基于新課標的小學數學運算教學一致性研究

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2025）24-0063-04

新課標背景下，運算教學的一致性為培養(yǎng)學生運算能力、提高核心素養(yǎng)又指明了一條新路。特別是新課標通過“數與運算”“數量關系”兩個主題厘清數與運算的一致性，促使“數與運算”教學進一步結構化，有助于學生進一步感受數與運算的一致性，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、運算教學一致性的認識

（一）對四則運算意義一致性的認識

1.四則運算的一致性

在小學階段，只學習加、減、乘、除四則運算和整數、小數、分數的四則運算。其實無論是整數、小數的運算意義，還是分數的四則運算的意義都是一致的。從這個角度上來說，小學數學教師早就在落實一致性了，只是這種一致性是比較淺層的，它體現在三種不同數理的數中。

2.四則運算之間的一致性

加法作為一個核心概念，減、乘、除都和加法有關系。有了加法，才有了減法，因為減法是它的逆運算；有了加法，才有了乘法，因為乘法是它的簡便運算；乘法實質上就是在做加法，它只是一組組數的加，如 5×3 ，就是3個3個的加；而除法也就是在做減法，它只是一組組數的減，如 15÷3 ，就是3個3個的減。這樣，以加法為統(tǒng)領，加減乘除之間的關聯，正是四則運算之間的一致性。

3.運算本質上的一致性

教師已經逐步在引導學生從“計數單位個數”運算的角度來理解算理并掌握算法，也逐步能把這樣的方法應用到整數和小數的乘、除法。另外，在分數乘除以一個整數的教學中，也能夠比較清楚地理解運算本質。例如， 135+32 就是1個百3個十5個一加3個十2個一； 就是5個十分之一加3個十分之一；+5 就是1個 加2個1等，在這里，加法就是相同計數單位上的數字相加，在三種不同數理的數的運算中，都是一致的；減法是加法的逆運算，減法運算是把相同計數單位上個數進行相減。

乘除法的算理要比加減法稍微復雜一些，以整數乘法為例：

這里的整數乘法的運算其實是被分成兩種運算：一是計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位（即加粗數字）；二是計數單位上的數字與計數單位上的數字（未加粗數字）相乘得到新的計數單位的個數。

在整數的乘除法運算中，還是比較容易理解產生新的計數單位的算理;而在小數中，可以采用數形結合，如計算 0.24×1.2 可以借助圖形來理解，如圖1所示。

分數單位相乘的算法也一樣。如 1×2 就表示求出新的計數單位的個數，而 則表示求出新的計數單位。采用數形結合，借助圖形就可以理解產生的新的計數單位就是計數單位的細分。（圖2）

除法是乘法的逆運算，除法的算理和算法的探求可以還原為乘法。乘除法運算（整數除法可以把除數看成分母是1的分數）的算理和算法一致性體現為：計數單位與計數單位相乘除，計數單位的個數之間相乘除。

（二）對四則運算定律一致性的認識

在小學階段，運算定律的學習都是從整數的運算定律開始，再把整數的運算定律推廣到小數的運算中去，最后推廣到分數的運算中去，這也很好地說明了運算的一致性。

而運算定律的學習難點在于這些運算定律在整數運算中和在小數、分數運算中的掌握情況完全不同。要解決運算定律在整數、小數、分數運算中能夠靈活運用的問題，還是要通過“簡便運算的本質”，也就是計數單位來解決。

1.以整數加法的結合律為例

在計算 64+58+36 時，通常把 58+42 先相加，因為他們能“湊整”，所以計算就簡便了；那為什么他們“湊整”了，就能夠簡便了呢？沒有弄清楚這個原因，教師就不能把整數加法運算定律的本質教給學生。

學生都知道\" 3+5^{，，} 和“ 30+50^? ，“ 300+500 \"“300+800 ”一樣好算，但 3+5 是一位數加一位數的“簡單”;而‘ 30+50^99…300+500^99…300+800⁹ '是只有一個計數單位在運算的“簡單”。而這正是簡便運算的本質?！皽愓本褪前褞讉€計數單位，整合成一個計數單位，學生只需要進行一個計數單位的運算就可以，自然簡單多了。

2.乘法的結合律、分配律

整數乘法的結合律、分配律常見的是把25和4先相乘、125和8先相乘，它們相乘后，計數單位變得簡單，再用整十、整百，或整千數進行乘法計算，就簡單多了；同理推廣到小數，再到分數計算時，把不同的分數單位（計數單位）轉化為整數，復雜的分數計算也就變得簡單多了。

