重視尺規(guī)作圖 發(fā)展推理能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）08-0026-05

作者簡(jiǎn)介：厲斯亮（1979—），女，高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

一、問(wèn)題緣起

1.尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)教學(xué)

尺規(guī)作圖是指用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖．歐幾里得在《幾何原本》中把無(wú)刻度直尺和圓規(guī)確立為幾何作圖的工具，因?yàn)槌咭?guī)作圖的每一步背后都是有理有據(jù)的，尺規(guī)作圖一直是初中幾何教學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的最佳素材之一.

史寧中教授強(qiáng)調(diào)，尺規(guī)作圖教學(xué)要教想法，要教想象力，而非作圖技巧．尺規(guī)作圖蘊(yùn)含的是嚴(yán)格的幾何證明，是邏輯推理、幾何直觀、創(chuàng)造力及豐富的數(shù)學(xué)思想.

2.隨著新課標(biāo)、新教材的推進(jìn)，更重視尺規(guī)作圖

比較《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》后，發(fā)現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》注重尺規(guī)作圖對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．《標(biāo)準(zhǔn)》要求的尺規(guī)作圖共有19項(xiàng)，分為基本作圖和復(fù)合作圖，其中有16項(xiàng)尺規(guī)作圖任務(wù)與《幾何原本》一致.《標(biāo)準(zhǔn)》的附錄1中收錄了93個(gè)課程內(nèi)容中的實(shí)例，其中關(guān)于尺規(guī)作圖的有4個(gè)，分別是例26、例29、例73和例76.同時(shí)，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)尺規(guī)作圖提出了更高的要求，不但明確了尺規(guī)作圖的具體教學(xué)內(nèi)容，而且強(qiáng)調(diào)了需要理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法.

2024年滬教版《義務(wù)教育教科書（五·四學(xué)制）·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）將尺規(guī)作圖從《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“二期課改教材”）六年級(jí)第二學(xué)期“線段與角的畫法”一章分配到相關(guān)章節(jié)，將教學(xué)目標(biāo)從原來(lái)的“識(shí)記”提升為“理解、掌握” （如表1）.

表1部分尺規(guī)作圖基本操作在兩版教材中的章節(jié)與目標(biāo)對(duì)比

同時(shí)，2024年滬教版教材七、八、九年級(jí)都有新增加的尺規(guī)作圖內(nèi)容，僅七年級(jí)就增加了“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”“已知底邊和底邊上的高作等腰三角形”三項(xiàng)操作．這些內(nèi)容既是《標(biāo)準(zhǔn)》中要求的尺規(guī)作圖，又是對(duì)基本作圖的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)幾何問(wèn)題的解決.

3.尺規(guī)作圖的教學(xué)難點(diǎn)分析

教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在識(shí)記尺規(guī)作圖基本操作方面沒(méi)有困難，但易出現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題：學(xué)后遺忘率高，即便多次練習(xí)也效果不佳；往往無(wú)法應(yīng)對(duì)綜合性、復(fù)雜性問(wèn)題．有時(shí)候?qū)W生不能解決幾何問(wèn)題，原因在于沒(méi)有掌握尺規(guī)作圖，無(wú)法畫出相應(yīng)的圖形，或者作圖不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致錯(cuò)解、漏解.

出現(xiàn)這些問(wèn)題的根本原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)僅僅停留于淺表性的程序性知識(shí)記憶，并沒(méi)有將數(shù)學(xué)思想和思維與技能學(xué)習(xí)充分聯(lián)系起來(lái)，缺乏基于情境的尺規(guī)作圖問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)．因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師要同步提升學(xué)生對(duì)作圖原理的理解和應(yīng)用作圖方法的能力，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究作圖方法的過(guò)程，幫助學(xué)生積累問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在直觀操作與抽象作法之間建立聯(lián)系.

二、教學(xué)實(shí)踐背景介紹

1.主題緣起

九年級(jí)學(xué)生在學(xué)到正多邊形與圓的內(nèi)容時(shí)對(duì)“如何用尺規(guī)作正五邊形”這個(gè)問(wèn)題很感興趣．二期課改教材九年級(jí)第二學(xué)期“圓與正多邊形”一章的“閱讀材料”欄目介紹了用尺規(guī)作正五邊形的方法，但未提及作法蘊(yùn)含的原理.

