加減法“逆向還原問(wèn)題”的學(xué)習(xí)診斷與結(jié)構(gòu)化干預(yù)

引用格式.加減法“逆向還原問(wèn)題”的學(xué)習(xí)診斷與結(jié)構(gòu)化干預(yù)[.教學(xué)與管理，2025（20）：56-59.

加減法是一年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，其“還原減法運(yùn)算，解決問(wèn)題。

問(wèn)題”作為學(xué)生首次接觸的逆向思維問(wèn)題，是培養(yǎng)幾何直觀與模型意識(shí)的關(guān)鍵載體，也是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。人教版《數(shù)學(xué)》一年級(jí)上冊(cè)“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元中的還原問(wèn)題，以數(shù)量關(guān)系為核心，要求學(xué)生逆向推導(dǎo)。學(xué)生在前期學(xué)習(xí)中雖積累了加減法概念、圖畫(huà)表征等經(jīng)驗(yàn)，但面對(duì)逆向情境時(shí)，常因數(shù)量關(guān)系理解模糊、表征能力不足而受阻。本研究以教材例題為前測(cè)工具，通過(guò)診斷學(xué)生問(wèn)題表征與運(yùn)算選擇的障礙，構(gòu)建“學(xué)習(xí)診斷一結(jié)構(gòu)化干預(yù)”的實(shí)施路徑，旨在為一線教師提供可操作的教學(xué)策略，助力學(xué)生突破逆向思維瓶頸，深化對(duì)加減法本質(zhì)的理解。

一、問(wèn)題診斷：三級(jí)水平精準(zhǔn)定位

一步加減法問(wèn)題通常被細(xì)分為合并、變化和比較三種類型。其中，還原問(wèn)題屬于變化型，它涉及原始量、變化量和結(jié)果量三個(gè)關(guān)鍵數(shù)量。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要準(zhǔn)確地識(shí)別這些數(shù)量，理解變化的過(guò)程，并明確它們之間的關(guān)系，以便合理地選擇加法或

1.初次診斷“顯”問(wèn)題

為確保問(wèn)題診斷的可靠性和有效性，盡量降低偶然因素的影響，除了現(xiàn)行的2024版教材例題外，教師還增加了2022版教材中的例題進(jìn)行前測(cè)，以評(píng)估學(xué)生問(wèn)題表征和解決問(wèn)題的能力。鑒于一年級(jí)學(xué)生識(shí)字量有限，為控制這一因素對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的影響，評(píng)估過(guò)程中教師首先進(jìn)行范讀，接著讓學(xué)生領(lǐng)讀和齊讀，確保學(xué)生清楚知道問(wèn)題中每個(gè)字的讀音后，再獨(dú)立完成各項(xiàng)任務(wù)。測(cè)試卷的問(wèn)題及應(yīng)答要求示例見(jiàn)表1。

*該文為2023年度浙江省教師教育規(guī)劃課題“基于學(xué)習(xí)診斷的小學(xué)數(shù)學(xué)典型問(wèn)題干預(yù)教學(xué)研究”（SMZX2023230）、2025年度浙江省教育科學(xué)規(guī)劃課題“診斷·歸因·干預(yù)：基于數(shù)學(xué)典型問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙的教學(xué)研究”（2025SC297）的研究成果

原始量（如圖1）。例題以圖文結(jié)合的形式呈現(xiàn)，其中“領(lǐng)走了6個(gè)籃球”表示減少的數(shù)量，即變化量，“剩下5個(gè)”是結(jié)果量，“原來(lái)有多少個(gè)籃球”則是需要求解的原始量。測(cè)試卷通過(guò)“畫(huà)一畫(huà)”，分析學(xué)生對(duì)三個(gè)數(shù)量的識(shí)別情況，通過(guò)“填一填”初步評(píng)估學(xué)生對(duì)三個(gè)數(shù)量關(guān)系的理解，通過(guò)“列一列”分析學(xué)生算法的選擇情況。

