基于中學(xué)與大學(xué)聯(lián)系的視角解析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0009-06引用格式：基于中學(xué)與大學(xué)聯(lián)系的視角解析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”[J]。中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：9-14.

一、引言

1924年，德國著名數(shù)學(xué)家F.克萊因（F.Klein）在其著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中提出了雙重不連續(xù)性現(xiàn)象，即大學(xué)生感到大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)無關(guān)，而中學(xué)教師難以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)．自此之后，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者開始關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的雙向聯(lián)系，旨在打破隔閡、建立連貫的數(shù)學(xué)體系．荷蘭數(shù)學(xué)家、教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提出，數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化的常識(shí)．美國教育心理學(xué)家布魯納（J.Bruner）認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)從計(jì)算性向結(jié)構(gòu)性轉(zhuǎn)變，建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系，這是把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的整體性的關(guān)鍵途徑．關(guān)于數(shù)學(xué)聯(lián)系，不同的學(xué)者有不同的認(rèn)識(shí).例如，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]認(rèn)為，數(shù)學(xué)聯(lián)系是建立兩個(gè)或多個(gè)觀點(diǎn)、概念、定義、定理、程序、表現(xiàn)和意義之間的聯(lián)系，或數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系的認(rèn)知過程，并將數(shù)學(xué)聯(lián)系分為程序性、意義、不同表示、部分一整體、隱喻等類型．總之，數(shù)學(xué)聯(lián)系不僅包括知識(shí)上的銜接，還包含內(nèi)容、方法和思想等多個(gè)方面.

“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”既是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容．在高中數(shù)學(xué)中，介紹函數(shù)零點(diǎn)存在定理和二分法主要是為了研究無法用公式求解的方程（如包含指數(shù)和對(duì)數(shù)的方程、高次多項(xiàng)式方程等）.在大學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)零點(diǎn)存在定理是分析學(xué)中的重要定理，可以用于證明若干個(gè)存在性定理，如拉格朗日中值定理等；二分法既是函數(shù)零點(diǎn)存在定理的直接和重要應(yīng)用，又是數(shù)值分析中的重要方法，這體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)在知識(shí)層面上的銜接，二分法涉及算法和程序，與計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)建模高度相關(guān)；函數(shù)零點(diǎn)的概念構(gòu)建了函數(shù)、方程、函數(shù)圖象之間的聯(lián)系；函數(shù)零點(diǎn)存在定理可以引發(fā)學(xué)生對(duì)充分性與必要性、存在性與唯一性的一般化思考；等等．因此，這種聯(lián)系性并非知識(shí)的線性銜接，而是相互交織的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)．筆者旨在通過分析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的重點(diǎn)，揭示其與大學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)完備理論、牛頓迭代法等內(nèi)容的聯(lián)系，為高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種新視角.

二、基于高中數(shù)學(xué)視角解析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”

1．內(nèi)容要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的要求為：結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系；結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.

2.對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解

“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”主要是為了解決一個(gè)重要問題，即研究無法用公式求解的方程．為此，高中數(shù)學(xué)引入零點(diǎn)的概念，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理研究方程解的存在性，利用二分法求方程的近似解，

在函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)中，要注意結(jié)構(gòu)性和計(jì)算性的平衡，不僅要求學(xué)生掌握求函數(shù)零點(diǎn)的方法（計(jì)算性），還應(yīng)該以“方程 f（x）=0 的解 ? 函數(shù)y=f（x） 的零點(diǎn) ? 函數(shù) y=f（x） 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”這一等價(jià)關(guān)系為中心，建立函數(shù)、方程、函數(shù)圖象之間的聯(lián)系（結(jié)構(gòu)性）.

下面，先給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理

定理（函數(shù)零點(diǎn)存在定理）：若函數(shù) y=f（x） 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且 f（a）f（b）lt;0 ，則函數(shù) y=f（x） 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在 ，使得 f（c）=0 ，這個(gè) c 就是方程 f（x）=0 的解.

