實(shí) 踐操作在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中的探索

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”出臺(tái)后，對(duì)小學(xué)階段的“數(shù)與代數(shù)\"領(lǐng)域的“數(shù)與運(yùn)算\"主題提出了明確要求，尤其是“數(shù)的運(yùn)算”，明確“重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運(yùn)算之間聯(lián)系密切”；同時(shí)指出：“經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，理解算理，掌握算法。\"“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！边\(yùn)算能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)關(guān)注板塊。同時(shí)，新課標(biāo)要求，在真實(shí)的具體情境中，體會(huì)推理的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體操作活動(dòng)感悟和理解運(yùn)算。

在現(xiàn)有教材的基礎(chǔ)上，探索如何落實(shí)新課標(biāo)的要求與理念，這是一線教師的努力方向。基于上述要求和理論，教師對(duì)運(yùn)算教學(xué)開展一系列的實(shí)踐和研究，在課堂教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生以“實(shí)踐性\"運(yùn)算學(xué)習(xí)為主，替代傳統(tǒng)的接受式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深人體驗(yàn)算理形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生提煉簡(jiǎn)潔、易懂的算法，內(nèi)化運(yùn)算的“理”和\"法”。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比感悟“數(shù)的運(yùn)算\"在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)中的一致性，使學(xué)生在操作、比較、歸納中發(fā)展核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的減負(fù)增效，

一、實(shí)踐與建構(gòu)：在動(dòng)手操作中體驗(yàn)算理的形成過(guò)程

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)需讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)抽象的層次性和邏輯傳遞性。在這一過(guò)程中，實(shí)踐必不可少，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，運(yùn)用小棒、方格等學(xué)具操作，借助涂涂畫畫等幾何直觀，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)將抽象算理轉(zhuǎn)化為可以理解的計(jì)算本質(zhì)。通過(guò)實(shí)踐操作建構(gòu)算理模型，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、數(shù)感和運(yùn)算能力。

（一）創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，直觀感受

新課標(biāo)提出的核心素養(yǎng)—“三會(huì)”，緊密連接學(xué)生與“現(xiàn)實(shí)世界”，可見“真實(shí)情境”對(duì)學(xué)生理解抽象內(nèi)容的重要性。新課標(biāo)中“真實(shí)情境\"是高頻詞，共出現(xiàn)20處，這里并不包括相近意思的詞，如具體情境、現(xiàn)實(shí)世界等。例如，總目標(biāo)提出：“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及生活的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。”

同時(shí)，真實(shí)情境貼近學(xué)生的生活，可以借助生活經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生理解新的計(jì)算算理，給予學(xué)生探究的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，從而將抽象的算理變得直觀易懂。因此，在教學(xué)計(jì)算時(shí)，教師不是出一道計(jì)算題，而通常都是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

如教授蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“筆算小數(shù)加、減法\"（以下簡(jiǎn)稱\"課例1”教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算價(jià)格，讓學(xué)生思考嘗試說(shuō)明求4.75元和3.4元合起來(lái)是多少元，再鼓勵(lì)學(xué)生畫一畫探究計(jì)算過(guò)程。這樣在自主探究中，領(lǐng)悟小數(shù)意義及相同單位相加的算理，如4.75元就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，相同單位的數(shù)量相加就可以得出結(jié)果了。

借助“元角分\"等單位，學(xué)生可以結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，把小數(shù)轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的整數(shù)形式，從而理解新的計(jì)算的本質(zhì)一一相同單位的數(shù)量相加，這和最終的算理雖還不完全相同，但其本質(zhì)是一致的，也就是在這里已經(jīng)初步形成算理的雛形。

（二）使用數(shù)學(xué)學(xué)具，抽象體驗(yàn)

動(dòng)手操作也是新課標(biāo)的高頻詞，課標(biāo)文本中出現(xiàn)34處。第一學(xué)段的教學(xué)提示中，明確提出：“數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)的加減運(yùn)算需在相同數(shù)位上進(jìn)行，體會(huì)簡(jiǎn)單推理過(guò)程；通過(guò)具體操作活動(dòng)，用對(duì)應(yīng)的方法理解加法的意義，感悟減法是加法的逆運(yùn)算…\"雖然在第二、三學(xué)段并未直接提出這一要求，但能夠看出課標(biāo)是鼓勵(lì)操作的。

操作是幫助學(xué)生將抽象算理直觀化的重要手段學(xué)生通過(guò)操作，能獲得直觀、清晰的體驗(yàn)和理解，對(duì)學(xué)生理解算理有事半功倍的效果，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)、數(shù)感、運(yùn)算能力至關(guān)重要