統(tǒng)計(jì)初次評(píng)估數(shù)據(jù)顯示， 81.08% 的學(xué)生能夠通過(guò)圖畫(huà)準(zhǔn)確地表達(dá)問(wèn)題中的已知量，然而在解決問(wèn)題時(shí)目標(biāo)不夠明確； 29.73% 的學(xué)生僅能按照數(shù)量變化的順序列出算式，例如“ 11-6=5³ ；盡管 56.76% 的學(xué)生能夠列出正確的算式，但只有 9.52% 的學(xué)生能夠同時(shí)利用圖畫(huà)和圖示準(zhǔn)確地表征問(wèn)題。這表明學(xué)生在問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)換上存在困難。通過(guò)訪談進(jìn)一步確定，大部分能寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)算式的學(xué)生，對(duì)題目的理解也僅限于表面，僅僅機(jī)械記憶了“求原來(lái)用加法”的規(guī)則。

2.再次追測(cè)“定”層級(jí)

首次評(píng)估發(fā)現(xiàn)，僅用例題難以準(zhǔn)確評(píng)估學(xué)生的能力水平，進(jìn)而指導(dǎo)教學(xué)干預(yù)。因此，我們編制問(wèn)卷對(duì)學(xué)生實(shí)施二次追測(cè)。問(wèn)卷中設(shè)計(jì)減少型和增加型求原始量以及減少型求變化量各一題，以甄別依賴機(jī)械記憶解題的學(xué)生并考查他們的問(wèn)題自標(biāo)定位能力。

根據(jù)國(guó)內(nèi)相關(guān)研究[-3將一年級(jí)學(xué)生用一步加減法解決變化型問(wèn)題的能力劃分為三個(gè)水平級(jí)（見(jiàn)表2），并進(jìn)一步確定每位學(xué)生的水平層級(jí)及各個(gè)層級(jí)占比。

3.問(wèn)卷分析“明”障礙

學(xué)生在解決一步加減法問(wèn)題時(shí)，其認(rèn)知過(guò)程分為三個(gè)關(guān)鍵階段：第一，情境表征。學(xué)生依據(jù)圖文信息，結(jié)合個(gè)人生活經(jīng)驗(yàn)，在頭腦中構(gòu)建問(wèn)題情境的具體畫(huà)面。第二，識(shí)別數(shù)量，建立關(guān)系。基于情境表征，學(xué)生確定問(wèn)題中的原始量、變化量及結(jié)果量，并建立“原始量 ± 變化量 Σ=Σ 結(jié)果量”的關(guān)系。第三，選擇算法。學(xué)生確定求解的目標(biāo)，將上面的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為運(yùn)算。這一系列過(guò)程涵蓋了從問(wèn)題理解到抽象思維，再到具體運(yùn)算的完整過(guò)程，深刻反映了學(xué)生認(rèn)知能力的逐步深化與精細(xì)化發(fā)展。

水平1的學(xué)生在表現(xiàn)上呈現(xiàn)出兩種主要傾向。一是過(guò)分關(guān)注“數(shù)量”這一關(guān)鍵因素，卻忽略了將數(shù)量與個(gè)人生活經(jīng)驗(yàn)相融合，未能在頭腦中構(gòu)建出問(wèn)題的情境表征。他們難以辨識(shí)數(shù)量的增減變化，在應(yīng)對(duì)“減少”情境的問(wèn)題時(shí)，將其視為“增加”情境來(lái)處理。二是依賴“提前學(xué)”的經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)問(wèn)題時(shí)直接套用“求原來(lái)用加法”的口訣，簡(jiǎn)單地將已知的兩個(gè)數(shù)量相加來(lái)求解[4]

水平2的學(xué)生能清晰地構(gòu)建問(wèn)題表征，明確數(shù)量變化，區(qū)分原始量、變化量和結(jié)果量，理解它們的關(guān)系。但他們?cè)诮忸}時(shí)難以建立符合問(wèn)題自標(biāo)的集合關(guān)系或僅將加、減法作為記錄數(shù)量增、減變化的工具，未能將問(wèn)題中的集合關(guān)系精準(zhǔn)地對(duì)應(yīng)到運(yùn)算上，導(dǎo)致無(wú)法正確構(gòu)建算式，給出非標(biāo)準(zhǔn)答案。這表明他們?cè)趯⑶榫忱斫廪D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)存在障礙。

