小學(xué)“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”空間觀念的進(jìn)階水平探究與應(yīng)用

空間觀念是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。圖形運(yùn)動(dòng)是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要知識(shí)載體，學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)有本能感知，對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的理解認(rèn)知、表象建立、特征表達(dá)以及應(yīng)用上既具有非標(biāo)準(zhǔn)性，也存在個(gè)體差異性。教師要如何明晰學(xué)生“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”空間觀念的進(jìn)階發(fā)展趨勢(shì)，從而以整體的結(jié)構(gòu)化視角助力每個(gè)階段的教學(xué)到位而不越位？筆者基于核心素養(yǎng)進(jìn)階的視角，對(duì)小學(xué)階段“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階水平進(jìn)行研究，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階變量

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知并描述圖形的“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”和變化規(guī)律[1]，在圖形折疊的過程中形成表象并進(jìn)行一定的推理[2]。

筆者將“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”的空間觀念的進(jìn)階變量分為“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的理解、“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"表象的形成、“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"特征的表達(dá)和“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的應(yīng)用四類[3]。

第一類：“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的理解，是指學(xué)生學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"時(shí)的認(rèn)知方式，整體感知軸對(duì)稱圖形特點(diǎn)，利用元素理解軸對(duì)稱圖形特征的定量認(rèn)知，并利用性質(zhì)理解“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的定性分析[4]。

第二類：“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"表象的形成是指學(xué)生形成關(guān)于軸對(duì)稱的不同表象及對(duì)表象的加工，識(shí)別與實(shí)際生活密切關(guān)聯(lián)的軸對(duì)稱現(xiàn)象，從實(shí)際物體中抽象出軸對(duì)稱圖形，對(duì)軸對(duì)稱圖形特征進(jìn)行分析，以及將軸對(duì)稱作為一種運(yùn)動(dòng)看待。

第三類：“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"特征的表達(dá)，是指學(xué)生利用單一或多種表征說明軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折后兩邊互相重合的特征。

第四類：“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的應(yīng)用，是指學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待圖形運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)，以及圖形運(yùn)動(dòng)與圖形位置之間的聯(lián)系，并借助運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)視角解決問題，形成數(shù)學(xué)多主題之間的一致性。

二、“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的水平劃分

學(xué)生“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的發(fā)展具有層次性，從直觀想象開始，逐步融入分析、抽象、推理等，遵循“完全直觀想象 $$ 直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象分析 $$ 直觀想象與復(fù)雜分析\"[5]的進(jìn)階發(fā)展趨勢(shì)，每個(gè)階段根據(jù)四類進(jìn)階變量再細(xì)分為三個(gè)水平，從而形成“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階模型，如圖1所示。

1.完全直觀想象階段的\"軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念

在完全直觀想象階段時(shí)，學(xué)生能從軸對(duì)稱現(xiàn)象中抽象出軸對(duì)稱圖形，通過語(yǔ)言和圖像表征之間的聯(lián)系，整體認(rèn)知軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，初步形成軸對(duì)稱圖形表象，并解決簡(jiǎn)單的問題。該階段三個(gè)進(jìn)階水平如表1所示。

2.直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象的“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念

第二階段的學(xué)生，能夠在直觀想象基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單分析抽象，對(duì)稍復(fù)雜的軸對(duì)稱表象進(jìn)一步進(jìn)行抽象加工；能在格子圖中感知軸對(duì)稱圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸距離相等的圖形特征；能夠逐步脫離動(dòng)手操作走向心理操作，從動(dòng)手“對(duì)折\"和“翻折\"走向心理操作的折疊[]。

第二階段的學(xué)生傾向于將靜態(tài)的圖形作為研究對(duì)象，更關(guān)注軸對(duì)稱圖形的特征，而忽略軸對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)。該階段三個(gè)進(jìn)階水平如表2所示。

3.直觀想象與復(fù)雜分析的“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念

在第三個(gè)階段，學(xué)生具備了在格子圖中定量研究平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和軸對(duì)稱圖形特征的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，積累了表示圖形位置的知識(shí)和技能，能形式化理解圖形的運(yùn)動(dòng)，能通過元素感知一個(gè)圖形沿對(duì)稱軸分割后兩個(gè)部分的聯(lián)系，開始從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)研究“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”。

學(xué)生能夠借助邏輯推理將軸對(duì)稱從圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)階為運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，在對(duì)比三類剛體運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）的異同中，形成聯(lián)系的眼光看待圖形的運(yùn)動(dòng)，并用運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)視角解決復(fù)雜的問題。該階段三個(gè)進(jìn)階水平如表3所示。

三、空間觀念進(jìn)階下“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”的教學(xué)應(yīng)用

