注重教材知識整合 積累數(shù)學活動經(jīng)驗

關(guān)鍵詞：數(shù)學活動經(jīng)驗；知識整合；數(shù)學教材；中考試題中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0052-07

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，課程目標以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向，進一步強調(diào)學生獲得數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）.數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要標志之一.《教育部關(guān)于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》要求，合理設(shè)置試題結(jié)構(gòu)，減少機械記憶試題和客觀性試題比例，提高探究性、開放性、綜合性試題比例.這樣的試題設(shè)置方式存在著不確定性，較多試卷中是以綜合與實踐問題呈現(xiàn)的，考查方向指向測評學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累情況，

生的知識應用能力.2024年中考河南卷第23題就是圍繞“鄰等對補四邊形”這一創(chuàng)新概念，設(shè)置了從“操作判斷”到“拓展應用”的多層任務(wù)，既需要學生調(diào)用圖形與幾何領(lǐng)域的主干知識，也要求其運用動手操作、歸納猜想、演繹證明的活動經(jīng)驗，充分體現(xiàn)了“以問題為導向，以素養(yǎng)為核心”的命題理念.

題目綜合與實踐.

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，試運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究.

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作鄰等對補四邊形，

一、試題呈現(xiàn)

數(shù)學活動經(jīng)驗的價值在于解決真實問題．當前中考命題愈發(fā)注重素養(yǎng)為本，通過創(chuàng)設(shè)新穎情境考查學

（1）操作判斷.

用分別含有 30^° 角和 45^° 角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有__________（填序號）.

圖1

（2）性質(zhì)探究.

根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補四邊形， AB= AD AC 是它的一條對角線.

圖2

① 寫出圖中相等的角，并說明理由；

② 若 BC=m ， DC=n ， ∠BCD=2θ ，求 AC 的長（用含 m ， n ， θ 的式子表示）.

（3）拓展應用.

如圖3，在 RtΔABC 中， ∠B=90^° ， AB=3 ， BC= 4，分別在邊 BC ， AC 上取點 M ， N ，使四邊形ABMN是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，直接寫出 BN 的長.

圖3

二、試題分析與解法分析

1．試題分析

該題以對一個新概念的理解為出發(fā)點，設(shè)計了“操作判斷”“性質(zhì)探究”“拓展應用”三個環(huán)節(jié)，涵蓋了填空題、證明題、解答題等題型，既體現(xiàn)了素養(yǎng)為本的命題原則，又考查了學生對圖形與幾何領(lǐng)域基礎(chǔ)知識、基本思想的掌握情況，實現(xiàn)了對學生讀圖、操作、推理和探究等能力和基本活動經(jīng)驗的分層次測評．試題命制較好地體現(xiàn)了“使得不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

2．解法分析

題中提到“在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，試運用已有經(jīng)驗，對鄰等對補四邊形進行研究”，這里的研究經(jīng)驗是指從觀察人手發(fā)現(xiàn)問題，從特例開始循序漸進地進行歸納推理，對歸納推理得到的猜想進行演繹證明的思維模式，

（1）“操作判斷”問題的解決.

鄰等對補四邊形是一個自定義概念，對它的認知需喚醒學生已有知識基礎(chǔ)和學習經(jīng)驗來實現(xiàn)．類比菱形、矩形、正方形的概念，可以降低學生對新概念的陌生感，有助于其準確地理解鄰等對補四邊形的關(guān)鍵特征．這里很容易判斷出 ② 是符合要求的鄰等對補四邊形.

（2）“性質(zhì)探究”問題的解決.

學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗可以分為觀察聯(lián)想、歸納猜測、數(shù)學表達、驗證或證明等四個維度．對于第（2）小題第 ① 問，學生可以通過直觀觀察猜想 ∠DCA= ∠BCA ，也可以通過用量角器測量得到 ∠DCA=∠BCA 業(yè)這就是一個簡單的觀察聯(lián)想、歸納猜想的過程，用數(shù)學語言寫出來就是一個數(shù)學表達的過程，說明理由就是用演繹推理來證明結(jié)論.這里給出如下四種解答方法.

方法1：如圖4，先過點 A 分別作邊 BC ， CD 的垂線，垂足分別為點 E 和點 F ，再依據(jù)“AAS”證明ΔAEB?ΔAFD 來解決問題.