如前文中，結(jié)合元角分真實(shí)情境，那么為了學(xué)生更加直觀地體驗(yàn)，可以給學(xué)生一些人民幣學(xué)具，讓探究更具有操作性，更易于理解。同時(shí)，還可以提供一些小方格學(xué)具，結(jié)合小數(shù)的意義幫助學(xué)生理解算理。

圖1教具擺放

如圖1所示，學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)擺放學(xué)具，便會(huì)把相同單位或相同計(jì)數(shù)單位對(duì)齊并相加，在操作過(guò)程中，自然地呈現(xiàn)算理，小方格學(xué)具便更準(zhǔn)確地指向了小數(shù)加法計(jì)算的算理一相同計(jì)數(shù)單位相加。

（三）借助涂涂畫畫，深入內(nèi)化

畫圖是貼近學(xué)生的操作方式之一，尤其適用于低年級(jí)教學(xué)中可鼓勵(lì)學(xué)生畫一畫來(lái)研究計(jì)算，這降低了學(xué)生對(duì)學(xué)具的依賴，即便沒(méi)有學(xué)具，可以借助紙筆畫一畫來(lái)研究。畫圖對(duì)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用幾何直觀的要求更高，從被動(dòng)的操作轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)地借助幾何直觀來(lái)實(shí)現(xiàn)真正的探究。

如一年級(jí)\"九加幾\"的教學(xué)，除提供學(xué)生學(xué)具，也可以鼓勵(lì)學(xué)生再在紙上畫小棒、方格、小圓等簡(jiǎn)單圖形，通過(guò)畫一畫、圈一圈，感受湊十法的本質(zhì)。讓學(xué)生在“涂畫\"中，理解運(yùn)算算理形成的過(guò)程，也可以更快地得到結(jié)果。

二、比較與歸納：在整體教學(xué)中提煉算法、內(nèi)化聯(lián)系

運(yùn)算教學(xué)的兩個(gè)重點(diǎn)是算理和算法，兩者相輔相成幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，在比較和歸納中提煉算法。算法具有延續(xù)性的特點(diǎn)，新課標(biāo)倡導(dǎo)單元整體教學(xué)，可將如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算等同一知識(shí)體系整合為一個(gè)大單元，教學(xué)時(shí)可以整體考慮，讓學(xué)生感受到其中的聯(lián)系。

（一）提煉算法，有\(zhòng)"法\"可依

提煉算法的過(guò)程也是比較和歸納的過(guò)程，一方面借助算理研究中不同的研究角度，另一方面借助幾道計(jì)算的橫向比較，鼓勵(lì)學(xué)生用簡(jiǎn)潔、易懂的文字總結(jié)出算法。算法注重“簡(jiǎn)”，可以讓每一位學(xué)生在知道計(jì)算的“法”，或者說(shuō)是計(jì)算的步驟，當(dāng)遇到這一類計(jì)算時(shí)，便可以有“法\"可依。

如教授“除數(shù)是小數(shù)的除法\"時(shí)，經(jīng)過(guò)被除數(shù)、除數(shù)小數(shù)位數(shù)不同的幾道計(jì)算后，在比較中，學(xué)生得出算法，并幫助學(xué)生用最簡(jiǎn)潔的文字進(jìn)行歸納：一看、二移、三算。雖然簡(jiǎn)單，但是也要讓學(xué)生理解每一步的這一個(gè)字表示的內(nèi)涵，如一看，看什么：除數(shù)是幾位小數(shù)，這便是計(jì)算的關(guān)鍵一步；二移，又該怎么移：被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)相同的位數(shù)；三算，又該怎么算：按除數(shù)是整數(shù)的除法計(jì)算。有了“簡(jiǎn)單\"的算法和算法每步的意義，對(duì)于學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，便可以說(shuō)“簡(jiǎn)單\"多了。

（二）關(guān)注聯(lián)系，整體構(gòu)架

計(jì)算教學(xué)是有一定聯(lián)系的，只要不是起始教學(xué)課，就都有前知可以借鑒和轉(zhuǎn)化，那么其中的聯(lián)系，就是教師需引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注和參考的。這不僅是大單元整體教學(xué)的體現(xiàn)，也是“數(shù)的運(yùn)算\"整體性的體現(xiàn)。算法是有延續(xù)性的，每一個(gè)新的算法都是站在“前人\"的肩膀上的，這也是滲透學(xué)生的研究方法。