基于用尺規(guī)作正五邊形，以及對(duì)新課標(biāo)、新教材的理解，筆者探索了“探究正五邊形的尺規(guī)作圖方法”一課，綜合應(yīng)用學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)的勾股定理、相似三角形、黃金分割等知識(shí)解決問(wèn)題.通過(guò)構(gòu)建探究活動(dòng)鏈，激發(fā)學(xué)生用尺規(guī)作圖探究的興趣，提升學(xué)生探究幾何圖形性質(zhì)的能力、推理能力和運(yùn)算能力.

在初中階段對(duì)平面圖形的學(xué)習(xí)，學(xué)生接觸更多、更熟悉的是直線形圖形．此前學(xué)生已經(jīng)比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了三角形、四邊形等內(nèi)容，對(duì)這些圖形的學(xué)習(xí)都經(jīng)歷了“定義一性質(zhì)一判定”的過(guò)程．因此，本節(jié)課從研究正五邊形的性質(zhì)入手．“已知正五邊形的邊長(zhǎng)，求它的外接圓半徑”是符合學(xué)生對(duì)幾何圖形認(rèn)知規(guī)律的.

2.教學(xué)目標(biāo)確立

基于教學(xué)前端分析，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確立為：（1）會(huì)正確運(yùn)用尺規(guī)作圖畫出正五邊形，明確尺規(guī)作圖的基本方法，提高尺規(guī)作圖的基本技能；（2）提高探究幾何圖形性質(zhì)的能力，以及推理能力和運(yùn)算能力；（3）體會(huì)通過(guò)研究幾何圖形的性質(zhì)探尋幾何作圖方法的過(guò)程，體會(huì)學(xué)習(xí)過(guò)程中的化歸、逆向思維等數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)正確運(yùn)用尺規(guī)作圖畫出正五邊形.

教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)通過(guò)研究幾何圖形的性質(zhì)探尋作圖方法的過(guò)程，體會(huì)學(xué)習(xí)過(guò)程中的化歸、逆向思維等數(shù)學(xué)思想方法.

三、教學(xué)過(guò)程

1.操作引入，創(chuàng)設(shè)探究氛圍，感受幾何直觀

本節(jié)課的教學(xué)圍繞著用尺規(guī)作圖畫一個(gè)正五邊形展開(kāi)，在課堂教學(xué)的最初設(shè)計(jì)畫圖操作環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生直觀感受正五邊形及其畫法，且允許學(xué)生使用一切需要的工具．通過(guò)這樣的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)的探究學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的氛圍.

操作：利用刻度尺、量角器、圓規(guī)等工具畫一個(gè)正五邊形.

師生活動(dòng)：學(xué)生操作畫圖，交流不同畫圖方法.

2.探究活動(dòng)鏈

環(huán)節(jié)1：師生對(duì)話，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)抽象能力，

教學(xué)是一門語(yǔ)言的藝術(shù).數(shù)學(xué)教師的語(yǔ)言一般要求規(guī)范、簡(jiǎn)潔.有語(yǔ)言藝術(shù)的教師往往能夠通過(guò)師生對(duì)話潛移默化地幫助學(xué)生突破思維屏障，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

本環(huán)節(jié)中，師生通過(guò)開(kāi)展對(duì)話，交流不同的作圖方法，教師通過(guò)追問(wèn)不斷引導(dǎo)學(xué)生反思和解析自己的作圖過(guò)程和方法.學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果能求出 72^° 角所對(duì)的弦長(zhǎng)，在圓周上不斷截取相應(yīng)的弦長(zhǎng)就可以了．通過(guò)師生間的對(duì)話，學(xué)生受到啟發(fā)，把原本的尺規(guī)作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化成以下幾何計(jì)算問(wèn)題.

問(wèn)題1：如圖1，五邊形ABCDE是 ?o 的內(nèi)接正五邊形，已知 ?o 的半徑是1，求弦 AB 的長(zhǎng)度.

圖1

通過(guò)這一環(huán)節(jié)初步實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，把尺規(guī)作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)在師生問(wèn)答和問(wèn)題轉(zhuǎn)化過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.

環(huán)節(jié)2：逆向思考，研究圖形性質(zhì)，發(fā)展推理能力，

學(xué)生嘗試思考解決問(wèn)題1，但遇到了困難，暫時(shí)無(wú)法解決．這時(shí)候怎么辦呢？“反其道而行之”的說(shuō)法就是逆向思維．反證法、舉反例、執(zhí)果索因都是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的逆向思維，學(xué)生對(duì)此并不陌生.