觀察上述定理，可以發(fā)現(xiàn)：定理只有充分性，沒有必要性；函數(shù)零點(diǎn)只有存在性，沒有唯一性；定理要求函數(shù)的連續(xù)性．因此，對(duì)于高中的函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有如下思考：論證定理具有充分性，舉例說明定理不具有必要性；論證零點(diǎn)存在，舉例說明零點(diǎn)不唯一，探究零點(diǎn)唯一時(shí)需要添加的條件；論證當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，定理成立，舉例說明當(dāng)函數(shù)不連續(xù)時(shí)，定理不成立.這體現(xiàn)了“結(jié)論不成立一舉反例一添加條件使結(jié)論成立”這一研究問題的常用范式.

值得注意的是，函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明依賴實(shí)數(shù)完備理論和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).由于高中數(shù)學(xué)尚未引入極限理論，實(shí)數(shù)完備理論和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)都無法進(jìn)行說明．因此，函數(shù)零點(diǎn)存在定理在高中階段無法進(jìn)行嚴(yán)格證明.在高中階段該定理的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)采用舉例（包含正例和反例）的方法，讓學(xué)生建立對(duì)連續(xù)函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)存在定理的直觀的、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).

在二分法的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注二分法與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的聯(lián)系，體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理在二分法中的作用，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解.

3.高中數(shù)學(xué)教材中相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)與分析

在適配《標(biāo)準(zhǔn)》的高中數(shù)學(xué)教材中，“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”分為三個(gè)部分，分別是：函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用；二分法及其應(yīng)用.下面，筆者分別呈現(xiàn)人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）、人教B版教材和北師大版教材中有關(guān)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的具體編排特點(diǎn)，并分析其目的.

（1）關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的教材呈現(xiàn)與分析.

在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中，最先出現(xiàn)的問題就是：我們?yōu)槭裁匆牒瘮?shù)零點(diǎn)的概念？人教A版教材提出：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程，知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，像 這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況呢？”這段內(nèi)容包含了兩個(gè)重要觀點(diǎn)：引入函數(shù)零點(diǎn)的目的是研究不能用公式求解的方程；具體方法是研究方程所對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)．在引人零點(diǎn)的概念時(shí)，人教A版教材就指出了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系.

人教A版教材和北師大版教材均將“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”一節(jié)置于“對(duì)數(shù)函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容之后，指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程正是不能用公式求解的方程，恰好體現(xiàn)了運(yùn)用函數(shù)方法研究方程的必要性和優(yōu)越性.而人教B版教材將該部分內(nèi)容置于第三章“函數(shù)”中，重點(diǎn)是研究函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，而非函數(shù)零點(diǎn)存在定理和二分法.

函數(shù)零點(diǎn)內(nèi)容的重點(diǎn)是建立函數(shù)、方程、函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，進(jìn)而用函數(shù)思想解決方程問題．人教A版教材指出：“方程 f（x）=0 有實(shí)數(shù)解 ? 函數(shù) y=f（x） 有零點(diǎn) ? 函數(shù) y=f（x） 的圖象與 x 軸有公共點(diǎn).”這建立了函數(shù)、方程、函數(shù)圖象之間的等價(jià)關(guān)系．人教B版教材指出：“依照零點(diǎn)的定義可知，求函數(shù) y=f（x） 的零點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是要解方程 f（x）=0 ，而且只要得到了這個(gè)方程的解集，就可以知道函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)等，就能得到類似 f（x）gt;0 等不等式的解集.”這一表達(dá)涉及函數(shù)、方程、函數(shù)圖象三者之間的關(guān)系，但是沒有以等價(jià)的形式進(jìn)行呈現(xiàn)，而求解類似 f（x）gt;0 的不等式，實(shí)則是這種等價(jià)關(guān)系的一個(gè)應(yīng)用．教學(xué)中，若先強(qiáng)調(diào)函數(shù)、方程、函數(shù)圖象之間的等價(jià)關(guān)系，再介紹求解類似 f（x）gt;0 的不等式的方法，效果更佳.

（2）關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)存在定理和二分法的教材呈現(xiàn)與分析.

