發(fā)揮習(xí)題功能 理解向量方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0061-04引用格式：.發(fā)揮習(xí)題功能理解向量方法：[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：61-64.

一、問(wèn)題提出

向量具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景，是代數(shù)與幾何共同的研究對(duì)象，它搭建了溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量運(yùn)算的幾何意義提供了認(rèn)識(shí)幾何圖形和理解幾何性質(zhì)的新視角，也帶來(lái)了解決幾何問(wèn)題的方法，即向量方法.人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）必修第二冊(cè)把向量方法的思維過(guò)程歸結(jié)為三個(gè)步驟：用向量表示幾何元素，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何問(wèn)題的向量化；通過(guò)向量的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解決；將向量運(yùn)算的結(jié)果還原成幾何關(guān)系．可見(jiàn)，向量方法是一種問(wèn)題解決策略，是內(nèi)隱于向量概念和運(yùn)算體系內(nèi)的、使向量理論體系得以創(chuàng)生的思維策略，是體現(xiàn)向量?jī)r(jià)值旨趣、凝聚人類(lèi)理性精神的大觀念.策略性知識(shí)的主要功能是提高問(wèn)題解決的能力．因此，學(xué)生對(duì)向量方法的理解和掌握，對(duì)于提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)具有決定性意義，關(guān)系著數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值能否實(shí)現(xiàn).

習(xí)題是教材的有機(jī)組成部分，具有消化鞏固新知、拓展延伸新知、綜合運(yùn)用新知、思維能力訓(xùn)練、思想方法滲透、診斷反饋補(bǔ)救與學(xué)科育人等七項(xiàng)功能，因此，對(duì)習(xí)題的教學(xué)不能僅僅追求題目的答案，而要通過(guò)對(duì)這些功能的發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成和關(guān)鍵能力的發(fā)展.

本文以一道習(xí)題為例，進(jìn)行平面向量的單元復(fù)習(xí)教學(xué)，具體教學(xué)內(nèi)容如下.

二、教學(xué)過(guò)程

1.題自溯源，建立向量方法的認(rèn)知起點(diǎn)

通過(guò)向量加法運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，可以用三角形兩條相鄰邊所在的向量來(lái)表示三角形的中線.例如，圖1中 ΔOBC 的中線OF可以表示為

圖1

如圖2，如果在中線 oF 上取一點(diǎn) E ，以點(diǎn) E 為中點(diǎn)作線段，分別交邊 OB ， oc 于點(diǎn) A ， D ，那么四邊形ABCD的形狀有什么特殊性？線段 EF 與四邊形ABCD有什么關(guān)系？進(jìn)而，向量 與向量 ， 之間有怎樣的關(guān)系？

2.一題多解，理解向量方法的思維特征

圖2

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)四邊形 ABCD 是梯形，線段 EF 是梯形的中位線．待學(xué)生將向量 表示成 后，教師將梯形一般化為任意四邊形，如圖3，待學(xué)生觀察、猜測(cè)任意四邊形的中位線的向量表示后，教師出示人教A版教材中習(xí)題6.2的第15題：如圖3，在任意四邊形 ABCD 中， E ， F 分別是 AD ， BC 的中點(diǎn)，求證 ：

圖3

實(shí)際上，學(xué)生證明這道題并沒(méi)有太大的困難．但是如果直接給出題目，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)榍蠼忭樌鲆晫?duì)題目中隱含信息的探索和理解，從而導(dǎo)致習(xí)題教學(xué)喪失應(yīng)有的價(jià)值．在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者先強(qiáng)化三角形中線的向量表示方法，并以此為認(rèn)知基點(diǎn)，借助圖形形狀變換將三角形的中線轉(zhuǎn)化為梯形的中位線，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生借助特殊化思想，發(fā)現(xiàn)梯形中位線的向量表示.通過(guò)這種教學(xué)方式，學(xué)生不僅能夠看到四邊形的中位線與三角形的中線之間的邏輯關(guān)系，還能自主發(fā)現(xiàn)它們雖然名稱(chēng)各異但卻有一致的向量表示形式，激發(fā)了學(xué)生探索兩者之間邏輯關(guān)系的積極心向，有利于教學(xué)的深人開(kāi)展和對(duì)向量方法的理解運(yùn)用.

如圖4，作向量 ， ，連接 BB₁ CC₁ ， B₁F ， C₁F ·

證法1：平行四邊形法.

圖4

由平面幾何知識(shí)，知四邊形 ABB₁E 和四邊形 EC₁CD 是平行四邊形.

則 BB₁//AE//C₁C ， BB₁=AE=C₁C 所以 ∠B₁BF=∠C₁CF 所以 ΔB₁BF?ΔC₁CF ：

所以 ∠BFB₁=∠CFC₁ ，則 B₁ ， F ， C₁ 三點(diǎn)共線.