通過(guò)逆向思維及對(duì)正五邊形性質(zhì)的研究，師生共同把難以解決的問(wèn)題1轉(zhuǎn)化成問(wèn)題2，而問(wèn)題2是學(xué)生根據(jù)已學(xué)的知識(shí)和方法能自己解決的.問(wèn)題2涉及相似三角形、勾股定理等跨單元的多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的幾何直觀、推理能力和運(yùn)算能力都具有一定的挑戰(zhàn)性.

問(wèn)題2：如圖2，五邊形ABCDE是 ?o 的內(nèi)接正五邊形，邊長(zhǎng)為 a ，對(duì)角線AC和 BE 相交于點(diǎn) F

圖2

（1）求對(duì)角線 BE 的長(zhǎng)；

（2）求 ?o 的半徑.解：（1）易證得 ΔFAB～ΔAEB ，所以 因?yàn)?AB=AE=EF=a ，

所以

所以點(diǎn) F 是線段 BE 的黃金分割點(diǎn).

所以EF 即

所以BE= =

（2）如圖3，連接 OA 交 BE 于點(diǎn) G ，則 OA⊥BE 于 點(diǎn) G ，連接 OE

圖3

在 RtΔAEG 中， 所以 RtΔOEG 中，設(shè) OE=r 則 解得 由此可得 所以當(dāng)正五邊形外接圓的半徑為1時(shí)，該正五邊形的邊長(zhǎng)為 環(huán)節(jié)3：?jiǎn)拘鸦顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)，研究數(shù)據(jù)特征，提升模型觀念.隨著問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和推進(jìn)，學(xué)生接下來(lái)要解決的是問(wèn)題3.問(wèn)題3：已知 ?o 的半徑是1，怎么求作邊長(zhǎng)為 的正五邊形？

追問(wèn)1：已知單位長(zhǎng)度1，怎么畫出√5？怎么畫 和 呢？

這個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生喚醒了已有的相關(guān)記憶，聯(lián)系到了在八年級(jí)第一學(xué)期學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)解決的“分別作長(zhǎng)為 ， 的線段”的例題.

在之前的課堂教學(xué)中，筆者扎扎實(shí)實(shí)地組織學(xué)生探究這道例題的解答方法，因此學(xué)生對(duì)此印象深刻.在這里，該例題的學(xué)習(xí)為學(xué)生提供了充分的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生可以順利作出所有長(zhǎng)度為 （ n 是正整數(shù)）的線段，如圖4所示.

圖4

追問(wèn)2：有沒(méi)有可能用類似的方法作出長(zhǎng)度為 的線段呢？通過(guò)計(jì)算，學(xué)生得到

這一次成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)既豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又加深了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，

環(huán)節(jié)4：探究作圖方法，歸納作圖步驟，理解作 圖原理.

在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生用尺規(guī)作圖的方法畫出正五邊形已經(jīng)是水到渠成，只是需要梳理出具體的作圖步驟，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述作圖步驟．這個(gè)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)尺規(guī)作圖的原理來(lái)源于圖形的性質(zhì)，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行規(guī)范表達(dá)的重要性.

問(wèn)題4：嘗試用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)正五邊形.

師生活動(dòng)：學(xué)生先小組討論，嘗試作圖，之后全班交流，共同歸納作圖步驟.

學(xué)生歸納的作圖步驟如下.

① 畫一個(gè) ?o ，作直徑 AB ，作 AB 的垂直平分線

交 ?o 于點(diǎn) C

② 通過(guò)作半徑 OB 的垂直平分線找到 OB 的中點(diǎn) D ③ 以點(diǎn) D 為圓心，以 DC 的長(zhǎng)為半徑畫弧，交 OA 于點(diǎn) E ：④ 以點(diǎn) C 為圓心，以 CE 的長(zhǎng)為半徑畫弧，交 ?o 于點(diǎn) F ， G ：⑤ 保持半徑長(zhǎng)不變，分別以點(diǎn) F ， G 為圓心，再畫弧分別交 ?o 于點(diǎn)H，I;⑥ 順次連接C，F(xiàn)，H，I， G ，形成的五邊形CFHIG即為正五邊形，如圖5所示.

圖5

3.教學(xué)效果

尺規(guī)作圖涉及操作活動(dòng)和思維的結(jié)合，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀和推理能力非常有效的教學(xué)資源.在這次教學(xué)實(shí)踐前后各有一次練習(xí)，其中的兩道幾何填空題難度相仿，且都需要學(xué)生自己先畫出圖形再計(jì)算相關(guān)線段的長(zhǎng)度．筆者統(tǒng)計(jì)了教學(xué)班和對(duì)照班學(xué)生在這兩道題目上的得分率，如圖6所示.