水平3的學(xué)生需突破的關(guān)鍵障礙在于建立抽象的“部總關(guān)系”圖式。雖然他們能區(qū)分原始量、變化量和結(jié)果量，但在理解三者間的“整體一部分”關(guān)系，并脫離具體動(dòng)作或關(guān)鍵詞進(jìn)行靈活運(yùn)算時(shí)，還存在認(rèn)知門(mén)檻。具體表現(xiàn)為：在減少情境中，難以內(nèi)化“原始量 Σ=Σ 減少量 + 結(jié)果量”的整體性；在增加情境中，難以抽象出“原始量 Σ=Σ 結(jié)果量－增加量”的逆向關(guān)系。能否超越運(yùn)算的表層記錄功能，構(gòu)建整體與部分關(guān)系模型，構(gòu)成水平二與水平三之間的認(rèn)知門(mén)檻。

二、精準(zhǔn)干預(yù)：三維策略搭建階梯

按照學(xué)生解決問(wèn)題的思維過(guò)程，針對(duì)各能力水平學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，我們著重從情境表征、圖畫(huà)表征以及算法選擇三個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)干預(yù)。

1.情境表征：從生活事件到數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)景教學(xué)針對(duì)一年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的特點(diǎn)，結(jié)

合認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于“動(dòng)作表征先于符號(hào)表征”的規(guī)律，我們?cè)O(shè)計(jì)了“具身化實(shí)景教學(xué)三部曲”（如圖2）。

抽象模型遷移 遷 事，借出5本總數(shù)反而增加，移 可能嗎？ 矛盾辨析 連接通道：元認(rèn)知提示語(yǔ)

（1）具身操作建立動(dòng)作表征。在課堂教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)小紅花的真實(shí)場(chǎng)景，手持一個(gè)裝有小紅花的不透明盒子，讓學(xué)生親自從盒子中取走小紅花5。同時(shí)，教師提出“小朋友仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息？能用三句話提出一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？”的要求，之后展示盒子中剩余的小紅花數(shù)量。不透明盒子的使用實(shí)現(xiàn)了“原始數(shù)量未知”的效果；學(xué)生親自操作或觀察“取花”的過(guò)程，使得動(dòng)作可視化，幫助學(xué)生形成直觀的視覺(jué)印象；展示剩余花朵的數(shù)量，即結(jié)果量的具象化。在用三句話描述問(wèn)題時(shí)，提出“原來(lái)盒子里有多少朵小紅花？”這一核心問(wèn)題，成功地將學(xué)生熟悉的日常情境轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）情境變式對(duì)比建立模型。當(dāng)學(xué)生成功解決較少情境的還原問(wèn)題后，教師以盒子內(nèi)小紅花數(shù)量不足為由，再次開(kāi)展實(shí)景模擬。學(xué)生又放入3朵小紅花，與全班學(xué)生一起數(shù)出此時(shí)盒子里小紅花總數(shù)為9朵。教師引導(dǎo)學(xué)生提出“盒子里原來(lái)有一些小紅花，陳紅又放進(jìn)去3朵，現(xiàn)在一共有9朵，原來(lái)盒子里有幾朵？”并對(duì)比之前的問(wèn)題，關(guān)注數(shù)量的變化。第一個(gè)問(wèn)題是從盒子里取走小紅花，朵數(shù)變少，而新問(wèn)題是往盒子里放入小紅花，朵數(shù)變多。通過(guò)對(duì)比，教師引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分不同的數(shù)量變化類型，深化對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解。