根據(jù)小學(xué)“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階水平，教師在教學(xué)時(shí)可以形成結(jié)構(gòu)化的關(guān)聯(lián)視角。筆者以“軸對(duì)稱（一）\"\"軸對(duì)稱（二）\"\"軸對(duì)稱的練習(xí)課”（下文簡(jiǎn)稱為“課1\"\"課2\"\"課3\"）三節(jié)課分別作為三個(gè)階段的關(guān)鍵課例（如圖2所示），利用課例中關(guān)鍵環(huán)節(jié)闡述教學(xué)應(yīng)用。

1.認(rèn)知進(jìn)階，從整體認(rèn)識(shí)到元素感知

三節(jié)課體現(xiàn)三個(gè)階段遞進(jìn)發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的認(rèn)知方式，從整體感知軸對(duì)稱圖形特點(diǎn)到元素感知“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”，從定性走向定量。課1借助正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形三角形，設(shè)計(jì)“先判斷這些圖形是否是軸對(duì)稱圖形，再動(dòng)手對(duì)折進(jìn)行驗(yàn)證\"的學(xué)習(xí)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)沿著對(duì)稱軸整體想象并動(dòng)手驗(yàn)證圖形的對(duì)折。課2借助“用不對(duì)折的方法說明等腰梯形和平行四邊形是否是軸對(duì)稱圖形\"的學(xué)習(xí)活動(dòng)，重在讓學(xué)生感知每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。課3通過“自主想象并驗(yàn)證10個(gè)數(shù)字翻折以后是哪些數(shù)字\"的學(xué)習(xí)活動(dòng)，拓展到圖形的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)。

2.想象進(jìn)階，從圖形特征到運(yùn)動(dòng)屬性

三節(jié)課體現(xiàn)三個(gè)階段逐步促進(jìn)學(xué)生形成關(guān)于“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"的不同表象。三節(jié)課都不斷引導(dǎo)學(xué)生想象圖形沿著對(duì)稱軸對(duì)折重合的過程，還借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，將學(xué)生頭腦中的運(yùn)動(dòng)過程變成可視化的過程。特別是在課3中，從水平和垂直兩個(gè)方向沿著圖形的邊線翻折，到對(duì)稱軸逐漸遠(yuǎn)離圖形邊線，在對(duì)稱軸數(shù)量從有限到無限的過程中，愈發(fā)凸顯兩個(gè)圖形之間的軸對(duì)稱關(guān)系。學(xué)生可以從一次“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)\"拓展到兩次“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”，建立“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”作為一種運(yùn)動(dòng)形式的表象。

3.表達(dá)進(jìn)階，從生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念

三節(jié)課體現(xiàn)三個(gè)階段，隨著表征的逐步精準(zhǔn)，能促使學(xué)生對(duì)“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”的表達(dá)形成從模糊走向清晰。課1重在讓學(xué)生動(dòng)手對(duì)折圖形紙片，通過想象猜測(cè)與動(dòng)手驗(yàn)證結(jié)果之間的沖突，突破圖形“相同\"與“對(duì)稱\"的辨析難點(diǎn)，以圖像和操作表征的互通理解“軸對(duì)稱圖形沿著對(duì)稱軸對(duì)折完全重合”。課2通過量一量、數(shù)格子等動(dòng)手活動(dòng)驗(yàn)證點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是否相等，以操作、語(yǔ)言、圖像表征的互通理解“軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等\"的特征。課3通過畫對(duì)稱軸和軸對(duì)稱圖形的另一半，以操作表征、圖像、語(yǔ)言表征的互通理解“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”。

4.應(yīng)用進(jìn)階，從單一運(yùn)動(dòng)到多種運(yùn)動(dòng)

三節(jié)課體現(xiàn)三個(gè)階段逐步構(gòu)建三類剛體運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。課1重在讓學(xué)生辨析軸對(duì)稱圖形，形成概念的準(zhǔn)確內(nèi)涵和外延。課2重在讓學(xué)生利用軸對(duì)稱圖形的特征在格子圖中補(bǔ)全另一半，體現(xiàn)了特征的應(yīng)用。課3則是類比推理到所有數(shù)字，通過兩次平行的對(duì)稱軸變化得到原來數(shù)字的本身，溝通了兩次平行的“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”和平移之間的關(guān)系，為后續(xù)研究三類運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系和區(qū)別奠定基礎(chǔ)。

厘清“軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”空間觀念進(jìn)階發(fā)展的規(guī)律，有助于教師發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，既體現(xiàn)了教學(xué)邏輯序的螺旋上升，又體現(xiàn)了學(xué)生認(rèn)知序的循序漸進(jìn)，讓教師在學(xué)生進(jìn)階發(fā)展的關(guān)鍵處下功夫，有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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