讓素養(yǎng)落地：小學(xué)“圖形的運動\"空間觀念進(jìn)階模型新構(gòu)

編者按

發(fā)展學(xué)生的“空間觀念”具有顯著的階段性特征。如何準(zhǔn)確理解各學(xué)段空間觀念的內(nèi)涵表征？如何把握不同階段學(xué)生空間觀念的發(fā)展重點？如何構(gòu)建層次分明的教學(xué)實施路徑？老師及其研究團(tuán)隊依托浙江省教師教育規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘全息式’校本研修的實踐研究”（課題編號：YB2024153），以理解、想象、表達(dá)、應(yīng)用為認(rèn)知維度，以平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三大運動為研究對象，創(chuàng)新構(gòu)建了小學(xué)“圖形的運動\"領(lǐng)域兼具一致性、階段性和層次性的“三階段九水平\"進(jìn)階模型。本組文章系統(tǒng)梳理了小學(xué)階段圖形運動領(lǐng)域?qū)W生空間觀念的培養(yǎng)體系，通過進(jìn)階框架建構(gòu)與教學(xué)實踐探索，形成了具有操作性的研究成果，為發(fā)展學(xué)生空間觀念提供了可遷移的教學(xué)策略。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)\"）確定了以素養(yǎng)為導(dǎo)向，強調(diào)從知識入手，培養(yǎng)學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力。作為綱領(lǐng)性文件，新課標(biāo)無法對核心素養(yǎng)進(jìn)行主題、學(xué)段、教學(xué)內(nèi)容的細(xì)化落地。下面，筆者以小學(xué)數(shù)學(xué)空間觀念為例，再以“圖形的運動\"教學(xué)為例，闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

一、定調(diào)子：“圖形的運動”中空間觀念的表現(xiàn)

新課標(biāo)指出：空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識。空間觀念的培養(yǎng)有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是學(xué)生形成空間想象力的經(jīng)驗基礎(chǔ)[1]?！皥D形的運動\"是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的有效載體，本文所述圖形的運動是指三種剛體運動軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)。史寧中教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》一書中對圖形運動中的空間觀念進(jìn)行了解釋：“能夠在頭腦中操作、旋轉(zhuǎn)、分解與組合簡單圖形的表象，獲得新的表象”，“能夠在頭腦中對圖形進(jìn)行變換與比較\"[2]?；诖?，筆者提出空間觀念在圖形運動中的基本內(nèi)涵、心理特征和構(gòu)成要素。

1.基本內(nèi)涵

在圖形運動中，空間觀念是開啟學(xué)生用運動變化的眼光探索和認(rèn)識幾何圖形視角的基礎(chǔ)，這是一個包括觀察、想象、比較、關(guān)聯(lián)、抽象等不斷由低維向高維發(fā)展的過程，是建立在學(xué)生豐富的運動感性積累基礎(chǔ)上的不斷發(fā)展的素養(yǎng)。

空間觀念在圖形運動中具體闡述為：在“三會\"引領(lǐng)下，學(xué)生要學(xué)會用運動的眼光辨識圖形運動現(xiàn)象和觀察理解圖形，初識圖形運動之間相通的特征；會用運動的思維思考圖形的變化，在頭腦中對圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，分解或組合成新的表象；會用運動的語言表達(dá)圖形的運動，解決圖形的相關(guān)問題，感悟圖形運動的不變思想。

2.心理特征

心理特征是指心理活動進(jìn)行時 經(jīng)常表現(xiàn)出的穩(wěn)定特點[3]，空間觀念 在圖形運動中表現(xiàn)出來的心理特征 有三個。

（1）具象與抽象并行

生活中存在著大量的運動現(xiàn)象，而學(xué)生具備豐富的經(jīng)驗感知。圖形的運動是直觀的，更是抽象的，直觀是指看得見的顯性運動過程，抽象是指看不見的隱性運動現(xiàn)象。因此，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念要從生活走向數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在頭腦中想象運動的過程。

（2）動態(tài)與靜態(tài)并進(jìn)

動態(tài)的現(xiàn)象與靜態(tài)的圖形在學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運動中相輔而行，學(xué)生容易觀察到動態(tài)的運動，但難以掌握對應(yīng)的精準(zhǔn)描述，難以具體刻畫靜態(tài)的圖形并逆向思考。因此，學(xué)生需要建立大量的動態(tài)表象和靜態(tài)表象來認(rèn)識圖形的運動。