前文已經(jīng)提到了函數(shù)零點(diǎn)存在定理的三個(gè)特點(diǎn)，即定理沒有必要性、零點(diǎn)不唯一、定理要求函數(shù)的連續(xù)性.

北師大版教材提出：“當(dāng) f（a）f（b）gt;0 時(shí)，方程f（x）=0 也可能有解，如圖1．所以 f（a）f（b）lt;0 是方程 f（x）=0 在區(qū)間 內(nèi)有解的充分條件而非必要條件.”這就說明了函數(shù)零點(diǎn)存在定理的非必要性.

圖1

人教A版教材則通過設(shè)置問題“為什么由圖2和f（2）f（3）lt;0 還不能說明函數(shù) f（x） 只有一個(gè)零點(diǎn)？你能證明函數(shù) y=f（x） 是增函數(shù)嗎？”（此處 2x-6 ）來說明定理中零點(diǎn)不唯一，既指出了零點(diǎn)不唯一，又引導(dǎo)學(xué)生探究零點(diǎn)唯一時(shí)需要增加的條件，即單調(diào)性，但依然缺少一個(gè)步驟，即給出一個(gè)零點(diǎn)不唯一的例子.

圖2

對(duì)于函數(shù)連續(xù)性的要求，人教B版教材指出：“一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖象都是連續(xù)不斷的．需要注意的是，反比例函數(shù) 的圖象不是連續(xù)不斷的.”同時(shí)，給出了連續(xù)函數(shù)和不連續(xù)函數(shù)的例子.依照函數(shù)零點(diǎn)存在定理求出 f（a）f（b）lt;0（a 并非定義域的子集，此時(shí)討論 內(nèi)是否存在零點(diǎn)，學(xué)生可能存在一些疑惑，在教學(xué)中若用分段函數(shù)再舉一個(gè)例子說明，效果更佳.

上述定理的三個(gè)特點(diǎn)也可以用例題、習(xí)題等形式呈現(xiàn).

在二分法這一內(nèi)容中，上述三版教材的呈現(xiàn)方式一致，均為先用例子給出二分法求方程近似解的具體方法再給出精確度的概念，最后建立對(duì)算法和程序概念的初步認(rèn)識(shí).

三、基于大學(xué)數(shù)學(xué)視角解析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”

1.大學(xué)數(shù)學(xué)視角下的函數(shù)零點(diǎn)存在定理

高中數(shù)學(xué)并未給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明，是因?yàn)樵摱ɡ淼淖C明不僅需要使用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，還需要使用實(shí)數(shù)完備性的若干等價(jià)命題（確界原理、單調(diào)有界定理、列緊性原理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂準(zhǔn)則）．下面，筆者利用確界原理給出函數(shù)零點(diǎn)存在定理的一個(gè)證明，在此證明過程中，還需要用到連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，具體如下.

性質(zhì)（連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性）：設(shè)函數(shù) f（x） 在x=x₀ 的鄰域連續(xù)，且 f（x₀）gt;0 （或 f（x₀）lt;0 ），則存在 x₀ 的一個(gè)鄰域 ，使得 ?x∈ ， f（x）gt;0 （或 f（x）lt;0 ）

定理（確界原理）：設(shè) s 是非空數(shù)集，若 s 有上（下）界，則 s 有上（下）確界，記為 supS （ infS ）

函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明如下.

證明：設(shè)函數(shù) f（x） 在 [a，b] 內(nèi)連續(xù)，且滿足 f（a） 1 f（b）lt;0 ．不妨設(shè) f（a）lt;0，f（b）gt;0

記

由 b∈S 和 ，知 s 非空且有下界 α_a ：

由確界原理知， s 有下確界，記為 x₀：=infS ·

因?yàn)?f（a）lt;0 ，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知存在 δgt;0 ，使得當(dāng) 時(shí)， f（x）lt;0 ：

這說明 x₀≠a ，同理 x₀≠b ·所以

下證 ：

假設(shè) f（x₀）gt;0 ，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知存在 δgt;0 ，使得當(dāng) x∈[x₀-δ] ， x₀J 時(shí)， f（x）gt;0 ，與 x₀= infS 矛盾.

