋轉(zhuǎn)，學生嘗試描述。

設(shè)計意圖：圖形的旋轉(zhuǎn)往往呈現(xiàn)靜態(tài)的起始圖或終點圖，理解圖形旋轉(zhuǎn)需要學生在頭腦中進行大量的想象，而想象的前提是先建立豐富的旋轉(zhuǎn)表象。借助幾何畫板的強交互，學生的語言表征和操作表征得以充分勾連，而動態(tài)與靜態(tài)的實時呈現(xiàn)，既補足了部分學生的想象空白，又拓展了學生的想象空間。

（5）點的旋轉(zhuǎn)① 特殊位置的點

師：（如圖 4① 所示）如果在線段上取一點，繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，對應(yīng)的 C^′ 點在哪里？

生12：我認為是 C^′ 在點 A 正下方2格，因為線段 _AB 剛才順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 就在這個位置，只要點 A 再往下數(shù)2格就可以了。

生13：我贊同你的想法，我們也可以直接想象成是線段 _AC 繞著點A順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，因為距離2格，所以點A往下數(shù)2格。

② 不同位置的點

師：（如圖 4② 所示）如果點 c 在這里呢？

生14：雖然沒有畫出線段 AB^′ 了，但是我可以把 _AC 連起來，現(xiàn)在是3格，也就是 C^′ 點在 A 點下方3格。

③ 多個位置上的點

師：（如圖 ? 所示）它們繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90°后分別在哪里呢？

生15：把最遠的點和點 A 相連，把它旋轉(zhuǎn)后，再在線段上找點就可以。

生16：其實是這些點分別和點 A 相連，這些線段繞著點A旋轉(zhuǎn)后的點就是。

師：同學們可真有辦法！是啊，線段上任意點都和線段 _AB 一樣繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)了 90^° 。

設(shè)計意圖：聚焦到點的旋轉(zhuǎn)是本課教學設(shè)計深入圖形旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的關(guān)鍵，從特殊點 c 到任意點，從一個點到多個點再到無數(shù)個點，學生在不同方法的表達中真正理解圖形上任意一點都在做相同的旋轉(zhuǎn)運動，圖形的旋轉(zhuǎn)即為點的旋轉(zhuǎn)。

縱觀本環(huán)節(jié)，通過五步推進，圍繞空間觀念的“想象、表達\"兩大要素推進學生“理解\"的初步感悟。在第一步精準描述中，學生的語言從粗糙走向精準，感受三要素的必要性；第二步通過學生逐個呈現(xiàn)描述信息，從激趣到感悟，感受三要素在遷移鞏固中的應(yīng)用價值；第三步的立破并舉，讓學生在辨析中感受旋轉(zhuǎn)不能改變圖形大小和形狀，感受旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)性；第四步讓學生借助多媒體在語言表征和操作表征中深化理解旋轉(zhuǎn)的特征，感受旋轉(zhuǎn)的深刻性；第五步讓學生突破線的限制，由點出發(fā)，感受到旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。

2.移中心，虛實相融

（1）沖突激趣

師：線段可以繞點A旋轉(zhuǎn)，也可以繞點 B 旋轉(zhuǎn)，如圖5所示。（出示點 o ））繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，想象對應(yīng)的點 A^′ 點 B^′ 在哪里？有困難的同學可以借助手中的筆擺一擺。

生17：（出示自己的作品）猜猜看，我是怎么找到對應(yīng)的點 .A^′ 和點 B^′ ？

生18：我猜你把點 o 和點A相連，只要把線段 OA 繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，然后再往下數(shù)5格就可以了。

生19：其實可以把線段OB繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，先找到點 B^′ ，然后往上數(shù)5格，就可以找到點 A 了。

生17：我是先把線段連起來，然后旋轉(zhuǎn)線段 oA ，最后旋轉(zhuǎn)線段OB，這樣也可以找到對應(yīng)的點 A^′ 和點 B^′ 。

生18：旋轉(zhuǎn)中心在外面，一開始我不知道該怎么下手，通過你們的介紹我知道了只要把它們和旋轉(zhuǎn)中心相連，這樣就變成我會的了。

設(shè)計意圖：通過旋轉(zhuǎn)中心外移，突破原有思維定式，看似增加了學習的難度，但借助格子圖和筆的輔助，大多數(shù)學生能夠快速意識到將線段_AB 與旋轉(zhuǎn)中心 o 連接形成線段，將隱性的線顯性地連接起來，通過不同的連接方式解決相同的問題，打開了學生思考的空間。

（2）點的旋轉(zhuǎn)

師：同學們可真有辦法！如圖6所示，如果在線段 _AB 上找一點 c 呢？繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，想象對應(yīng)的 C^′ 在哪里？

生20：按照剛才的方法，先畫出對應(yīng)的線段，可以是點 A 往下數(shù)2格，或者是點 B^′ 往上數(shù)3格。

生21：還可以直接連接線段 oc 然后繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

師：如果我在線段 AB 上面找到很多個點 c 呢？繞著點 o 旋轉(zhuǎn) 90^° 后，它們的對應(yīng)點會在哪里？

生20：線段上所有的點都會繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生21：這些點都可以和點 o 連線成線段，然后繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)中心借助變式的旋轉(zhuǎn)，教師引導學生在隱性線的具象化過程中進一步感悟圖形與其圖形上點的二元關(guān)系。然后教師通過兩步推進，在沖突激趣中分層驅(qū)動學生的多元感悟，并通過方法之間的轉(zhuǎn)化，在動靜結(jié)合的過程中理解從點遷移到線段的旋轉(zhuǎn)。

3.變對象，拓展相通

師：同學們可真厲害！如圖7所示，如果我把線段 AB 傾斜一些，想象線段 _AB 繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 對應(yīng)的 A^′B^′ 在哪里？如果有困難，可以拿出錦囊（三角形）試一試。

生22：如圖8所示，我把點A和點 B 都和點 o 連成一個三角形，我利用錦囊里的三角形，繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，然后描下來，就可以找到對應(yīng)的點 A '和點 B^′ 。

生23：我也是連起來，但是和你想的不一樣，你們猜我怎么找到對應(yīng)的點 A^′ 和點 B^′ 的呢？

生24：我猜你像前面一樣，把線段 OA 和線段OB分別繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，找到對應(yīng)的線段 OA^′ 和 OB^′ ，然后連接 A^′ 與 B^′ 就是旋轉(zhuǎn)后的線段了。

生23：你猜對了，我就是把它們分別想成了兩條線段的旋轉(zhuǎn)。

生25：我沒有連成線段，我在腦海里直接想點A和點 B 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^°. 后的位置，然后相連就好了。

師：如果我在線段 AB 上找點 C 呢？想象一下，對應(yīng)的點 C^′ 會在哪里？

生26：點 c 也和線段 AB 一樣，都會繞著點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)繼續(xù)以“繞點o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 為核心問題，教師引導學生借助“形\"整體感知，基于“線\"元素感悟，立足“點\"本質(zhì)體驗，在運動視角中感悟圖形旋轉(zhuǎn)的多元變換。然后教師通過追問線段 _AB 上點 c 旋轉(zhuǎn)后的位置，讓學生感悟圖形上任意的點都在繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 。線段的傾斜擺放看似增加了圖形對象的復雜度，但實則與三角形的旋轉(zhuǎn)進行隱性的銜接，將簡單的線段旋轉(zhuǎn)用足用透，為后續(xù)的封閉圖形的旋轉(zhuǎn)打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課教師以簡約的素材，引導學生在想象、表達中逐層理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，為后續(xù)的應(yīng)用埋下伏筆。

參考文獻：

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