利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決代數(shù)問題

1引言

一元二次方程作為初中數(shù)學代數(shù)部分的重要內(nèi)容，其根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）是連接方程的根與系數(shù)的重要橋梁.對于一元二次方程 ax²+bx+ c=0（a≠0） ，若方程的兩根為 x₁ 和 x_Π2 ，那么有 x₁ 這一關(guān)系在解決涉及一元二次方程的代數(shù)問題時具有重要作用，它能將復(fù)雜的代數(shù)運算簡化，為解題提供清晰的思路.

2根與系數(shù)關(guān)系在代數(shù)式求值問題中的應(yīng)用

在涉及一元二次方程的代數(shù)式求值問題中，巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系可以避免直接求解方程的根，從而簡化計算過程.下面通過具體例題進行分析.

例1已知方程 x²-5x+6=0 的兩根為 x₁ ，x₂ ，求 x₁²+x₂² 的值.

解析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得 x₁+x₂=5 x₁x₂=6

對 x₁²+x₂² 進行變形可得：

x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，

將 x₁+x₂=5，x₁x₂=6 代人上式，得到 x₁²+x₂²=5²-2×6=25-12=13.

評注在這類問題中，關(guān)鍵是要熟悉常見的代數(shù)式變形公式，將所求式子轉(zhuǎn)化為含有 x₁+x₂ 與x₁x₂ 的形式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行計算.

例2 已知方程 2x²+3x-1=0 的兩根為 x₁ x2，求 的值.

解析 首先，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，

有 1

對 進行通分變形：（20號

將 代人，

可得 （204號

評注在分式求值中，通分是常用的變形手段，通過通分將分式轉(zhuǎn)化為能用根與系數(shù)關(guān)系求解的形式，從而簡化計算過程.

例3已知方程 x²-4x₁+1=0 的兩根為 x₁ x_Π2 ，求 的值.

解析 由根與系數(shù)的關(guān)系，有 x₁+x₂=4，x₁x₂=1.

對 進行展開：

將 x₁+x₂=4，x₁x₂=1 代人，得 （20又因為 所以 ：

評注在處理含根式的代數(shù)式求值問題時，常通過平方的方式將根式去掉，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進行計算，最后根據(jù)根式的性質(zhì)確定最終結(jié)果的正負.

例4若 m，n 是一元二次方程 x²+3x-9=0 的兩個根，求 m²+4m+n 的值.

解析 因為 m，n 是一元二次方程 x²+3x-

g=o 的兩個根，所以 m²+3m-9=0 m+n=-3 ，所以 m²+3m=9 因此 m²+4m+n=m²+3m+m+n=9+（-

3）=6 ：

評注對于一些代數(shù)式求值問題，要綜合應(yīng)用一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系進行化簡.例如本題，根據(jù) Σ_m 是一元二次方程 x²+3x-9= 0的根可得 m²+3m-9=0 ，再將此式整體代人m²+4m+n 進行化簡，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系求值.

例5已知 α?β 是一元二次方程 x²-2024x- 2025=0 的兩個根，求 α²-2025α-β 的值.

解析因為 α?β 是一元二次方程 x²-2024x- 2025=0 的兩個根，

所以 α²-2024α-2025=0

所以 α²-2024α=2025 ，

所以 α²-2025α-β=（α²-2024α）-（α+β） =2025-2024=1.

評注根據(jù)一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系得到 α²-2024α-2025=0，α+β= 2024，再把 α²-2025α-β 變形后整體代人即可.

3根與系數(shù)關(guān)系在參數(shù)范圍問題中的應(yīng)用

在一元二次方程中，參數(shù)的取值范圍會影響方程根的情況.將根與系數(shù)的關(guān)系與判別式相結(jié)合，是確定參數(shù)的取值范圍提供了有效的方法.

例6關(guān)于 x 的一元二次方程 x²-4x+m- 1=0 的兩個實數(shù)根是 x₁，x₂ ，滿足 x₁²-4x₁+ 3x₁x₂gt;2 ，求 Ψ_m 的取值范圍.

解析因為關(guān)于 x 的一元二次方程 x²-4x+ m-1=0 的兩個實數(shù)根是 x₁，x₂ ，

所以 x₁²-4x₁+m-1=0，x₁x₂=m-1 所以 x₁²-4x₁=1-m ，

所以 x₁²-4x₁+3x₁x₂=1-m+3（m-1）= 2m-2

因為 x₁²-4x₁+3x₁x₂gt;2 所以 2m-2gt;2

解得 mgt;2

又因為該方程有兩個實數(shù)根，

所以 Δ=（-4）²-4（m-1）≥0 ，

解得： m?5 ，

所以 2

評注根據(jù)題意得 x₁²-4x₁+m-1=0，x₁x₂ =m-1 ，整體代入 x₁²-4x₁+3x₁x₂gt;2 ，即可求出mgt;2 .再根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根，其判別式 Δ?0 ，可求出 m?5

例7已知一元二次方程 x²-（m+3）x+ 2m+2=0 有兩個正根，求 Ψ_m 的取值范圍.

解析設(shè)方程的兩根為 x₁，x₂ .根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得 x₁+x₂=m+3，x₁x₂=2m+2

因為方程有兩個正根，所以判別式 Δ= （m+3）²-4（2m+2）≥0 （保證方程有兩個實數(shù)根）， x₁+x₂=m+3gt;0 （兩根之和為正）且 x₁x₂ =2m+2gt;0 （保證兩根同號）.

解不等式 （m+3）²-4（2m+2）≥0 ，即 m²- 2m+1?0 ，即 （m-1）²?0 ，所以 Ω_m 可取全體實數(shù).

解不等式 m+3gt;0 .

得 mgt;-3 .

解不等式 2m+2gt;0 .

得 mgt;-1 綜合以上結(jié)果， mgt;-1 ：

4結(jié)語

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在代數(shù)式求值和參數(shù)范圍問題中具有重要作用.在代數(shù)式求值中，通過巧妙變形將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與根和系數(shù)相關(guān)的形式，能夠簡化計算過程；在參數(shù)范圍問題中，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、判別式等，能準確確定參數(shù)的取值范圍.在教學過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學生熟練掌握這一關(guān)系的應(yīng)用方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

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[2]郭發(fā)權(quán).萬變不離其宗—以“根與系數(shù)的關(guān)系”應(yīng)用為例[J].中學數(shù)學教學參考，2023（9）：39-40.

[3]張寧.根與系數(shù)關(guān)系運用的五個技巧[J].初中生學習指導(dǎo)，2022（30）：17—19.