所以 f（x₀）?0 ，同理 f（x₀）?0

故 f（x₀）=0 ·

可以看出，盡管函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明比較簡(jiǎn)潔，但在此過程中用到了實(shí)數(shù)的完備性（確界原理），故該證明過程并不初等．那么，為什么證明時(shí)必須用到實(shí)數(shù)的完備性呢？能否繞過實(shí)數(shù)的完備性來證明函數(shù)零點(diǎn)存在定理呢？答案是否定的.

下面，筆者用一個(gè)比喻進(jìn)行說明.

設(shè)想我們要從 x 軸下方的點(diǎn)A走到 x 軸上方的點(diǎn) B 是否一定會(huì)經(jīng)過 x 軸？若步子夠大，就可以一步“跨”過 x 軸；若 x 軸有縫隙，就可以“鉆”過縫隙，也不必經(jīng)過 x 軸．然而，函數(shù)零點(diǎn)存在定理要求了函數(shù)的連續(xù)性，即不允許“跨”過 x 軸．而實(shí)數(shù)的完備性，實(shí)際就是說明實(shí)數(shù)沒有縫隙（任一收斂實(shí)數(shù)列的極限依然是實(shí)數(shù)），即無法“鉆”過縫隙．因此，我們一定會(huì)經(jīng)過 x 軸．這就說明了實(shí)數(shù)的完備性是證明函數(shù)零點(diǎn)存在定理的一個(gè)本質(zhì)要求.

由于實(shí)數(shù)的完備性是由極限理論刻畫的，所以直接將函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明“下放”至高中既不合理也不可能．甚至，因其抽象程度較高，即使大學(xué)生在最初學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)也存在理解上的困難.高中教師如果能夠完成函數(shù)零點(diǎn)存在定理的證明，可以增加自身對(duì)該定理的認(rèn)識(shí).

函數(shù)零點(diǎn)存在定理既是高中教材中首次出現(xiàn)的高等數(shù)學(xué)定理（之所以稱為“高等數(shù)學(xué)定理”，是因?yàn)樵搩?nèi)容涉及極限），又是分析學(xué)中的重要定理．許多存在性定理，如介值定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式等，都需要應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理才能證明（它們的本質(zhì)都是構(gòu)造一個(gè)滿足零點(diǎn)存在定理?xiàng)l件的函數(shù)）.由此可見，函數(shù)零點(diǎn)存在定理是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的重要一環(huán)，在高中階段，學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理產(chǎn)生準(zhǔn)確、直觀的認(rèn)識(shí)，有助于后續(xù)微積分、數(shù)學(xué)分析等課程的學(xué)習(xí).

2.大學(xué)數(shù)學(xué)視角下的求方程的近似解

在建立了實(shí)數(shù)完備理論后，我們對(duì)二分法也有了深刻的理解．下面，先給出如下閉區(qū)間套的定義和定理.

定義：設(shè)閉區(qū)間列 滿足：

[a_n，b_n]?[a_n+1，b_n+1]，n=1，2，…;

（2） 則稱 為閉區(qū)間套.

定理（閉區(qū)間套定理）：若 是一個(gè)閉區(qū)間套，則存在唯一實(shí)數(shù) ξ ，使得 ， n=1 ，2，…即存在唯一的實(shí)數(shù) ξ 包含于每個(gè)閉區(qū)間.

事實(shí)上，閉區(qū)間套定理與前文的確界原理等價(jià)，在了解閉區(qū)間套定理后，可以發(fā)現(xiàn)按照二分法縮小解的范圍的過程，本質(zhì)上就是取出一個(gè)閉區(qū)間套的過程．由閉區(qū)間套定理，知存在唯一的實(shí)數(shù) ξ 屬于每個(gè)閉區(qū)間，實(shí)數(shù) ξ 即為函數(shù)的零點(diǎn).

高中階段只介紹了求方程近似解的一種方法二分法，其優(yōu)勢(shì)為：算法簡(jiǎn)單，容易掌握；由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可以保證近似解總是收斂的，然而，二分法求方程的解也存在以下局限性：一次迭代只能將解的范圍縮小一半，收斂速度慢；只適用于零點(diǎn)的鄰域內(nèi)函數(shù)值異號(hào)的情形，如多項(xiàng)式方程的偶數(shù)重根就無法應(yīng)用二分法進(jìn)行求解.

