構(gòu)建自主探究課堂 促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展

在傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師過(guò)度強(qiáng)調(diào)“教\"的價(jià)值，忽視“學(xué)\"的積極作用，“重結(jié)論輕過(guò)程\"的問(wèn)題尤為突出。學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)開(kāi)放的、平等的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作交流相結(jié)合的方式主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，從而讓學(xué)生獲得適合終身學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)基于教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，從而實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階和學(xué)習(xí)能力的提升。為了提高學(xué)生的探究效果，教師一方面要認(rèn)真研究學(xué)生，了解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)心理，從而基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)\"創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，有效激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性；另一方面要認(rèn)真研究教學(xué)內(nèi)容，緊扣相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本原理創(chuàng)設(shè)有效的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用等全過(guò)程，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的思維能力螺旋上升。筆者以“圓的面積計(jì)算公式”教學(xué)為例，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生在自主探究中獲得可持續(xù)的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、量一量

結(jié)合學(xué)生研究長(zhǎng)方形和正方形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，如果要計(jì)算圖形的面積，最基本的方法就是用選定的面積單位去比較，看該圖形有幾個(gè)相應(yīng)的面積單位，以此通過(guò)“量一量”獲得圖形的面積。

問(wèn)題1：觀察以下三個(gè)圓形紙片（圖略），請(qǐng)說(shuō)說(shuō)哪個(gè)大？大多少？

師生活動(dòng)：教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生分析、交流。學(xué)生通過(guò)觀察、比較可以輕松判斷三個(gè)圖形的大小關(guān)系。但對(duì)于三個(gè)圖形面積大多少這一問(wèn)題，學(xué)生陷入困境。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)大小比較，讓學(xué)生明晰大小指的是圓的面積，初步感知圓的面積就是圓所圍成的平面部分的大小，進(jìn)而揭示本課研究的主題。在此過(guò)程中，教師讓學(xué)生思考大多少，由此自然激發(fā)學(xué)生探究圓形紙片面積的積極性。

問(wèn)題2：結(jié)合研究長(zhǎng)方形和正方形面積的經(jīng)驗(yàn)，如何求出圓形紙片的面積呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)提出可以利用合適的面積單位擺一擺，看看圓中有多少個(gè)相應(yīng)的單位。

設(shè)計(jì)意圖：回歸探究原點(diǎn)，讓學(xué)生嘗試通過(guò)“擺一擺\"“數(shù)一數(shù)\"解決問(wèn)題。

問(wèn)題3：請(qǐng)大家選擇合適的面積單位擺一擺，說(shuō)說(shuō)自己的體會(huì)。

師生活動(dòng)：教學(xué)中，教師讓學(xué)生以小組為單位，通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式共同尋找解決問(wèn)題的方法。活動(dòng)中，學(xué)生選擇面積為 1cm² 的小方格為面積的單位，然后通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、比一比得到紙片的大約面積。在此過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將圓形紙片平均分成4份，這樣一方面可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，另一方面為后面的平均分做準(zhǔn)備。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生直觀感知面積計(jì)算的最初意義，感受利用該方法不僅煩瑣，而且誤差較大，由此自然激發(fā)學(xué)生尋找其他方法的積極性，從而讓自主探究自然發(fā)生。

二、分一分

問(wèn)題4：“量一量\"的方法煩瑣，且誤差較大，你能找到其他方法解決這一問(wèn)題嗎？

師生活動(dòng)：活動(dòng)中，部分學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，基于這一情形，教師啟發(fā)學(xué)生思考如何利用長(zhǎng)度為 20cm 的直尺測(cè)量書(shū)桌的面積，顯然利用直尺很難一次性測(cè)量書(shū)桌的長(zhǎng)和寬，需要分幾次測(cè)量。在此基礎(chǔ)上，教師追問(wèn)：分幾次測(cè)量需要注意什么？銜接處是否可以重疊呢？由此通過(guò)操作和追問(wèn)激發(fā)學(xué)生“分一分\"的意識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：為了使測(cè)量變得更易操作，教師引導(dǎo)學(xué)生“分一分”，有效激活學(xué)生的已有認(rèn)知，為后續(xù)將圓轉(zhuǎn)化為其他圖形打下基礎(chǔ)。