所以 EF 為 ΔB₁EC₁ 的中線所以 ，即 證法2：轉(zhuǎn)化為三角形的中線.

如圖5，連接 EB EC ，則在 ΔBEC 中， EF 是邊 BC 的中線，得

圖5

由向量加法的三角形法則，知 ，

因?yàn)? ，所以 證法3：向量回路法.

因?yàn)?E ， F 分別是 AD ， BC 的中點(diǎn)，所以 ，

在圖3中，由向量回路法，可得 ， ：

將兩式相加，得 證法1基于向量加法的平行四邊形法則“共起點(diǎn)”

的要求，對(duì)向量 ， 進(jìn)行平移，利用點(diǎn) E 的中點(diǎn)特征構(gòu)造兩個(gè)平行四邊形，再利用點(diǎn) F 的中點(diǎn)特征及平行關(guān)系證得兩個(gè)三角形全等，最終轉(zhuǎn)化為三角形的中線解決問(wèn)題．雖然運(yùn)用了向量關(guān)系和運(yùn)算，但遵循的仍然是綜合幾何的思維路徑，只是把其中作輔助線和構(gòu)造幾何圖形的過(guò)程改成了向量的運(yùn)算和表示．證法2以三角形中線的向量表示為思維起點(diǎn)，連接 ΔEB EC 使EF由梯形的中位線轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚闹芯€，又使AB ，CD變成了三角形的邊，便于運(yùn)用向量加法的三角形法則．可見(jiàn)，證法2在解法上具有模塊化的特征，體現(xiàn)了思維的靈活性．而證法3則充分體現(xiàn)了向量回路法的簡(jiǎn)捷性．所謂回路，即向量從一點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)一個(gè)封閉的圖形又回到起點(diǎn)的那個(gè)通路，對(duì)于向量回路法的運(yùn)用，不僅要選擇合適的回路，即找到一個(gè)封閉的圖形，這個(gè)圖形包含了要表達(dá)的所有向量，還要利用向量的運(yùn)算和平面向量基本定理將向量分解成共線的形式．向量回路法不需要關(guān)注圖形的具體形狀和幾何性質(zhì)，用向量回路法解題可以脫離具體圖形而直接進(jìn)行形式化運(yùn)算．在此題中體現(xiàn)為不必添加任何輔助線，使解題方法十分簡(jiǎn)捷.

3.題目變式，助推向量方法的靈活運(yùn)用

變式1：在四邊形 ABCD 中， AD 與 BC 不平行，E ， F 分別是邊 AD ， BC 上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ，求證： E ， F 分別是 AD ，BC的中點(diǎn).

證明：因?yàn)?E ， F 分別是邊 AD ， BC 上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，

所以 ， ，其中 λlt;0，μlt;0

在圖3中，由向量回路法，得

兩式相加，得

對(duì)比已知條件，得 因?yàn)?AD 與 BC 不平行，所以非零向量 ， 不共線.

由平面向量基本定理知，要使 . ，只有 1+λ=0 且 1+μ=0 ：

所以 E ， F 分別是 AD ， BC 的中點(diǎn).

變式2：如圖6，在任意四邊形 ABCD 中， AB= DC， E ， F 分別是 AD ， BC 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA ， CD ，分別交 FE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ， H ，求證： ∠AGE=∠DHE ：

圖6

證法1：平面幾何法.

如圖7，過(guò)點(diǎn) E 分別作 EB₁//AB ，且 EB₁=AB ，EC₁//DC ，且 EC₁=DC ，連接 BB₁ ， CC₁ ， B₁F ， C₁F

圖7

由例題的證法1，可知 EF 為 ΔB₁EC₁ 的中線.因?yàn)?AB=DC ，所以 EB₁=EC₁ ，即 ΔB₁EC₁ 為等腰三角形.所以 EF 為等腰 ΔB₁EC₁ 底邊上的中線.所以 ∠B₁EF=∠C₁EF ：因?yàn)?EB₁//AB ， EC₁//DC ，所以 ∠B₁EF=∠AGE ， ∠C₁EF=∠DHE ：所以 ∠AGE=∠DHE ：注意到要證的 ∠AGE ， ∠DHE 分別是 AB ， DC 與EF 相交形成的角，故可以將它們分別看作向量 ， 與 的夾角，利用向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算，得到證法2.

證法2：向量方法.