（3）漸進(jìn)與跳躍共存

學(xué)生對同一個運動概念的理解不是一步到位的，其呈現(xiàn)從整體感知到特征掌握再到性質(zhì)探索的一般規(guī)律。學(xué)生的概念建構(gòu)存在不同的發(fā)展階段，在漸進(jìn)的過程中存在跳躍式的概念同化。

3.構(gòu)成要素

（1）運動的理解

學(xué)生對運動的知識性掌握可以分為整體理解運動現(xiàn)象、元素理解運動特征、本質(zhì)理解運動性質(zhì)，并進(jìn)行由表及里的概念理解。

（2）運動的想象

學(xué)生對運動的內(nèi)隱性建構(gòu)可以分為感知表象、形成表象、加工表象，強調(diào)在頭腦中形成動靜結(jié)合的表象架構(gòu)。

（3）運動的表達(dá)

學(xué)生對運動的可測性描述可以分為粗糙表達(dá)、單一精準(zhǔn)表達(dá)、多元表達(dá)、表達(dá)勾連，著重表征互譯的能動參與。

（4）運動的應(yīng)用

學(xué)生對學(xué)習(xí)的遷移性同化可以分為運用一種運動解決問題、三種運動的關(guān)聯(lián)、圖形的運動與其他知識（圖形認(rèn)識、位置等）的關(guān)聯(lián)，注重知識的融會貫通。

二、搭梯子：空間觀念在圖形運動中的進(jìn)階架構(gòu)

針對學(xué)生空間觀念的水平層次劃分標(biāo)準(zhǔn)，代表性觀點主要有：潘小明提出了兒童形成空間觀念的心理特點經(jīng)歷4個水平階段（具體、半具體、半抽象、抽象），吳宏提出了6個水平劃分，劉曉玫提出了3個水平劃分（完全直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復(fù)雜分析階段）4]。不同的劃分標(biāo)準(zhǔn)雖然有具體的變量依據(jù)，但是都有共同點：空間觀念隨著年齡的增長所觀察的對象由簡單到復(fù)雜、由部分想象到大量想象、由單純想象到概念化抽象，不斷進(jìn)階。筆者認(rèn)為，學(xué)生空間觀念的進(jìn)階架構(gòu)的設(shè)定是為了精準(zhǔn)確定不同學(xué)段、不同教學(xué)內(nèi)容的目標(biāo)，因此下面基于劉曉玫提出的“三個水平\"對學(xué)生空間觀念每一階段的具體表現(xiàn)進(jìn)行細(xì)化。

1.“三\"階段具體表現(xiàn)

（1）完全直觀想象階段：經(jīng)驗性走向基礎(chǔ)性

完全直觀想象階段是指從生活的經(jīng)驗性走向?qū)W習(xí)的基礎(chǔ)性，將生活化、常識化的圖形運動轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的運動方式，聚焦于整體感知。本階段的觀察對象以立體圖形、實物圖和簡單的平面圖形為主，具體表現(xiàn)為基于生活中的圖形運動，基于個體的運動經(jīng)驗[5，對某一運動現(xiàn)象進(jìn)行整體性的判斷；在頭腦中感知某一運動方式的直觀表象，能夠進(jìn)行籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。

（2）直觀想象與簡單分析抽象階段：深度性走向發(fā)展性

直觀想象與簡單分析階段是指從知識理解的深度性走向素養(yǎng)提升的發(fā)展性。本階段的觀察對象以簡單的平面圖形為主，從整體感知轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿鲌D形運動的特征。具體表現(xiàn)為：理解并運用圖形運動的特征進(jìn)行簡單作圖；在頭腦中構(gòu)建運動后的圖形表象，能進(jìn)行簡單的分析、抽象和幾何推理，能進(jìn)行多種數(shù)學(xué)表達(dá)，深刻理解某一運動的特征。

（3）直觀想象與復(fù)雜分析階段：系統(tǒng)性走向綜合性

直觀想象與復(fù)雜分析階段是指從知識的深度性走向知識與應(yīng)用的綜合性，是小學(xué)階段的最高階段。本階段觀察對象是以簡單平面圖形的組合為主，將平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱進(jìn)行系統(tǒng)性關(guān)聯(lián)，進(jìn)而感受圖形運動之間的變與不變。具體表現(xiàn)為：系統(tǒng)理解圖形運動的本質(zhì)即點的運動，在格子圖中將稍復(fù)雜的運動表象解析為點的變換；綜合理解運動的特征，用某一運動或多種運動解決圖形相關(guān)問題，以解決不同知識領(lǐng)域關(guān)聯(lián)的問題。

