依托“導(dǎo)主部分”，解決函數(shù)單調(diào)性問題

1 導(dǎo)主二次型

例1設(shè)函數(shù) 其中 a 為常數(shù)，討論函數(shù) f（x） 的單調(diào)性.

分析策略本題難度適中.首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?（0，+∞） ，接著討論函數(shù)的單調(diào)性，將 f（x） 求導(dǎo)"ax2+（2a+2）x+a，此時(shí)不能因式分解.由于分母項(xiàng)恒為正，現(xiàn)只需考慮分子部分的正負(fù)即可.顯然，可以0為分界點(diǎn)進(jìn)行討論：當(dāng) a?0 ，此時(shí)f^′（x）gt;0 ；當(dāng) alt;0 時(shí)，判別式 Δ=4（2a+1） ，易求得"，繼續(xù)進(jìn)行分類討論.其中，當(dāng)""時(shí)， Δgt;0 ，因此函數(shù) g（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，且其開口向下，需要設(shè)出 g（x） 的兩根 Φ_x1，x2"，繼續(xù)討論.

解題過程 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，首先可確定函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?（0，+∞） ，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，"""再根據(jù)函數(shù)定義域及導(dǎo)函數(shù)分母大于0進(jìn)行分類討論。

令 g（x）=ax²+（2a+2）x+a，

當(dāng) a?0 時(shí)，此時(shí) g（x）gt;0 ，因此 f^′（x）gt;0 ，所以f（x） 在 （0，+∞ ）上單調(diào)遞增.

當(dāng) alt;0 時(shí)， Δ=（2a+2）²-4a²=4（2a+1）

由于此時(shí) g（x） 的函數(shù)判別式含參數(shù) a ，不易判斷出其與0的大小關(guān)系，因此需要進(jìn)行分類討論，過程如下：

① 當(dāng) 時(shí)，此時(shí) Δ=0 ，由此可判斷f^′（x） 的大小，將 代人 f^′（x） ，得 則函數(shù) f（x） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞減.② 當(dāng) 時(shí)，此時(shí) Δlt;0 ，故函數(shù) g（x） 與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，又二次項(xiàng)系數(shù)小于0，有 g（x）lt;0 因此 f^′（x）lt;0 ，故 f（x） 在 （0，+∞） ）上單調(diào)遞減.③ 當(dāng) 時(shí)，此時(shí) Δgt;0 ，因此函數(shù)g（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，且其開口向下，設(shè) x₁，x₂ （其中 x₁2 ）是函數(shù) g（x） 的兩個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng) x∈（0，x₁） 時(shí)，有 g（x）lt;0 ，則 f^′（x）lt;0 因此 f（x） 在 （0，x₁） 上單調(diào)遞減；

當(dāng) x∈（x₁，x₂） 時(shí)，有 g（x）gt;0 ，則 f^′（x）gt; 0，因此 f（x） 在 （x₁，x₂） 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)，有 g（x）lt;0 ，則f^′（x）lt;0 ，因此 f（x） 在 （x₂，+∞ ）上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng) a?0 時(shí)， f（x） 在 （0，+∞） ）上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， f（x） 在 （0，+∞）， ）上單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， 上單調(diào)遞減，0 上單調(diào)遞增.

2 導(dǎo)主指對(duì)型

例2 已知函數(shù) ，求函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間.

分析策略由于對(duì)數(shù)的存在，該函數(shù)的定義域?yàn)?（0，+∞） .求導(dǎo)后有 ，因?yàn)?x 的取值范圍恒為正，因此可分類討論 a?0，a gt;0 的情況.當(dāng) a?0 時(shí)，有 2x-2agt;0 ，要想判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，現(xiàn)只需考慮 的正負(fù)即可，以1為分界點(diǎn)進(jìn)行討論即可.而當(dāng) agt;0 時(shí)，由于 的限制，仍需結(jié)合 x=1 這個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分為01 三種情況，再分別討論單調(diào)性便可得出函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間.

解題過程 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，首先可確定函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?（0，+∞） ，

對(duì) f（x） 求導(dǎo)得， ，接下來分類討論：

① 當(dāng) a?0 時(shí)，有 2x-2agt;0

當(dāng) xgt;1 時(shí)， lnxgt;0 ，因此 f^′（x）gt;0 ，則f（x） 在 （1，+∞ ）上單調(diào)遞增；

當(dāng) 0′（x）lt;0 ，則f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減.

② 當(dāng) 0′（x）gt;0 ，情況一為 有 即 xgt;1 ，情況二為 有 即 0′（x）lt;0 ，此時(shí)需 a（0，a） ， （1，+∞ ）上單調(diào)遞增，在（a，1） 上單調(diào)遞減.（204號(hào) ③ 當(dāng) a=1 時(shí)，此時(shí) （204號(hào)恒成立，因此 f（x） 在 （0，+∞ ）上單調(diào)遞增.（204號(hào) ④ 當(dāng) agt;1 時(shí)，若 f^′（x）gt;0 ，則需滿足 0a ：若 f^′（x）lt;0 ，此時(shí) 1（1，a） 上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng) a?0 時(shí)， f（x） 在 （1，+∞ ）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減;當(dāng) 01 時(shí)， f（x） 在（0，1）， （a，+∞ ）上單調(diào)遞增，在 （1，a） 上單調(diào)遞減.

3結(jié)語

關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性問題的考查，通常需要學(xué)生細(xì)心思考，設(shè)法做到精準(zhǔn)的分類討論.尋找能夠引起導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化的特殊點(diǎn)，如使導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)或是導(dǎo)數(shù)某部分發(fā)生符號(hào)變化的點(diǎn)等.因此，要求學(xué)生在日常練習(xí)中，多多積累，加深對(duì)各類函數(shù)的認(rèn)識(shí)與了解，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科思維能力的提升與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成.