由例題的結(jié)論，知

所以

由 AB=DC ，得

所以

所以 cos∠AGE=cos∠DHE 因?yàn)?∠AGE ， ∠DHE 都在區(qū)間[0，]內(nèi)，所以 ∠AGE=∠DHE ·

變式1以四邊形中位線及其向量表示兩者之間的等價(jià)關(guān)系為載體，引導(dǎo)學(xué)生逆向運(yùn)用平面向量基本定理．在此過(guò)程中，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的理解，尤其是領(lǐng)悟定理中“基”的作用和蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想．變式2以證明角的相等為目標(biāo)，綜合考查學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，根據(jù)題目已知條件中兩條線段的中點(diǎn)和一對(duì)相等的線段，學(xué)生可以想到構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為全等三角形的綜合幾何證明法．在實(shí)際教學(xué)中，受前面例題的證法1的啟示，很多學(xué)生能夠快速解決問(wèn)題，對(duì)于證法2，學(xué)生很難想到，所以由教師直接給出．學(xué)生的困難有二：一是學(xué)生理解的角通常離不開(kāi)具體圖形，不能脫離構(gòu)成角的幾何要素（如頂點(diǎn)和兩條邊）；二是學(xué)生缺乏將角轉(zhuǎn)化成向量的夾角的意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，即便學(xué)生想到了這種轉(zhuǎn)化，也會(huì)由于第一點(diǎn)的影響而不能選擇合適的向量，例如，對(duì)于 ∠AGE ，學(xué)生將其看作向量 ， 的夾角，但這兩個(gè)向量與題設(shè)條件的關(guān)系不明，不能解決問(wèn)題．學(xué)生若將其看作向量 ， 的夾角，問(wèn)題就迎刃而解了，因此，證法2能給學(xué)生帶來(lái)強(qiáng)烈的思維沖擊，能使他們對(duì)角的認(rèn)知從一個(gè)具象的圖形上升為兩個(gè)不同方向向量所成的角.

三、教后思考

數(shù)學(xué)的教與學(xué)都離不開(kāi)解題．?dāng)?shù)學(xué)教育家喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.”習(xí)題教學(xué)雖然以解題為教學(xué)內(nèi)容，但教學(xué)重心不能落在分析題型結(jié)構(gòu)和總結(jié)解題方法上，而應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，明確教學(xué)目標(biāo)，圍繞教學(xué)目標(biāo)合理選擇題目，設(shè)定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)路線，從而發(fā)揮習(xí)題教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值和功能．通過(guò)向量單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本掌握了運(yùn)用向量方法解決問(wèn)題的步驟，但他們經(jīng)常在該用的時(shí)候想不起來(lái)．因此，作為向量單元復(fù)習(xí)教學(xué)的有機(jī)組成部分，本文的習(xí)題教學(xué)目的是促使學(xué)生加深對(duì)向量方法的理解，逐步提高學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)用向量方法的自覺(jué)性.實(shí)際教學(xué)中，先對(duì)題自溯源，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形的中位線與三角形的中線雖然名稱(chēng)不同、功能各異，但是它們的向量表示在形式和運(yùn)算上具有一致性．這樣引入教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，建立理解向量方法的認(rèn)知起點(diǎn)．在對(duì)題目的解答中，通過(guò)對(duì)解題思路的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形特征與向量運(yùn)算緊密結(jié)合是向量回路法的重要特點(diǎn)，從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．在最后的變式教學(xué)中，通過(guò)教師的引導(dǎo)示范，學(xué)生能夠感悟向量方法的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性．可見(jiàn)，以上習(xí)題教學(xué)在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)，具有完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、發(fā)展思維能力和示范引領(lǐng)的價(jià)值和功能.

向量方法是解決問(wèn)題的一種策略，策略的內(nèi)隱性決定了其獲得的路徑不能是機(jī)械記憶和單向傳遞，學(xué)生只有在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得了親身體驗(yàn)，在實(shí)踐運(yùn)用中把體驗(yàn)轉(zhuǎn)化成經(jīng)驗(yàn)，在認(rèn)知中總結(jié)反思，才能形成策略．因此，對(duì)于向量的習(xí)題教學(xué)，教師應(yīng)該以促進(jìn)學(xué)生對(duì)向量方法的深刻理解和自覺(jué)運(yùn)用為價(jià)值指向．在審題時(shí)，教師應(yīng)該從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生分析題設(shè)條件和問(wèn)題，進(jìn)行多維度轉(zhuǎn)化和多樣化表征，以激活知識(shí)的多向關(guān)聯(lián)；在形成解題路徑的過(guò)程中，教師不能越俎代庖，更不能急于求成，而是應(yīng)該通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的啟發(fā)性提問(wèn)，激活學(xué)生的元認(rèn)知能力，讓學(xué)生經(jīng)歷由題目信息自然想到向量方法的完整過(guò)程；在解題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生厘清各種解題路徑的形成過(guò)程，比較不同解法的思維入口，逐步形成策略性認(rèn)知．總之，向量的習(xí)題教學(xué)不能就題論題，否則學(xué)生只能記憶題型、模仿套用，無(wú)法理解和運(yùn)用向量思想方法.

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