圖4

方法2：如圖5，延長 CB 至點 E ，使 BE=DC 連接 AE ，通過證明 ΔABE?ΔADC ，構(gòu)造等腰三角形ACE來解決問題.

圖5

方法3：如圖6，延長 CD 至點 E ，使 DE=BC ，連接 AE ，通過證明 ΔADE?ΔABC ，構(gòu)造等腰三角形ACE來解決問題.

圖6

方法4：如圖7，由鄰等對補四邊形對角互補，可知A， B ， C ， D 四點共圓，利用“等弧所對的圓周角相等”來解決問題.

圖7

第（2）小題第 ② 問是第 ① 問的延續(xù)和發(fā)展，在猜想、證明圖中角度之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步探究、發(fā)現(xiàn)圖形中線段之間存在的特殊數(shù)量關(guān)系.在解決問題的方法上，第 ② 問與第 ① 問一脈相承，同時也提出了更高的要求．以下給出四種證明方法.

方法1：如圖4，過點 A 分別作邊 BC ， CD 的垂線，

垂足分別為點 E 和點 F ，依據(jù)“AAS”證明 ΔAEB?

（204 ΔAFD ，可得 BE=DF. 則 .再結(jié)合第（2）

小題第 ① 問的結(jié)論，可知 ∠BCA=∠DCA=θ. 在 RtΔECA中， ，從而得 ·

方法2：如圖8，延長 CB 至點 E ，使 BE=DC 連接 AE ，過點A作 AF⊥BC 于點 F ，可得 ΔABE?ΔADC 則 AE=AC ，因此， ．同樣結(jié)合第（2）小題第 ① 問的結(jié)論，可知 ∠BCA=∠DCA=θ. 在 RtΔFCA 中， ，從而得 ：

圖8

方法3：延長 CD 至點 E ，使 DE=BC ，連接 AE 通過證明 ΔADE?ΔABC ，構(gòu)造等腰三角形ACE來解決問題.在圖6的基礎(chǔ)上過點A作 AF⊥EC 于點 F_? ，后續(xù)過程與方法2類似，這里不再贅述.

方法4：如圖9，由鄰等對補四邊形的對角互補，可知 A ， B ， C ， D 四點共圓，連接 BD ，在 AC 上取一點 E ，使 ∠BDA=∠CDE ，過點A作 AF⊥BD 于點 F 因為∠ABD =∠ACD，所以△ADB△EDC.則B=BD ，即 AB?CD=BD?EC①. 同理，可得 ΔADE～ΔBDC

則 ，即 AD?BC=BD?AE（ ② 由 ①+② ，（20

可得 AB?CD+AD?BC=BD?AC. 由 AD=AB ，可知AD?BC+AD?CD=BD?AC， ，即 AD（m+n）=BD?AC.

所以 .在 ΔABD 中，因為 AB=AD ，所以∠ADB=∠ABD=0.在Rt△AFD中，因為DF=BD

cos0，所以AD 因為 業(yè)

所以 AC=m+n·

圖9

（3）“拓展應用”問題的解決，根據(jù)鄰等對補四邊形的概念，可以畫出如圖 10～12 所示的三個圖形．圖10中，當 AB=AN 時，還存在另外一組相等的邊，即 BM=NM ，這就與題中“該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等”的要求不符，故舍去.圖11中，連接AM，過點 N 作 NH⊥MC 于點 H. 當BM=BA 時，在 RtΔAMN 和 RtΔCMN 中，由勾股定理，分別得 MN²=AM²-AN²=18-AN² ， MN²=CM²- CN²=（4-3）²-（5-AN）² 解得 再利用 ΔNHC^～ △ABC，求出 NH=12， 最后，連接 BN ，在 RtΔBNH 中，利用勾股定理求出 BN= （204號 ．在圖12中，利用同樣的方法可以求出

圖10

圖11

圖12

另外，該題也可以利用第（2）小題第 ② 問中的結(jié)論 出線段 MN ， AN 的長就可以得出線段 BN 的長．根據(jù)△CNM△CBA，可以求出 MN=， AN= ，將其代人關(guān)系式，得 ，圖12中也可以利用同樣的方法求出線段BN的長.

