數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究事物空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握情況，更要注重學(xué)習(xí)力的培養(yǎng)與素養(yǎng)的提升，而數(shù)學(xué)思想方法則是鏈接知識(shí)與能力的紐帶。數(shù)形結(jié)合思想是指利用“數(shù)”與“形\"相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，經(jīng)過(guò)互相轉(zhuǎn)化，讓原本復(fù)雜、難以理解的問(wèn)題變得容易理解的思想方法。小學(xué)生以直觀形象思維為主，因此，教師在課堂中應(yīng)用好數(shù)形結(jié)合思想，不僅能高效完成教學(xué)任務(wù)，還能從真正意義上開(kāi)闊學(xué)生的視野。

一、研究意義

“授人以魚(yú)，不如授人以漁。\"課堂中滲透數(shù)學(xué)思想方法就是“授人以漁\"的過(guò)程。知識(shí)與技能會(huì)隨著歲月的流逝而被淡忘，思想方法卻能根植于人的意識(shí)中，形成分析與處理問(wèn)題的一種能力。學(xué)生能力的培養(yǎng)是新課改的核心目標(biāo)，然而，部分教師沒(méi)有意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，在課堂教學(xué)中只關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。

從數(shù)形結(jié)合思想本身來(lái)看，“數(shù)”與“形”為數(shù)學(xué)學(xué)科中的兩個(gè)基本概念，整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)不圍繞這兩個(gè)概念而開(kāi)展。正如華羅庚所言：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微。\"教師在課堂中引導(dǎo)學(xué)生感知、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，還能發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、應(yīng)用策略

1.以形助數(shù)，直觀化算理

“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算\"為重中之重。從發(fā)展心理學(xué)的角度來(lái)看，小學(xué)生的思維尚未成熟，直觀形象思維占到主導(dǎo)地位，他們難以自主應(yīng)用抽象思維來(lái)觀察與分析問(wèn)題，教師借助直觀形象或與學(xué)生生活相貼合的素材開(kāi)展教學(xué)能提高教學(xué)效率?；谶@一特征，教師在執(zhí)教“數(shù)的認(rèn)識(shí)\"與“數(shù)的計(jì)算\"等內(nèi)容時(shí)，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形\"的角度觀察與分析問(wèn)題，促使學(xué)生借助具體的“形\"對(duì)抽象的“數(shù)\"產(chǎn)生深刻理解。

案例1：“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)\"的教學(xué)

“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”為小學(xué)高年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，該階段的學(xué)生雖然已經(jīng)具備一定的抽象能力，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍束手束腳。為了進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的理解能力，讓學(xué)生通過(guò)分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的相乘提升學(xué)習(xí)力，教師可借助數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)闊學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的思維。

（1）選擇圖形

問(wèn)題：某種型號(hào)的農(nóng)用機(jī)每小時(shí)能耕 公頃的地，那么 小時(shí)可耕多少地呢？

師：式子 具體表示什么？可否借助圖形來(lái)描述這個(gè)式子？

在這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生自主畫(huà)圖，受思維定式的影響，大部分學(xué)生首選畫(huà)線段圖來(lái)描述 這個(gè)式子（見(jiàn)圖1），也有部分學(xué)生選擇畫(huà)長(zhǎng)方形圖（見(jiàn)圖2）來(lái)表達(dá)這個(gè)式子。

那么，究竟采用哪種類(lèi)型的圖描述這個(gè)式子更適用呢？

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，在激烈的討論中初步形成共識(shí)：如果要以單位“1\"來(lái)描述分?jǐn)?shù)所蘊(yùn)含的意義，兩類(lèi)圖形均可;本題要描述的是“一的”， 2″3而單位“1\"是指1公頃的地，因此用第二種長(zhǎng)方形的圖來(lái)描述更合理。

（2）演繹畫(huà)圖

師：哪位同學(xué)能將畫(huà)長(zhǎng)方形圖表示 \"的過(guò)程描述出來(lái)？

生1：如圖3， 公頃可理解為1公頃的一半，即將一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成2份，將其中1份畫(huà)上陰影； 中的 則可將原長(zhǎng)方形中的一半（陰影部分）平均分成3份，取其中的2份則能表示 中的 ”這一關(guān)系，將整幅圖畫(huà)完整則可。

1 1.2 X 2

師：非常好！思路與圖形都很清晰，讓人一目了然。

（3）實(shí)施計(jì)算

觀察最終獲得的圖形，教師要求學(xué)生分別從如下幾個(gè)方面開(kāi)展思考：

① “6\"從何而來(lái)？它與分?jǐn)?shù) 的分母存在什么聯(lián)系？ ② \"2\"是從何而來(lái)？它與 與的分子之間存在什么聯(lián)系？ ③ 通過(guò)對(duì)圖形的觀察，該怎樣用算式描述整個(gè)計(jì)算過(guò)程呢？