為解決上述局限，大學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了另外一種方法，即牛頓迭代法，具體如下.

設(shè)方程 f（x）=0 的一個(gè)近似解 x_k 滿足 f^′（x_k）≠0 ，

將函數(shù) f（x） 在點(diǎn) x_k 展開，有 f（x）≈f（x_k）+f^′（x_k）（x-x_k）

于是方程 f（x）=0 可以近似表示為 f（x_k）+f^′（x_k）（x-x_k）=

0．這是一個(gè)線性方程，記其解為 x_k+1 ，則 x_k+1 的計(jì)算

公式為 k=0 ，1，（2號(hào)

牛頓迭代法有一個(gè)明顯的幾何解釋，如圖3， y= 的圖象實(shí)際上就是 f（x） 在 x_k 處的切線，該切線與 x 軸的交點(diǎn)就是新的近似值 x_k+1 .由此可以看出，經(jīng)過一次迭代，新的近似值 x_k+1 確實(shí)比x_k 更靠近方程的真實(shí)解 x^* ．基于這種思想，牛頓迭代法也被稱為切線法.

牛頓迭代法也存在局限性，因其迭代過程中要求f^′（x_k）≠0 ，故對(duì)函數(shù)的局部光滑性有要求，即要求函數(shù)在零點(diǎn)的鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在且不為0.

由于牛頓迭代法中應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)，所以自然不能在學(xué)習(xí)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”時(shí)就進(jìn)行介紹，但在講授導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)，牛頓迭代法是一個(gè)合適的例子.事實(shí)上，人教A版教材選擇性必修第二冊(cè)已經(jīng)將牛頓迭代法作為閱讀材料給出，雖然沒有要求所有高中生都掌握牛頓迭代法，但是“以直代曲”的方法和思想可以幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

四、“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中的數(shù)學(xué)聯(lián)系

筆者已經(jīng)從多個(gè)角度討論了“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)聯(lián)系，這種聯(lián)系包含了知識(shí)上的聯(lián)系，即在“零點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)存在定理一二分法”這一主線的基礎(chǔ)上，介紹了確界原理、閉區(qū)間套定理、牛頓迭代法，對(duì)高中數(shù)學(xué)中“懸而未決”的部分進(jìn)行了嚴(yán)格說明．此外，這一內(nèi)容也包含方法和思想層面的數(shù)學(xué)聯(lián)系，如前文提到的“結(jié)論不成立一舉反例一添加條件使結(jié)論成立”這一研究問題的常見范式.

通常我們比較“喜歡”研究充要的命題，然而在研究中，充要的命題只占少數(shù)．當(dāng)一個(gè)命題只具備充分性或必要性時(shí)，上述范式就會(huì)出現(xiàn)，即需要舉出另外一個(gè)例子進(jìn)行說明，下面以費(fèi)馬定理為例.

定理（費(fèi)馬定理）：設(shè)函數(shù) f（x） 在 Δ_x0 的鄰域內(nèi)有定義，且在 x₀ 可導(dǎo).若 x₀ 是 f（x） 的極值點(diǎn)，則必有

圖3牛頓迭代法的幾何解釋

費(fèi)馬定理只有充分性，沒有必要性，學(xué)生經(jīng)常誤認(rèn)為由 可以推出 x₀ 是 f（x） 的極值點(diǎn)．此時(shí)，教師可以按照上述范式引導(dǎo)學(xué)生探究這一問題．先舉反例，取 f（x）=x³ ，則 f^′（0）=0 ，但0不是 f（x） 的極值點(diǎn)．然后，添加條件使結(jié)論成立．若存在 δgt;0 ，使得?x∈（x₀-δ，x₀），f^′（x₀）?0，x∈（x₀，x₀+δ），f^′（x₀）? 0，則 x₀ 是 f（x） 的極小值點(diǎn)；若存在 δgt;0 ，使得 ?x∈ 則 x₀ 是 f（x） 的極大值點(diǎn)．這一探索過程既加深了學(xué)生對(duì)定理的理解，又提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.