問(wèn)題5：如圖1，在剛才的“量一量\"活動(dòng)中，我們將圓平均分成4份，通過(guò)“數(shù)一數(shù)\"得到圓的面積。如果不用數(shù)，是否能夠得到圓的面積？

追問(wèn)1：你能更換一種分割方式，從而將其轉(zhuǎn)化為可以計(jì)算的圖形的面積嗎？

師生活動(dòng)：在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生嘗試將圓形紙片重新分割?；顒?dòng)中，教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生操作、交流，使學(xué)生得到多種解決問(wèn)題的方法。比如，有的學(xué)生提出：可以先將圓分割成若干個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2），然后分別計(jì)算每個(gè)長(zhǎng)方形的面積，最后將其相加得到圓形紙片的大約面積；有的學(xué)生提出：圖1所示的扇形可以看成等腰三角形，通過(guò)計(jì)算等腰三角形的面積可以得到圓形紙片的大約面積;也有的學(xué)生提出：如圖3，可以將其分成8份，三角形的高可以看成圓的半徑，三角形的底可以看成圓周長(zhǎng)的 ，通過(guò)計(jì)算一個(gè)三角形的面積可以得到整個(gè)圓的面積。

追問(wèn)2：對(duì)比以上三種分法，你們認(rèn)為哪種是最優(yōu)分法呢？

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生比較、分析，發(fā)現(xiàn)不同分法的優(yōu)缺點(diǎn)。第一種分法，將圓分成若干長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的大小都不同，這樣運(yùn)算起來(lái)比較煩瑣。此外，這里長(zhǎng)方形的面積之和大于圓形的面積之和，所以計(jì)算結(jié)果比圓的面積要大。對(duì)于后兩種方法，其本質(zhì)是相同的，都是近似地將其看成三角形，利用三角形的面積公式得到圓的面積，不過(guò)前者所分的份數(shù)較少，誤差較大，后者誤差相對(duì)較小，所以選擇第三種分法最優(yōu)。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手“分”，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。在此過(guò)程中，教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，鼓勵(lì)學(xué)生利用不同的方法解決問(wèn)題，有效激發(fā)學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生學(xué)到多種方法后，教師鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)比分析，以此進(jìn)一步強(qiáng)化轉(zhuǎn)化意識(shí)，讓學(xué)生充分體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為接下來(lái)開(kāi)展探究活動(dòng)創(chuàng)造條件。

三、變一變

問(wèn)題6：結(jié)合推導(dǎo)平行四邊形、三角形等圖形面積公式的過(guò)程，該如何計(jì)算圓的面積呢？

師生交流：學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，明確應(yīng)將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，即將圓轉(zhuǎn)化為其他更簡(jiǎn)潔的圖形。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)圓的面積的計(jì)算公式前，學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等平面圖形的面積公式，掌握了推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積公式的方法。本課內(nèi)容作為平面圖形的延續(xù)，教師在講授時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式。結(jié)合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)可知，通過(guò)剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)等變換后，可以將圓的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決的圖形的面積問(wèn)題。基于以上認(rèn)識(shí)，學(xué)生嘗試將圓分成若干部分后重新組合，將其轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)潔的圖形，從而優(yōu)化算法，建構(gòu)圓的面積計(jì)算模型。

問(wèn)題7：結(jié)合以上研究結(jié)果，你們認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化為什么圖形呢？如何計(jì)算呢？

師生活動(dòng)：受前面探究經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生提出將圓分割成更多個(gè)扇形，使這些扇形更接近三角形，通過(guò)求三角形的面積而求出圓的面積。

設(shè)計(jì)意圖：教師將探究主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的主體性。學(xué)生通過(guò)自主探究體會(huì)轉(zhuǎn)化的合理性和感悟運(yùn)算過(guò)程的煩瑣，為進(jìn)一步的簡(jiǎn)化埋下伏筆。

問(wèn)題8：還有其他方法呢？只能轉(zhuǎn)化為三角形嗎？如果將若干個(gè)相同大小的等腰三角形進(jìn)行拼接，你們能得到什么圖形呢？

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生在紙上畫(huà)一畫(huà)，通過(guò)動(dòng)手操作進(jìn)一步挖掘蘊(yùn)含其中的規(guī)律。為了便于探究，教師讓學(xué)生將圓分成16份，學(xué)生得到圖4所示的圖形。在直觀圖的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)16個(gè)小三角形的面積之和等于大三角形的面積，大三角形的邊長(zhǎng)為圓的周長(zhǎng)，高為圓的半徑，由此得到圓的面積公式為： Tr2。