這道試題從概念理解出發(fā)來考評學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累情況，體現(xiàn)了人口寬、方法多的命題原則，符合數(shù)學學科思維開放性的解題要求，有助于不同思維特點的學生多樣地展現(xiàn)自己的思考過程.多種解題方法體現(xiàn)了學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗發(fā)展程度的不同，也是學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀的體現(xiàn).

該題通過“概念理解一性質(zhì)探究一拓展應用”的層層遞進，全面考查了學生的數(shù)學思維與活動經(jīng)驗，為進一步凸顯數(shù)學知識的應用價值，強化從數(shù)學到生活的經(jīng)驗遷移，我們嘗試在學生解決了這道中考試題后添加一道實際應用的題目，讓學生在解決真實情境問題的過程中，深化對鄰等對補四邊形概念及性質(zhì)的理解，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系.

拓展：如圖13，有一個半徑為8米的圓形廣場，現(xiàn)在其內(nèi)部規(guī)劃一個四邊形ABCD種植鮮花，且∠BCA=∠DCA=30^° ，連接AC.設(shè)AC的長為 x 米.

（1）試用含 x 的式子表示四邊形ABCD的周長和面積；（2）直接寫出四邊形ABCD面積的最大值；（3）為了保持美觀，要求四邊形 ABCD 是一個軸對稱圖形，直接寫出此時四邊形ABCD的面積.

圖13

三、問題溯源

教材是學生學習知識最主要的文本資源，其中蘊含著豐富的命題素材．教材中的例題、習題為中考命題提供了廣闊空間.2024年中考河南卷第23題的題源可以追溯到北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊“正方形的性質(zhì)與判定”中的一道“聯(lián)系拓廣”問題（第25頁），題目如下.

如圖14，正方形ABCD的對角線相交于點 o ，正方形 A^′B^′C^′O 與正方形ABCD的邊長相等．在正方形 A^′B^′C^′O 繞點 o 旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

圖14

圖15

如圖15，這兩個正方形重疊的部分為四邊形MBNO，其中兩組對角互補，一組鄰邊相等（ OM=ON） ，對角線OB平分∠MBN.這與2024年中考河南卷第23題所呈現(xiàn)的圖形特征是一致的.

當正方形 A^′B^′C^′O 繞點 o 旋轉(zhuǎn)時，這里存在三個恒等關(guān)系：（1）四邊形MBNO中的兩組對角分別互補；（2）四邊形MBNO中的鄰邊OM與ON恒相等，鄰邊BM與BN的和是一個定值（這個定值為正方形ABCD的邊長）；（3）四邊形MBNO的面積是一個定值，恒等于正方形ABCD面積的 ．這道“聯(lián)系拓廣”問題充分體現(xiàn)了圖形“變化中的不變性”的數(shù)學本質(zhì)．因此，很多試題都以該題作為編制命題的基礎(chǔ)．人教版教材八年級下冊第十八章的“實驗與探究”部分也提出了同樣的問題讓學生來探究．蘇科版教材八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”復習題中也有同樣的問題.

該題也可以溯源到三角形全等的相關(guān)知識：有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．人教版教材八年級上冊“三角形全等的判定”、北師大版教材七年級下冊“探索三角形全等的條件”中都提出了這個結(jié)論，我們可以對圖15進行操作變換，先把四邊形MBNO分別沿兩條對角線剪開，就可以得到兩個三角形，再通過調(diào)整兩個三角形的位置，得到不同的研究路徑，如圖16和圖17所示．因此，我們也可以把這個圖形作為命制該題的一個原型.

圖16研究路徑1

圖17研究路徑2

這樣的命題設(shè)計超越了教材中單一知識的學習，實則是把一個簡單的數(shù)學推理問題變成一個以“做數(shù)學、用數(shù)學”的活動為引導的探究性問題．解決這個問題時，需要學生借助經(jīng)驗的遷移來理解四邊形MBNO變化中的不變性和核心元素（邊、角）的變化規(guī)律，自覺運用這種思維方式對問題進行直觀判斷，快速看出從位置關(guān)系的改變到新的數(shù)量關(guān)系的確定，最后運用其中蘊含的全等變換來解決問題.