“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中的數(shù)學(xué)聯(lián)系如圖4所示，

圖4

由圖4可知，“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中的數(shù)學(xué)聯(lián)系并非知識(shí)的線性銜接，而是相互交織的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)；聯(lián)系的形式也比較多樣，包含等價(jià)關(guān)系、充分條件、并列關(guān)系等．教師對(duì)這樣的知識(shí)網(wǎng)有一定的了解，有利于明晰課程內(nèi)容的重點(diǎn)，從而為教學(xué)提供一個(gè)高層次的全局視角.

另一個(gè)重要的問題是我們?yōu)槭裁匆诟咧薪榻B這些“說不明白”的內(nèi)容（函數(shù)零點(diǎn)存在定理、導(dǎo)數(shù)、幾何概型等）.事實(shí)上，這部分內(nèi)容都涉及“無限”的概念．在高中階段，我們尚未對(duì)“無限”進(jìn)行嚴(yán)格的說明（大學(xué)數(shù)學(xué)分析中，極限理論用 ε-δ 語言進(jìn)行刻畫），而是只給出了基于直觀的解釋，這似乎缺失了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．然而，這種基于直觀的認(rèn)識(shí)卻恰好符合數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程．早在17世紀(jì)，牛頓（IsaacNewton）和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）在解決瞬時(shí)速度和曲線的切線問題時(shí)，使用了一種基于直觀的方法一使變化量趨于0，給出了導(dǎo)數(shù)的概念，進(jìn)而創(chuàng)造了微積分理論．但他們對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念產(chǎn)生了激烈的爭(zhēng)論（主要關(guān)于無窮小量是不是0），從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)．直至100多年后，柯西（AugustinLouisCauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）等數(shù)學(xué)家給出了嚴(yán)格的極限定義，這一問題才被徹底解決．如果說柯西和魏爾斯特拉斯用將極限理論公理化的工作筑牢了數(shù)學(xué)大廈的地基，那么牛頓和萊布尼茨則是用天才的直覺和創(chuàng)造力繪制了這幢大廈的設(shè)計(jì)圖．可見，數(shù)學(xué)家們?cè)谒伎紗栴}時(shí)，直覺也常常走在邏輯的前面．在高中數(shù)學(xué)中，教師希望通過建立直觀，讓學(xué)生初步了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容，而不至于迷失在邏輯體系的諸多細(xì)節(jié)中，進(jìn)而能用這部分知識(shí)解決一些重要的問題，如求方程的近似解、函數(shù)的最值等.

五、結(jié)語

通過分析“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中存在的數(shù)學(xué)聯(lián)系，梳理了這一章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容和知識(shí)網(wǎng)，為高中教學(xué)提供了參考．誠然，聯(lián)系的普遍性和一般性使我們無法窮盡數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與外部之間的各種聯(lián)系，但用聯(lián)系的方式分析數(shù)學(xué)對(duì)象，挖掘重要聯(lián)系所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容整體性和結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)．這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020.

[2]克萊因F.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第三卷）：精確數(shù)學(xué)與近似數(shù)學(xué)[M].吳大任，陳，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

[3］弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．陳昌平，唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1995.

[4]布魯納．教育過程[M]．邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

[5]郭玉峰．關(guān)注數(shù)學(xué)的整體性和關(guān)聯(lián)性[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2024，63（3）：1-5.

[6]BUSINSKAS A M. Conversations about connec-tions： How secondary mathematics teachersconceptualize and contend with mathematicalconnections[D].Canada： Simon Fraser Uni-versity，2008.

[7]GARCIA-GARCIA J， DOLORES-FLORES C.Intra-mathematical connections made by highschool students in performing Calculus tasks[J].International JournalofMathematicalEducationinScience and Technology，2018，49（2）：227-252.

[8］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院．?dāng)?shù)學(xué)分析[M].5版．北京：高等教育出版社，2019.

[9]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].5版.北京：清華大學(xué)出版社，2008.