教學(xué)分析：縱觀三個(gè)教學(xué)流程，每一個(gè)環(huán)節(jié)都在教師的引導(dǎo)下，借助數(shù)形結(jié)合思想，基于“以形助數(shù)\"的原理將原本抽象的式子轉(zhuǎn)化成直觀可見(jiàn)的圖形，這種方法不僅成功突破了教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，還啟發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)抽象的分?jǐn)?shù)計(jì)算算理產(chǎn)生直觀的認(rèn)識(shí)。

2.以數(shù)輔形，精確化概念

將抽象的數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形來(lái)表示，可增加知識(shí)的“形象性”，便于學(xué)生接納與內(nèi)化。反之，將直觀的圖形轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)，即借助規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述圖形，又會(huì)怎樣呢？實(shí)踐證明，以數(shù)輔形能更加入微地刻畫(huà)\"形”。在遇到一些和圖形直接相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，圖形的表達(dá)不夠精確，導(dǎo)致學(xué)生理解障礙時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生以精確的數(shù)來(lái)描述，讓學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生更明確的認(rèn)識(shí)。

案例2：“圖形的放大與縮小\"的教學(xué)

由字面來(lái)看，“圖形的放大與縮小\"固然與圖形密切相關(guān)，可理解為圖形的運(yùn)動(dòng)，但其本質(zhì)與“比例\"密不可分。想要讓學(xué)生真正掌握這部分知識(shí)的內(nèi)涵，建立完整的概念體系，教師可借助“以形輔數(shù)\"的方式，引導(dǎo)學(xué)生精確地理解并建構(gòu)概念。

（1）觀察圖形特征

教師借助課件展示圖4，要求學(xué)生觀察圖片，思考哪一幅圖與圖4中A最像？說(shuō)明判斷理由。

學(xué)生自主觀察、比較與分析，認(rèn)為D與A最像，理由是B變寬了，C變窄了，D雖然比A大了不少，但整體上并沒(méi)有發(fā)生變形。從學(xué)生的描述來(lái)看，雖然他們還沒(méi)有理解圖形放大的本質(zhì)是什么，卻明確知道“變形\"會(huì)影響圖形與原圖的關(guān)系。

（2）圖中探尋數(shù)的規(guī)律

師：觀察各幅圖背后的小方格，說(shuō)說(shuō)它們之間存在怎樣的特點(diǎn)。

生2：我發(fā)現(xiàn)B與A相比，青蛙的頭部橫向擴(kuò)大了2格，其他地方卻沒(méi)有發(fā)生改變，因此這是一只變了形的青蛙，與原圖不像。

生3：C的高度擴(kuò)大了2倍，但寬度沒(méi)有發(fā)生改變，形成了一只瘦長(zhǎng)的青蛙，與原圖自然不一樣。

生4：D與A相比，高度與寬度同時(shí)擴(kuò)大了2倍，所以它們的外形還是一樣的，只是大小不一樣。

師：非常好！這就是圖形的放大與縮小之間的規(guī)律，即放大或縮小之后的圖不論是長(zhǎng)還是寬，都與原圖存在相同的比例。

（3）用數(shù)解釋圖形規(guī)律

教師引導(dǎo)學(xué)生將兩幅圖沿著青蛙所在的格子單獨(dú)取下，借助多媒體隱藏青蛙，只保留圖片所在的長(zhǎng)方形，分別觀察兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬比。隨著數(shù)據(jù)的觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩幅圖在放大與縮小時(shí)，對(duì)應(yīng)邊的比具有一致性特征。比如，A的寬為3，D的寬為6，它們之間的比為 ;A的高為2，D的高為4，它們之間的比同樣為

此環(huán)節(jié)，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)據(jù)關(guān)系，讓學(xué)生明確地認(rèn)識(shí)到圖形在放大與縮小的過(guò)程中，它們對(duì)應(yīng)邊的比具有一致性。以數(shù)輔形的應(yīng)用，充分揭示了圖形的放大與縮小的現(xiàn)象為“大小變化，形狀不變”，本質(zhì)為對(duì)應(yīng)線段成比例關(guān)系。

教學(xué)分析：學(xué)生在直觀觀察與比較中，不僅初步感知了兩幅圖之間所具備的“不變形\"特征，還在對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比較中獲得“比相同\"的特性，由此揭示了圖形放大與縮小的本質(zhì)關(guān)系。此為將模糊的“形\"轉(zhuǎn)化為清晰的“數(shù)\"的過(guò)程，這種轉(zhuǎn)化進(jìn)一步精確了學(xué)生對(duì)圖形放大與縮小概念的認(rèn)識(shí)。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對(duì)提升學(xué)生的認(rèn)知具有重要價(jià)值。