四、教學啟示

1.立足教材圖形構(gòu)造，注重學科知識整合

立足教材圖形構(gòu)造，注重學科知識整合，是幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要路徑.教材中的圖形往往蘊含著豐富的知識關(guān)聯(lián)與思維邏輯，如不同版本教材中關(guān)于正方形旋轉(zhuǎn)、三角形全等變換等圖形問題，雖然呈現(xiàn)形式各異，但是本質(zhì)上都指向圖形的“變化中的不變性”與知識之間的內(nèi)在邏輯．在教學時，教師應深入挖掘教材中圖形的結(jié)構(gòu)性特征，將分散在不同章節(jié)的知識（如四邊形的性質(zhì)、三角形全等、圖形的旋轉(zhuǎn)等）進行有機整合，引導學生從圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)結(jié)點．例如，通過對教材中正方形重疊部分圖形的探究，可以自然引出鄰等對補四邊形的概念，實現(xiàn)從特殊圖形到一般概念的知識遷移，讓學生在構(gòu)造圖形與整合知識的過程中，建構(gòu)完整的知識體系，形成“以圖聯(lián)知、以知構(gòu)網(wǎng)”的思維習慣，為學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累奠定堅實的知識基礎(chǔ).

2.落地動手操作實踐，深化學生的具身體驗

數(shù)學基本活動經(jīng)驗包括數(shù)學實踐經(jīng)驗和數(shù)學思維經(jīng)驗兩大類．數(shù)學實踐經(jīng)驗是學生在學科教學的動手操作、學科實驗中，或在參與校外社會調(diào)查、項目式學習的設(shè)計、實施和評價等過程中所積累的經(jīng)驗．經(jīng)驗源于經(jīng)歷，經(jīng)歷成于活動．教材中“做一做”“問題解決”等欄自都為學生動手操作實踐提供了學習素材．例如，北師大版教材“菱形的性質(zhì)與判定”中設(shè)計了“你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！”“兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是菱形嗎？為什么？”“你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A為菱形的一個內(nèi)角嗎？”等問題．又如，在“設(shè)計一個噴泉”項目中，學生需要進行實地測量和市場調(diào)研，也需要從網(wǎng)絡(luò)上查詢各種資料，反復對設(shè)計方案進行論證，在體驗、探究、策劃和實施中積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

在課堂教學中，教師要把探究的機會還給學生，給學生充足的時間探究知識，讓學生真正動手做一做、猜一猜、說一說、證一證，變接受式學習為發(fā)現(xiàn)探究式學習，讓學生在經(jīng)歷知識生成過程中獲得動手操作的直接經(jīng)驗，讓知識在探究過程中生成，經(jīng)驗在探究過程中積累.學生在探究中經(jīng)歷知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造過程．在教學中，教師盡量不要用貌似高效的直接授受、課件演示等來代替學生直觀判斷．例如，2024年中考河南卷第23題中，圖1中的 ② 就給學生提供了一個直接經(jīng)驗，提醒學生解決后續(xù)問題時可以通過作高線構(gòu)造基本圖形來解題．教師要為學生搭建一個交流操作技巧、釋難答疑、展示成果的互動平臺，讓學生在活動中實現(xiàn)基本活動經(jīng)驗的共享和傳遞．教師也可以利用幾何畫板軟件、GeoGebra軟件等多媒體技術(shù)為學生提供替代性經(jīng)驗.

3.留白數(shù)學思維空間，提升學生推理能力

數(shù)學思維經(jīng)驗是學生在經(jīng)歷和感悟了歸納推理和演繹推理后所積淀的思維模式．在課堂教學中，教師要學會留白思維空間，把思維發(fā)展的時間、空間、機會留給學生，教學生學會觀察、學會歸納、學會猜想、學會證明．正如史寧中教授所言，經(jīng)驗是靠悟出來的．教師要注重對學生關(guān)鍵學習行為的引導．觀察是獲得實踐經(jīng)驗的起始階段．教師可以幫助學生逐漸建立起一種直覺，觀察共性，從中抽象出物體的本質(zhì)特征，做好物體的辨析和分類．例如，很多學生一眼就可以看出解決問題的方法，這就是活動研究經(jīng)驗的體現(xiàn)．經(jīng)驗的積累是以對知識的深度理解為前提的，學習完某個知識點后，教師要引導學生思考“這個知識點應該怎么用？可以使用在哪些方面？”等問題；在解決某個問題前，要思考“之前有沒有遇到過類似的情況？當時是怎么解決的？”等問題；在解決完問題后，要思考“這個問題有沒有更好的解法？能不能從中得出解決此類問題的一般性方法？”等問題.這些反思既有助于學生建立一定的數(shù)學直觀，又有助于學生把學習到的知識和技能轉(zhuǎn)化為自己的智慧.