2.“九\"水平層次細(xì)化

如圖1所示，筆者以四大構(gòu)成要素和三種運動方式間的難度分布為變量，對空間觀念的三個階段進(jìn)行層次細(xì)化，從而形成每個階段內(nèi)三個水平的小進(jìn)階，構(gòu)成九個水平整體大進(jìn)階模型。

（1）由易到難的內(nèi)在邏輯

空間觀念進(jìn)階以理解為變量時，遵循從整體理解到元素理解的順序。軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)三種運動在整體理解和元素理解中的難度表現(xiàn)不一樣。在整體理解中，判斷平移和旋轉(zhuǎn)的難度會低于軸對稱，學(xué)生在判斷是否是軸對稱時需要在頭腦中想象完全重合的過程，而平移和旋轉(zhuǎn)通過具身模擬再現(xiàn)就能理解。在空間觀念的元素理解中，其難度分布為“平移lt;軸對稱lt;旋轉(zhuǎn)”，旋轉(zhuǎn)因其要素最多，在教材編排時會設(shè)置為最后學(xué)習(xí)的運動。

空間觀念進(jìn)階以想象為變量時，以有無借助工具和表象建構(gòu)對象的復(fù)雜度為依據(jù)。三種運動在不同學(xué)段難度值不一樣，整體以“感知一形成一加工\"為水平分布線索。

（2）由簡到多的外部顯現(xiàn)

空間觀念進(jìn)階以表達(dá)為變量時，遵循從粗糙走向精準(zhǔn)、從單維表達(dá)走向多維溝通的順序。學(xué)生的單維表達(dá)即精準(zhǔn)地表達(dá)，如聯(lián)系三要素描述圖形的運動、正確刻畫圖形的運動；學(xué)生的多元精準(zhǔn)表達(dá)，追求不同表達(dá)之間的互譯。

空間觀念進(jìn)階以應(yīng)用為變量時，遵循從一種運動到多種運動解決問題、從運動內(nèi)部關(guān)聯(lián)到外部知識關(guān)聯(lián)的順序。比如，在小學(xué)階段用軸對稱解決的是對稱軸的分布問題，平移解決的問題以計算圖形面積為主，旋轉(zhuǎn)解決的問題分布為“軸對稱解決問題 $$ 平移解決問題 $$ 旋轉(zhuǎn)解決問題 $$ 多種運動解決問題”。圖形運動內(nèi)部的關(guān)聯(lián)可分為兩個層次：一是三種運動的變與不變；二是三種運動變與不變背后的原理。圖形運動外部關(guān)聯(lián)基本分布在第三學(xué)段，能為后續(xù)第四學(xué)段的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

三、邁步子：空間觀念在圖形運動中的培育路徑

1.拾級而上一數(shù)學(xué)序螺旋遞進(jìn)以數(shù)學(xué)知識序為邏輯，結(jié)合現(xiàn)行教材的編排，筆者認(rèn)為，在圖形運動中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念可以開展三個結(jié)合。

（1）“思辨\"與“思變\"相結(jié)合對非整周運動的理解有難度時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過辨析旋轉(zhuǎn)，聯(lián)系平移運動是方向不變、大小形狀不變、位置發(fā)生變化，軸對稱是沿著對稱軸翻折可以完全重合，而旋轉(zhuǎn)是繞著某一個點（軸）運動，方向發(fā)生改變，大小形狀不變，讓學(xué)生在辨析中感悟變與不變，用數(shù)學(xué)的眼光嘗試表達(dá)生活中的情境，促進(jìn)學(xué)生在第一階段從水平一向水平二進(jìn)階。

此結(jié)合為知識與思想的辯證統(tǒng)一。圖形的運動區(qū)別于其他知識領(lǐng)域的是其運動視角，學(xué)習(xí)圖形運動的概念時，學(xué)生不僅要學(xué)會“思辨\"圖形的運動，更要用“思變\"的眼光看待生活中的運動現(xiàn)象。教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)運動的要素特征進(jìn)行辨析，用數(shù)學(xué)語言分析運動背后的元素，用聯(lián)系的眼光看待三種運動，感悟不變的思想。比如，在“蕩秋千\"的情境中，當(dāng)學(xué)生（2）\"作圖\"與\"構(gòu)圖\"相結(jié)合