教師追問(wèn)：對(duì)于這16個(gè)三角形，除了將其拼成一個(gè)大的三角形之外，還能拼成其他圖形嗎？認(rèn)真觀察圖4，談?wù)勀銈兊陌l(fā)現(xiàn)。

師生活動(dòng)：學(xué)生重新觀察圖4，驚喜地發(fā)現(xiàn)可以將其看成將圓近似分成32個(gè)三角形，而這32個(gè)三角形正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的一半，其寬為圓的半徑，由此同樣可以推導(dǎo)出圓的面積公式為

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生“畫(huà)一畫(huà)\"\"變一變”，將圓近似地轉(zhuǎn)化為三角形和長(zhǎng)方形，從而利用三角形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出圓的面積為： S=πr² 。通過(guò)算法的優(yōu)化，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

四、悟一悟

問(wèn)題9：回顧以上探究過(guò)程，你們有哪些收獲？還存在哪些問(wèn)題？

師生活動(dòng)：此環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，以此加深對(duì)知識(shí)、思想、方法的理解?；?dòng)交流中，學(xué)生提出這樣的問(wèn)題：無(wú)論是將其拼成三角形，還是將其拼成長(zhǎng)方形，有的邊實(shí)際上是曲線(xiàn)，所以所得的結(jié)論為\"近似值”，但真的可以利用它來(lái)計(jì)算圓的面積嗎？其實(shí)如果想進(jìn)一步確認(rèn)得到的計(jì)算方法，需要運(yùn)用極限思想，而極限思想又超出學(xué)生的認(rèn)知水平。為了消除學(xué)生的困惑，教師可以利用課件逐步呈現(xiàn)一個(gè)圓細(xì)分的過(guò)程，讓學(xué)生充分體會(huì)該計(jì)算方法的合理性。教師依次展示將圓平均分成8份、16份、32份，并將其拼成近似長(zhǎng)方形，讓學(xué)生通過(guò)直觀觀察發(fā)現(xiàn)，隨著份數(shù)的不斷增多，所拼的圖形越接近長(zhǎng)方形，由此滲透極限思想。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生在腦海里繼續(xù)分，思考將圓分成64份、128份、256份，所拼的圖形會(huì)怎樣，由此體會(huì)推理過(guò)程的合理性，有效消除心中的疑惑。

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生“悟一悟”，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。在充分了解學(xué)生的所想、所惑后，教師通過(guò)有效的啟發(fā)和指導(dǎo)幫助學(xué)生排疑解惑，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在此過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生的疑惑，教師運(yùn)用學(xué)生最易于理解和接受的方式進(jìn)行指導(dǎo)，巧妙地滲透極限思想方法，從而幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，激發(fā)學(xué)生探索的熱情。

五、結(jié)語(yǔ)

在新課程的推導(dǎo)下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)生了重大的變化，自主、合作以及探究的學(xué)習(xí)方式逐漸成了課堂教學(xué)的主流。在教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成、發(fā)展等過(guò)程，讓學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)，理解相關(guān)方法，提高自主學(xué)習(xí)能力。

在本課教學(xué)中，教師沒(méi)有直接指導(dǎo)學(xué)生將圓分成若干扇形，更沒(méi)有直接給出圓的面積計(jì)算公式，而是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從最基本的“量一量\"出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)該方法的不足，由此自然開(kāi)啟探究圓的面積計(jì)算公式之旅。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師從學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，緊扣相關(guān)的數(shù)學(xué)原理，通過(guò)問(wèn)題為學(xué)生的思維搭設(shè)“梯子”，有效激發(fā)學(xué)生自主探究的積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的解決逐漸明晰蘊(yùn)含其中的原理，從而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷圓的面積公式的探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，豐富了學(xué)習(xí)途徑，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，提升了自主學(xué)習(xí)能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生認(rèn)知水平出發(fā)，為學(xué)生精心搭設(shè)思維的“梯子”，合理引導(dǎo)學(xué)生思維的方向，鼓勵(lì)學(xué)生親歷知識(shí)的生成過(guò)程，以此培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。