二、運算教學一致性的意義

（一）基于新課標理念的要求

新課標把“數與代數”領域里的“數的認識”與“數的運算”整合為“數與運算”，這樣就把數的概念與數的運算之間的關聯打通了，使它們二者具有整體性與一致性；而把整數、分數、小數運算的算理都落實到計數單位的個數上來，就可以將整個小學階段的數的運算都結合到一起，學生也能從一個整體的角度去把握和理解數學知識與方法，從而形成數感、符號意識、推理意識等核心素養(yǎng)。

（二）基于當前課堂教學現象

當前，小學數學教學處于新舊課標更迭的時期。有的教師仍難以按新課標要求從該節(jié)課所要落實的核心素養(yǎng)表現出發(fā)去解讀教材，對教學內容的核心問題是模糊的，對教材中隱性的、深層的內容的提煉更是無從說起。這樣淺層的教學，無法引發(fā)學生的深度學習，不利于形成完整的知識結構。因此，基于這樣的課堂教學現象，落實運算教學一致性就更加迫切。

（三）基于數學學科的本質

新課標一再強調數學課程內容的整體性。整體性就是指教材的編寫、教師的教學設計應該關注如何突出數學課程的核心內容，使它們在看似不同的知識之間，突出相關的本質問題，構建出知識與知識之間互聯互通的橋梁，從而形成知識結構。而數與運算本身就是一個整體。所以，小學數學教師不僅要把握好數的概念本質上的一致性和運算的一致性，還要把握好數與運算的一致性，并找到它們的關聯點，實現“數與運算”的一致性。

三、運算教學一致性的策略

（一）聚焦核心內容，優(yōu)化運算教學整體建構

小學生知識建構受到了兩個方面的影響，一個是小學生的認知發(fā)展規(guī)律，另一個是教師的教學風格?，F行的小學數學教材是遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律分年級編排的，有一定的碎片化、零散化，不利于小學生自行建立系統(tǒng)化和結構化的知識體系。而由于數學的學科特點（簡潔性、實用性），教師習慣總結提煉，不同數理的數的不同運算總會被歸納成各自的算法，有些教師走向了只教算法、不教算理的極端。

基于一致性的運算教學，教師要積極尋找不同數理的數的不同運算之間的連接點（計數單位），從而引導學生運用比較、類推、遷移等學習方法，逐步學會自主分類整理，梳理脈絡，建立知識整體結構，即建立以數學核心內容為主體的承重墻，打通各年級碎片知識的隔斷墻，把知識穿成線、連成串、織成網，統(tǒng)領數學知識，從而來優(yōu)化知識建構。

以“三位數乘兩位數”這個單元為例，這個單元共有5個例題，有5個知識點，對這幾個知識點建議用6課時來完成。教師需要將知識點整合起來進行教學，這就要抓住它的核心，聚焦核心概念，通過計數單位把知識點聯系起來，從而進一步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

（二）聚焦學習過程，促進運算教學方法遷移

數學學習與學生認識發(fā)展規(guī)律是一個同步循序漸進的過程。隨著學生思維能力的不斷發(fā)展，數學知識的編排也逐步螺旋上升，學生掌握知識與技能的過程，也是一個不斷遷移應用、積累學習經驗、學習方法的過程，通過不斷積累，提升學習能力，逐步學會用數學的思維思考現實世界。

以教學“三位數乘兩位數”為例，教師可以鼓勵學生基于已有經驗進行有效遷移，提高學生的運算能力和推理意識。學生在學習兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數的時候，已經積累了拆、算、合的方法，并初步認識了轉化的數學思想方法，對從未知到已知的轉化的感悟也逐步加深。所以在這一節(jié)課中，教師就可以引導學生繼續(xù)遷移拆、算、合的方法到三位數乘兩位數的運算中。并進一步引導學生思考：“如何求三位數乘三位數？四位數乘三位數？多位數乘多位數？”進而感悟已有經驗是可以遷移到更多位數乘法的計算的一致性，更好地發(fā)展運算能力、推理意識，落實核心素養(yǎng)。因此，基于一致性的運算教學，要引導學生領悟學法的一致性，使學生在建構知識的過程中通過遷移體會感悟“一致”的學習方法，體會到數學的一致性和關聯性。