如“小數(shù)乘法\"的教學(xué)，是先學(xué)習(xí)“小數(shù)乘整數(shù)”，再學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”，站在單元整體的角度看待這兩個(gè)課時(shí)，算法的教學(xué)既有區(qū)別又有延續(xù)。在“小數(shù)乘整數(shù)\"時(shí)，可以將算法歸納為：一算（轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法計(jì)算）二點(diǎn)（乘數(shù)有幾位小數(shù)積就是幾位小數(shù)）三化簡(jiǎn)（根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)）。那么，在學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”時(shí)在前一課時(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，于是通過(guò)比較，在“點(diǎn)\"這一步之前，加入“數(shù)”，將兩課時(shí)的算法擴(kuò)充并統(tǒng)一為：一算、二數(shù)（數(shù)乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)）、三點(diǎn)、四化簡(jiǎn)。從整體出發(fā)，有效地讓學(xué)生掌握了算法。

三、理解與重塑：“數(shù)的運(yùn)算\"整體性與一致性的感知

“數(shù)與運(yùn)算\"的整體性和一致性是在新課標(biāo)出臺(tái)后，一線教師尤其關(guān)注的。“數(shù)的運(yùn)算\"包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的哪一種運(yùn)算，都最終指向計(jì)算單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細(xì)分。在教學(xué)中，努力讓學(xué)生感受其中的整體性與一致性，才能更好地發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

（一）從“頭\"關(guān)注，借助已有經(jīng)驗(yàn)

前文提到，只要不是起始課，就有經(jīng)驗(yàn)可循。為了幫助學(xué)生更好地感受數(shù)的運(yùn)算整體性與一致性，就從復(fù)習(xí)導(dǎo)人開始，借助已有的經(jīng)驗(yàn)，要有意識(shí)地幫助學(xué)生去關(guān)注其中的聯(lián)系。

如課例1的導(dǎo)入便是整數(shù)加減法計(jì)算，并喚醒學(xué)生整數(shù)加減法的算理、算法和注意點(diǎn)。再如，“小數(shù)乘小數(shù)\"的導(dǎo)人環(huán)節(jié)必然要復(fù)習(xí)上一課時(shí)“小數(shù)乘整數(shù)”所學(xué)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

（二）“縱\"向比較，溝通運(yùn)算本質(zhì)

“縱\"向比較就是不同數(shù)的相同運(yùn)算之間的比較，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的本質(zhì)，讓學(xué)生關(guān)注到“計(jì)算單位\"在運(yùn)算中的重要作用，從本質(zhì)上感受其中的整體性和一致性。

以加減法為例，在筆算整數(shù)加減法計(jì)算時(shí)，歸納了 ① 末位對(duì)齊” ② 從個(gè)位算起\"兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。隨后，在課例1的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生歸納得到‘ ① 小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊” ② 從最低位算起\"兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。雖然兩者看似不同，但是在縱向比較中發(fā)現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)的 ① 均為“相同數(shù)位對(duì)齊”，而 ② 也可統(tǒng)一為“從最低位算起”，這便是整數(shù)與小數(shù)的一致性。

而整數(shù)和小數(shù)的算法，也都是相同數(shù)位上的數(shù)相加減。但這樣的算法，對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加減法是非常困難的。因此，如果將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法看作一個(gè)大單位來(lái)整體思考，在教學(xué)時(shí)，更應(yīng)讓學(xué)生理解的是，整數(shù)計(jì)算中，就是幾個(gè)一和幾個(gè)一相加減，幾個(gè)十和幾個(gè)十相加減小數(shù)計(jì)算中，再延伸到幾個(gè)0.1和幾個(gè)01相加減也就是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。引入計(jì)數(shù)單位的一致性，學(xué)生在分?jǐn)?shù)加減法時(shí)才能更好地感受分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)加減法也是相通的。這也就是為什么異分母分?jǐn)?shù)不能直接加減，因?yàn)樗麄兊姆謹(jǐn)?shù)單位不同，而分?jǐn)?shù)單位也是特殊的計(jì)數(shù)單位。這樣的整體教學(xué)溝通了加減法運(yùn)算的本質(zhì)。

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，借助實(shí)踐，以操作為核心，進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)，可以達(dá)到減負(fù)增效的自標(biāo)。學(xué)生在不同類型的動(dòng)手操作中，體驗(yàn)算理的形成過(guò)程，從而借助實(shí)踐建構(gòu)算理；提煉更優(yōu)更簡(jiǎn)的算法，作為計(jì)算的扶手，在理解的基礎(chǔ)上強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系；在整體思考下，重塑和理解運(yùn)算的本質(zhì)，感受“數(shù)的運(yùn)算\"整體性與一致性。學(xué)生在運(yùn)算本質(zhì)的理解和掌握中，不斷提升運(yùn)算能力和推理意識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

1]董文彬.以核心概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的整體性與一致性：以小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算\"主題學(xué)習(xí)為例[J教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（3）：58-62