在圖形變換問題中，也要從觀察人手發(fā)現(xiàn)問題，積累觀察圖形及圖形間關(guān)系的相關(guān)經(jīng)驗.思維經(jīng)驗的積累遵循“原初經(jīng)驗一再生經(jīng)驗一再認性經(jīng)驗一概括性經(jīng)驗一經(jīng)驗圖式”的規(guī)律.學生在學科各領(lǐng)域中思維經(jīng)驗的積累都遵循這樣的規(guī)律，教師要注重各領(lǐng)域起始課思維方式的滲透．例如，學習基本平面圖形時，最初學習角的方法就是獲得思維方式的原初經(jīng)驗，其中貫穿了“生活情境一抽象概念一圖形分類一性質(zhì)應用一特殊化一拓展提升”的認知主線．學習三角形、四邊形相關(guān)知識時，學習方法與角是一樣的，學生在此基礎(chǔ)上獲得學習其他平面圖形的思維方式，這就是一種概括性經(jīng)驗，最終形成一個研究平面圖形性質(zhì)的經(jīng)驗圖式．又如，關(guān)于函數(shù)的學習，在教學用字母表示數(shù)時，教師要注重變量思維的滲透，求代數(shù)式的值是滲透變量思維的起始課．兩個變量之間的一一對應關(guān)系就是函數(shù)．代數(shù)式 3x ， ， 3x+5 ， x²+1 與 x 之間的對應關(guān)系分別是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)．關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學習，在教學正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第1課時）時，教師要引領(lǐng)學生經(jīng)歷“概念一圖象一性質(zhì)一應用”的學習過程，形成一個研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的思維框架．用描點法畫出任意一個函數(shù)的圖象，用代數(shù)運算和函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，用函數(shù)模型可以解決真實問題，這是研究基本初等函數(shù)的一般方法.后續(xù)學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)時，不斷地運用、完善這個思維框架．杜威認為，經(jīng)驗具有連續(xù)性和互動性，當下的經(jīng)驗來自其他經(jīng)驗，而且會導致未來的經(jīng)驗．要積累真正有價值的經(jīng)驗就需要有連續(xù)性的學習活動．這兩個案例的學習都是一個具有連續(xù)性的數(shù)學活動.

4.關(guān)注兩種提取方式，結(jié)合實踐問題發(fā)展經(jīng)驗

波利亞曾指出，在解決一道提出的題目時，我們可以應用一道比較簡單的類比題目的解答，既可以利用其方法，也可以利用其結(jié)果，或者兩者同時采用，活動經(jīng)驗的提取有兩個層次.

第一個層次是模仿學習，即直接運用材料中所給出的方法、思路來解決問題．2024年中考河南卷第23題第（2）小題第 ② 問就是一個對角互補圖形的應用，在鄰等對補四邊形中，當已知 DC ， BC ， ∠BCD 的數(shù)值時，其中一條對角線 AC 的長度就等于 ．在解答后面的“拓展應用”問題時，就可以通過這個結(jié)論來求相應線段的長度．這是基于之前學習經(jīng)驗的模仿學習.

第二個層次是遷移學習，即將剛剛得到的學習經(jīng)驗或者已有的思維經(jīng)驗運用或遷移到新的任務(wù)和新的情境中.綜合與實踐問題旨在讓學生綜合運用有關(guān)知識和方法來解決實際問題，這就是一種遷移學習．這樣的設(shè)計，既可以突出學生真正參與的過程和學習過程的完整性，又可以使學生學習的學科知識得到綜合應用，使方法適應新情境，從而解決實際問題.

數(shù)學基本活動經(jīng)驗是學生在自主學習、動手操作和深度思考的過程中積淀而來的．學科教學實踐應在對教材知識深度整合的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)學概念、數(shù)學命題、知識結(jié)構(gòu)體系的抽象過程，從動手操作、歸納論證、演繹推理、方法遷移和現(xiàn)實應用等方面幫助學生積累實踐經(jīng)驗和思維經(jīng)驗，同時注意根據(jù)不同學段的學生學情制訂不同的評價標準.

參考文獻：

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