（三）聚焦核心問題，推動運算教學方式變革

所有運算的算理都是基于計數單位，要讓學生體會數的運算本質上的一致性，就要特別重視計數單位這個核心概念。教師應引導學生圍繞“核心問題”（計數單位）展開學習，理解一致性，設計“核心問題”是關鍵，把學生從貌似熱鬧非凡的討論中拉回來到“核心問題”上思考更關鍵。而聚焦核心問題的課堂教學，也滿足了新課標關于課堂學習方式變革的要求，即“改變單一講授式教學方式，注重啟發(fā)式、探究式、參與式、互動式等”。所以，基于一致性的運算教學，更應注重運算教學的整體性，以大單元整體教學理念，聚焦核心問題，通過核心問題引導學生探究知識，呈現學生圍繞著核心問題展開思考、交流、討論的課堂學習方式，逐步優(yōu)化課堂學習方式。

（四）聚焦思維創(chuàng)新，拓寬運算教學發(fā)展路徑

1.調整教材，另辟蹊徑

在實際教學中，不少學生對小數除法的算理掌握得還不錯，而算法方面掌握得不是很好，分數除法主要表現在一個數除以分數的算理較為抽象，學生較難掌握。這是因為從整數除法到小數除法，因其形式相似，利用將未知轉化為已知的思想，基本實現了整數除法與小數除法的一致性。但是到分數除法這一部分，沒有很好地遷移整數、小數除法的方法和經驗。這三者之間的不一致，不利于學生整體知識建構、理解相關內容，更不利于學生形成良好的思維習慣。這個難點可以通過調整教材實現破解：可以先學習分數除法，再將小數除法轉化為分數除法。這就需要對自前的教學內容進行調整。也就是在學習整數除法的時候，整數除以整數能整除的用整數表示；不能整除的，用小數表示結果，進一步從運算的角度體會小數的意義。接著調整為先學習分數除法，這部分主要解決以下問題： ① 分數意義：整數 ÷ 整數（用分數表示結果），滲透整數除法與乘倒數的關系。 ② 分數除法的算理算法。最后再學習小數除法，這時候只需要把小數除法轉化為分數除法就可以了。

在這種調整思路下，只要解決好三個問題就能夠較好地實現運算的一致性： ① 讓學生體會整數除法與乘倒數的關系； ② 利用代數推理驗證分數除法的算法的正確性； ③ 幫助學生同化小數除法獲得通法。這樣最終在小數運算的學習中，將未知轉化為已知，將小數除法轉化成分數除法，實現了“分數、小數除法運算的一致性”。

2.主題研究，尋求突破

針對分數除法的算理較難掌握，無法和小數除法形成運算的一致性，不需要重組教材，而只需要就類似分數除法的難點內容開展小主題研究，探索出和其他運算“一致”的方法。（圖3）

如在學習了多邊形的面積后，把多邊形面積計算公式“統(tǒng)一”為 （a+b）×h÷2 ，實現面積計算的一致性。

平行四邊形： a=b，（a+b）×b÷2=（a×2）×b÷2= （20 a×h （204號

三角形： a=0，（a+b）×b÷2=（a+0）×b÷2=a× h÷2

長方形： ?h=b，（a+a）×b÷2=（a×2）×b÷2=a×b

圓形還是按照轉化成近似直線圖形（平行四邊形或者三角形）的思路來理解。由此可見，通過一個公式就完成面積計算的“一致性”。另外，體積計算也可以通過這樣的形式。

同理，在六年級開展總復習時，教師可以通過計數單位這個核心概念的溝通聯結，引導學生發(fā)現數與運算之間的一致性，幫助學生梳理數與運算結構脈絡，理解數學本質。

3.因材施教，促進學生素養(yǎng)發(fā)展

新課標提出運算一致性的重要目的是使學生能夠體會數學的整體性和聯系性，加深他們對運算的理解，發(fā)展其運算能力和推理意識。對一致性，教師應合理地加以研究、掌握，以及引導學生發(fā)現、運用。在實際教育教學中，教師要關注學生的真實想法，鼓勵他們思考如何遷移已有經驗探索算法、算理，如何將未知轉化為已知，如何建立運算之間的溝通關聯。有時學生的想法并不一定與教師的教學設計一致，教師應及時關注生成點，通過多維評價鼓勵學生表達自己的思考，并互相分享交流，從而真正促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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