（3）雙通道轉(zhuǎn)化助力模型遷移。研究?jī)蓚€(gè)實(shí)景問(wèn)題后，大部分學(xué)生仍停留在具體情境中，未實(shí)現(xiàn)自主抽象。為此，教師開(kāi)展“一變?nèi)帯焙汀半p向轉(zhuǎn)化\"訓(xùn)練。鼓勵(lì)學(xué)生替換問(wèn)題中的物品、數(shù)量或人物，提出結(jié)構(gòu)相同的新問(wèn)題，并列出對(duì)應(yīng)算式，將情境泛化。隨后，教師指定一道算式引導(dǎo)學(xué)生講數(shù)學(xué)故事，使學(xué)生明確今天面臨的問(wèn)題和以前問(wèn)題的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而自主構(gòu)建問(wèn)題模型。教學(xué)過(guò)程中，教師以“這里為什么用加（減）法？”“借出后反而增加了，可能嗎？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自我監(jiān)控，促進(jìn)深度思考。

2.圖畫(huà)表征：基于情境生成的思維可視化路徑

圖形表征教學(xué)干預(yù)的重點(diǎn)放在輔助學(xué)生利用圖畫(huà)來(lái)表達(dá)問(wèn)題，明確不同集合之間的數(shù)量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的去情境化。

（1）逐句生成，示范構(gòu)建圖畫(huà)過(guò)程。靜態(tài)文字與圖畫(huà)表征精準(zhǔn)對(duì)應(yīng)是助力學(xué)生構(gòu)建還原問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的有效途徑。學(xué)生借助實(shí)景表演提出數(shù)學(xué)問(wèn)題后，教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)他們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖畫(huà)。教師收集并展示不同層次的學(xué)生作品，通過(guò)“你的圖畫(huà)能還原問(wèn)題嗎？”促使其完整呈現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)要素。教師可以采用集合圈替代大括號(hào)，因其整體感更強(qiáng)，用以表示“原來(lái)”，并逐步示范將文字轉(zhuǎn)化成圖形的過(guò)程，可參考圖3。

（2）看圖說(shuō)題，習(xí)得圖畫(huà)表征技能。構(gòu)建問(wèn)題的圖畫(huà)表征，借助圖畫(huà)分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，是解決問(wèn)題的基本策略。然而，一年級(jí)學(xué)生尚處于表征技能的初步習(xí)得階段，他們需要在文本與圖形間不斷地比對(duì)校驗(yàn)，從而精準(zhǔn)地表征問(wèn)題，逐步構(gòu)建表征規(guī)則。在教師示范之后，學(xué)生先模仿作圖，再引導(dǎo)他們交換作品，依據(jù)圖畫(huà)復(fù)述問(wèn)題，以此檢驗(yàn)圖畫(huà)是否涵蓋問(wèn)題的所有信息且可以達(dá)成目標(biāo)。

（3）鼓勵(lì)創(chuàng)新，培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)。圖形表征需要學(xué)生不斷地重復(fù)練習(xí)，以便在各種問(wèn)題情境中逐漸培養(yǎng)出自主構(gòu)建圖形表征的能力。當(dāng)遇到“增多求原來(lái)”的問(wèn)題時(shí)，教師重復(fù)上述教學(xué)步驟，示范構(gòu)建圖畫(huà)表征后（如圖4），鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)，利用自己喜歡的方式畫(huà)圖，并揭示符號(hào)規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀意識(shí)，建立不同情境中“原始”“變化”“結(jié)果”三個(gè)數(shù)量間的關(guān)系。

3.關(guān)系構(gòu)建：正視差異定制分層干預(yù)策略

在用圖畫(huà)表征問(wèn)題后，學(xué)生對(duì)解決還原問(wèn)題的算法選擇顯現(xiàn)出經(jīng)驗(yàn)、程序、概念三個(gè)水平層次。處于前兩個(gè)層次的學(xué)生，往往將加減運(yùn)算視為記錄數(shù)量變化過(guò)程的一種方式，對(duì)運(yùn)算的理解停留在表面。因此，在進(jìn)行干預(yù)時(shí)，需根據(jù)各層次水平學(xué)生的特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程。