此結(jié)合為表達(dá)與想象的緊密關(guān)聯(lián)。如果以結(jié)果為終點，教師往往只聚焦于如何作圖，但作圖只是數(shù)字表達(dá)的一種，關(guān)注作圖前的構(gòu)圖則是圖形運動中空間觀念所獨有的，能讓學(xué)生在思考圖形的運動過程中發(fā)展想象力、提升理性分析能力。筆者認(rèn)為，教師要引導(dǎo)學(xué)生以“會作圖”為載體感悟圖形運動的特征，通過在頭腦中動態(tài)“構(gòu)圖”深刻感悟圖形運動的特征。比如，在繪制線段 AB 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 時，教師可以要求學(xué)生先想象對應(yīng)的 B^′ 點，再進(jìn)行刻畫，不斷建構(gòu)頭腦中的表象，在第二階段的直觀想象與簡單分析抽象階段實現(xiàn)水平層次的跨越。

（3）“解釋\"與\"解決\"相結(jié)合

此結(jié)合旨在表征多元勾連與圖形問題解決上雙向奔赴，強調(diào)在運動“解釋\"時的表征多元與勾連互通。解決問題的能力是學(xué)生思維提升的重要標(biāo)志，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合運動的知識進(jìn)行相關(guān)問題的解決。如圖2所示，在解決七巧板的問題中，學(xué)生通過畫一畫、寫一寫、說一說多種方法說明 ③ 號三角形的組合運動，在解決問題中解釋組合運動背后的道理，明確旋轉(zhuǎn)是為了改變?nèi)切蔚男螤?，平移是為了改變?nèi)切蔚奈恢?，并通過表征勾連進(jìn)一步理解圖形的運動。

2.跨級而上一認(rèn)知序多元選擇

學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)呈現(xiàn)拾級而上的規(guī)律性進(jìn)階，但具體到學(xué)生個體，因其個體的多樣性會呈現(xiàn)拾級而上的隨機(jī)性進(jìn)階。學(xué)生空間觀念的進(jìn)階以學(xué)生認(rèn)知序為邏輯，階段的設(shè)定與水平的劃分只是一種假設(shè)而非定論，教師在圖形運動中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念時要進(jìn)行融合。

（1）“自上而下\"與“自下而上\"相融合

“自上而下”是從一般到具體的認(rèn)知過程，表現(xiàn)為演繹式的思考；“自下而上”是從具體到一般的認(rèn)知過程，表現(xiàn)為歸納式的思考。學(xué)生在理解圖形運動的概念時，往往先通過感悟大量的運動現(xiàn)象，再理解圖形運動元素的本質(zhì)；在應(yīng)用圖形的運動時，先明確運動本身的特征，再進(jìn)行對應(yīng)的綜合思考。比如，在教學(xué)“圖形的平移\"時，教師要準(zhǔn)確把握平移在不同階段的教學(xué)要求，如圖3所示，左圖為第一次教學(xué)平移時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過感悟圖片旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小、形狀、方向等變化;右圖為第二次教學(xué)“圖形的平移\"時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過比較三角形 ABC 起始位置和終點位置，從整體感悟走向元素感知。教師自上而下把握平移教學(xué)各個階段的要求，能讓學(xué)生自下而上將平移的經(jīng)驗進(jìn)行遷移。

（2）“序列化\"與\"并行化\"相融合

“序列化\"是指按順序處理信息，一次只處理一個或一小部分信息；“并行化”允許同時處理多個信息。比如，在學(xué)習(xí)“圖形的運動\"時，學(xué)生在嘗試探索期時往往只會開展某種熟悉的運動方式；在概念內(nèi)化到了一定程度后學(xué)生可開展多種運動方式的“并行化\"處理，表現(xiàn)為多種方法解決問題。圖4是“旋轉(zhuǎn)\"練習(xí)課時，教師引導(dǎo)學(xué)生先平移后旋轉(zhuǎn)或先旋轉(zhuǎn)再平移，感受解決問題的多樣性；然后教師通過將旋轉(zhuǎn)中心外置，以點（5，3）為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 90^° ，讓學(xué)生在對比不同方法中深刻理解旋轉(zhuǎn)運動。

總之，空間觀念在“圖形的運動”學(xué)習(xí)主題下有了板塊化的具象要求，其進(jìn)階模型對培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念具有重要作用。

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4］劉曉玫．小學(xué)生空間觀念的發(fā)展規(guī)律及特點研究[D].東北師范大學(xué)，2007.

[5]袁櫻．小學(xué)幾何教學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)研究[D]．云南師范大學(xué)，2007.

[6]吳正憲，劉勁苓，劉克臣．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀［M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.