3.數(shù)形結(jié)合，有效化策略

以形助數(shù)或以數(shù)輔形都能有效提升教學(xué)效率。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能獲得高效的解題策略。“數(shù)\"抽象而形式化，“形\"具體而形象化?！皵?shù)\"與“形”對(duì)應(yīng)的思維是分析性思維和視覺(jué)化思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)解題中都是必需的，它們具有互相補(bǔ)充的作用[1]。正如數(shù)學(xué)家斯蒂恩所言：“將一個(gè)特定的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，則能從思維的角度理解問(wèn)題，由此獲得思索問(wèn)題的新方法?！边@句話闡述了解決問(wèn)題過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值所在。

案例3：“解決問(wèn)題的策略”的計(jì)算教學(xué)

問(wèn)題：計(jì)算 的值。

為了讓學(xué)生基于深度學(xué)習(xí)的視角掌握解題策略，教師可以從四個(gè)層次設(shè)計(jì)教學(xué)，逐漸啟發(fā)學(xué)生的思維，促使學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的輔助下獲得良好的解題策略。

第一層次：觀察算式。

教師要求學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，思考這個(gè)算式中每一個(gè)加數(shù)的特征。學(xué)生通過(guò)觀察，一致認(rèn)為此為4個(gè)分?jǐn)?shù)連續(xù)相加的運(yùn)算問(wèn)題，分子均為1，每個(gè)加數(shù)的分母均為前一個(gè)加數(shù)分母的兩倍。

第二層次：探索算法。

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，思考本題的計(jì)算方法。大部分學(xué)生表示要先通分后計(jì)算，但個(gè)別學(xué)生表示可以先將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)之后再逐個(gè)相加。在合作交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生最終達(dá)成的意見(jiàn)一致為“先通分，后計(jì)算”。

第三層次：數(shù)形結(jié)合。

師：如何計(jì)算 的值？

生5：以上所提到的兩種方法都挺煩瑣，但也能計(jì)算。師：確實(shí)有點(diǎn)煩瑣，有沒(méi)有什么更簡(jiǎn)便的方法呢？（學(xué)生沉默）師：換個(gè)角度來(lái)分析，如果借助圖形來(lái)探索呢？

在教師的啟迪下，學(xué)生開(kāi)展討論，認(rèn)為可構(gòu)造一個(gè)正方形，令其面積為1，每加一個(gè)數(shù)就在該正方形內(nèi)表示這個(gè)數(shù)的位置涂上顏色，從 開(kāi)始逐漸增加;直到 時(shí)，有的學(xué)生提出增加的每一個(gè)數(shù)均為前面那個(gè)數(shù)的一半，正方形中剩下一塊空白部分與最后那個(gè)加數(shù)一致，借助“1-1”可獲得結(jié)論。如果繼續(xù)增加加數(shù)，直至 ，方法一致，都能很快獲得結(jié)論。

4.總結(jié)提煉

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)解題過(guò)程進(jìn)行回顧與總結(jié)，并對(duì)解題策略、方法、轉(zhuǎn)化等進(jìn)行梳理，然后教師在學(xué)生合作交流的基礎(chǔ)上借助多媒體展示整個(gè)計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步感知、體悟數(shù)形結(jié)合對(duì)解題的重要作用。

教學(xué)分析：對(duì)于該階段的學(xué)生而言，不論是先將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，還是先通分后計(jì)算，都比較煩瑣。但構(gòu)造正方形，并在相應(yīng)的分?jǐn)?shù)上涂上顏色的解題策略則簡(jiǎn)單很多，學(xué)生從直觀的圖形中不僅能發(fā)現(xiàn)該計(jì)算蘊(yùn)含一定的規(guī)律，還能推動(dòng)學(xué)習(xí)力的發(fā)展。構(gòu)造圖形解決問(wèn)題的過(guò)程是將順向求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為逆向求差，“數(shù)\"與“形”的巧妙結(jié)合使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，有效提高了解題效率。

總之，教師應(yīng)基于知識(shí)特點(diǎn)與學(xué)生的認(rèn)知狀況，引導(dǎo)學(xué)生親歷“數(shù)\"與“形”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，以產(chǎn)生更多的感悟，形成良好的解題能力。從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的“形”主要體現(xiàn)在解析幾何中，教師在教學(xué)中要做好數(shù)形結(jié)合思想的滲透工作，將這種意識(shí)根植于學(xué)生的腦海中，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1］李晶，孫雪梅，李德安．一題之探——以數(shù)形結(jié)合思想為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（4）：60-63.