（1）構(gòu)建“圖畫(huà)一動(dòng)作—符號(hào)”三者聯(lián)系。對(duì)經(jīng)驗(yàn)層的學(xué)生，教師要引導(dǎo)學(xué)生再次觀察圖畫(huà)，發(fā)現(xiàn)“小圓片分為去掉和剩下兩部分”，并鼓勵(lì)學(xué)生由圖畫(huà)回到實(shí)景表演，解釋兩部分的實(shí)際含義。例如，“原來(lái)的小紅花被分成了季明拿走的3朵和剩下的8朵兩個(gè)部分”。教師用“？”代表未知的原始量，指導(dǎo)學(xué)生將“？”“3”“8”填入分與合圖示中，并詢問(wèn)填寫(xiě)理由，形成求解問(wèn)題的圖式。從而構(gòu)建圖畫(huà)、動(dòng)作、符號(hào)三者的聯(lián)系。最后，學(xué)生借助10以內(nèi)數(shù)的分與和的經(jīng)驗(yàn)列出算式。

（2）三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題引導(dǎo)正逆問(wèn)題對(duì)比。程序?qū)拥膶W(xué)生處理問(wèn)題時(shí)，會(huì)先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行逆向思考，隨后依據(jù)逆向思考后數(shù)量的變化情況列出算式。以“從盒子里拿走了3朵花，還剩8朵，求原來(lái)有多少朵花？”這一問(wèn)題為例，教師可以設(shè)計(jì)三個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題，深化對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)的認(rèn)識(shí)：

問(wèn)題一：“明明是拿走了3朵，為什么不用減法反而用加法？”該問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生清晰地闡述自己的思考步驟，促使他們深人反思解題思路的形成過(guò)程。

問(wèn)題二：“這時(shí)，求原來(lái)盒子里小紅花的朵數(shù)，就是把拿走和剩下的兩部分”此問(wèn)題直接切入加法運(yùn)算的本質(zhì)，拓寬學(xué)生對(duì)加法概念的理解。

問(wèn)題三：“現(xiàn)在，再來(lái)想一想，這里為什么用加法？”這一問(wèn)題可以輔助學(xué)生構(gòu)建“原始量 Σ=Σ 減少量 + 結(jié)果量”這一重要的數(shù)量關(guān)系，強(qiáng)化他們的理解與運(yùn)用能力。（3）適度追問(wèn)深化運(yùn)算意義理解。概念層的學(xué)生已經(jīng)能夠認(rèn)識(shí)到在減少變化問(wèn)題情境中，原有數(shù)量等于剩余量加上減少量；而在增加情境中，原有數(shù)量等于結(jié)果量減去增加量。教學(xué)中，教師可以把握時(shí)機(jī)適度引導(dǎo)學(xué)生從“部總關(guān)系”的角度闡述加減法：“加法是已知兩個(gè)部分，求總數(shù)”“減法是已知兩個(gè)部分的總數(shù)與其中的一部分，求另一部分”。

教學(xué)干預(yù)實(shí)施后的學(xué)后評(píng)估顯示， 7.14% 的學(xué)生從水平一晉升至水平二，能夠采用“逆轉(zhuǎn)動(dòng)作”策略正確解題； 42.86% 的學(xué)生從水平二晉升至水平三，使得共有 61.11% 的學(xué)生能基于“部總關(guān)系”自主分析問(wèn)題。針對(duì)剩余 38.88% 未達(dá)水平三的學(xué)生，教師實(shí)施了二次迭代干預(yù)，通過(guò)導(dǎo)學(xué)單引導(dǎo)問(wèn)題解決，并對(duì)思維能力薄弱者強(qiáng)化“逆轉(zhuǎn)變化過(guò)程”的動(dòng)作思維訓(xùn)練，以提升個(gè)體適應(yīng)性。學(xué)期末保持性追測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步揭示，減少情境問(wèn)題正確率高達(dá) 95.23% ，顯著高于增加情境的 73.81% ，印證了“兒童更易表征減少情境”的研究共識(shí)[]

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]