圖6教學(xué)班和對(duì)照班前測(cè)、后測(cè)得分率統(tǒng)計(jì)圖

通過(guò)對(duì)比兩個(gè)班成績(jī)的數(shù)據(jù)可以看到，兩個(gè)班在相仿的幾何問(wèn)題上的得分率均有較大幅度的增長(zhǎng)，但教學(xué)班的增長(zhǎng)幅度明顯高出對(duì)照班，約高 10% .在其他課堂教學(xué)、作業(yè)等因素一致的情況下，這充分說(shuō)明了本節(jié)課教學(xué)的有效性.

四、教學(xué)反思

1.深入研讀教材，關(guān)注學(xué)生問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)課標(biāo)精神

本次教學(xué)實(shí)踐既基于教材中的“閱讀材料”，又基于學(xué)生感興趣的問(wèn)題．波利亞說(shuō)過(guò)，當(dāng)你有目的地向自己提出問(wèn)題時(shí)，它就變成你自己的問(wèn)題了，學(xué)生感興趣的問(wèn)題更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，有利于探究活動(dòng)的開(kāi)展．研讀教材是每一位教師的必修課，在新課標(biāo)、新教材背景下，教師更需要深人研讀教材，領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖.教材中的“閱讀材料”等素材或關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)史，或體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，或促進(jìn)思維發(fā)展，甚至兼而有之．教師要充分利用這些素材，結(jié)合學(xué)情開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐.

2.設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷一個(gè)又一個(gè)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，積累必要的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在問(wèn)題的多次轉(zhuǎn)化中體會(huì)化歸思想和逆向思維，在問(wèn)題解決過(guò)程中體會(huì)之前積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)揮的重要作用，體會(huì)通過(guò)研究幾何圖形的性質(zhì)探尋幾何作圖方法的過(guò)程．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，提高了抽象能力、幾何直觀和創(chuàng)新意識(shí)；學(xué)生研究圖形的性質(zhì)和數(shù)據(jù)特征，這是在用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考，提高了運(yùn)算能力和推理能力；學(xué)生通過(guò)聯(lián)系已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和基本圖形，以及組織幾何作圖語(yǔ)言，提高了模型觀念和應(yīng)用意識(shí)，實(shí)現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)自己的觀點(diǎn).

3.開(kāi)發(fā)尺規(guī)作圖的主題探究教學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究活動(dòng)主要是指立足于學(xué)生已有的知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自主參與并開(kāi)展與某些數(shù)學(xué)問(wèn)題相關(guān)的探究活動(dòng)．尺規(guī)作圖對(duì)工具有較嚴(yán)格的限制，這種工具的限制相當(dāng)于一種問(wèn)題情境，尺規(guī)作圖能考查學(xué)生在特定條件下，通過(guò)幾何推理解決問(wèn)題的能力，這符合探究活動(dòng)的目標(biāo)，建議教師開(kāi)發(fā)尺規(guī)作圖的探究活動(dòng)開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐．古希臘數(shù)學(xué)家將作圖工具限制于直尺和圓規(guī)，很大程度上是出于對(duì)數(shù)學(xué)美的追求．這一點(diǎn)在當(dāng)下教育中美育不足、學(xué)生審美能力亟待提高的環(huán)境下是彌足珍貴的教育資源.

結(jié)合本次的教學(xué)實(shí)踐和思考，筆者針對(duì)開(kāi)發(fā)尺規(guī)作圖的探究教學(xué)給出以下建議：（1）設(shè)置作圖環(huán)節(jié)并給予學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生親身感受作圖操作，增加直觀體驗(yàn)；（2）探究任務(wù)不脫離尺規(guī)作圖基本操作，教師通過(guò)追問(wèn)、階段小結(jié)等方式有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)作圖的原理，探究其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；（3）教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展有系統(tǒng)設(shè)計(jì)和充分的預(yù)設(shè)；（4）給學(xué)生提供充足的交流和分享的機(jī)會(huì).

尺規(guī)作圖有效承載著對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的任務(wù)，一旦尺規(guī)作圖的教學(xué)被簡(jiǎn)化為一種程序性的技能，那便失去了數(shù)學(xué)的靈魂．尺規(guī)作圖是幾何學(xué)的一顆明珠，它熠熠生輝；尺規(guī)作圖教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的一座寶藏，等待我們繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn).

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