基于模型觀念行為指標(biāo)的試題命制與啟示

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0047-06

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）確立了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo)并提出注重實現(xiàn)“教一學(xué)一評”一致性的要求．根據(jù)核心素養(yǎng)的階段性，界定了初中階段九個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵，模型觀念是其中之一，是教學(xué)評價體系的重要組成部分．對于“如何命制試題，才能夠在紙筆測試中對學(xué)生模型觀念的發(fā)展水平進(jìn)行測評”這一問題，筆者認(rèn)為，《標(biāo)準(zhǔn)》中所界定的模型觀念內(nèi)涵具有高度統(tǒng)攝性，落實到具體的試題命制中需依據(jù)數(shù)學(xué)建模各個環(huán)節(jié)的表現(xiàn)特征，分別設(shè)置片斷式教學(xué)任務(wù)，側(cè)重考查學(xué)生在某個建模環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)．因此，需要結(jié)合所考查的知識背景，將《標(biāo)準(zhǔn)》中的模型觀念內(nèi)涵進(jìn)一步細(xì)化為可操作、可觀測、可測量的行為指標(biāo)．基于細(xì)化的行為指標(biāo)，確定測量目標(biāo)，構(gòu)建試題核心結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計問題，編寫評分量表，根據(jù)學(xué)生在解決問題過程中的行為表現(xiàn)推斷學(xué)生的模型觀念發(fā)展水平．下面以一道八年級期末壓軸題的命制過程為例，談?wù)勅绾位谀Ｐ陀^念的行為指標(biāo)進(jìn)行試題命制.

一、一次函數(shù)內(nèi)容中模型觀念的行為指標(biāo)

《標(biāo)準(zhǔn)》將模型觀念的內(nèi)涵描述為：“模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識.知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．模型觀念有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.”結(jié)合“一次函數(shù)”單元知識，進(jìn)一步細(xì)化模型觀念的行為指標(biāo)，如表1所示.

表1

二、命制過程與反思

1.命題規(guī)劃

《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)中提出第四學(xué)段學(xué)生要能從具體的生活與科技情境中抽象出函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)表達(dá)形式，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實生活問題，給出數(shù)學(xué)描述和解釋．從實踐來看，當(dāng)實際問題情境是學(xué)生不熟悉且較復(fù)雜的情境時，則對學(xué)生的模型觀念有更高能力水平的要求．此外，初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)遵循“實際背景一抽象函數(shù)概念一研究函數(shù)圖象和性質(zhì)一解決實際問題”的路徑，因此用函數(shù)描述變化規(guī)律、解決實際問題具有重要意義，基于以上考慮，將一次函數(shù)的實際應(yīng)用作為該八年級期末試卷的壓軸題，著重考查學(xué)生的模型觀念，制訂如表2所示的雙向多維細(xì)目表.

表2

2.素材選取

該試題背景選自華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第64頁習(xí)題17.5第6題，題干如下.

藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥．經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗.測得成人服藥后血液中藥物濃度 y （微克/毫升）與服藥后的時間 x （時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

圖1

3.構(gòu)建試題核心結(jié)構(gòu)

根據(jù)命題規(guī)劃，該壓軸題主要考查學(xué)生在不熟悉的情境中綜合運用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、方程與不等式等知識解決實際問題，借此評價其模型觀念的發(fā)展水平．為提高試題對學(xué)生模型觀念水平的要求，記圖1中的圖象表示的函數(shù)為 y_C ，增加一個變化過程：另一種藥物采用注射方式，注射后血液中藥物濃度達(dá)到峰值，之后該種藥物濃度隨時間下降的規(guī)律為一次函數(shù)，記作y甲

用幾何畫板軟件進(jìn)行探究，如圖2，將服藥乙藥物的時刻記為0，改變甲藥物的注射時間，可以發(fā)現(xiàn)兩個新的變化過程： ① 兩種藥物濃度相同的兩個時刻之差 |t₂-t₁| 會隨甲藥物的注射時間變化而發(fā)生變化，|t₂-t₁| 也可以理解為乙藥物濃度高于甲藥物濃度的時長； ② 乙藥物和甲藥物濃度的差值 y_Z-y_H 的最大值隨甲藥物的注射時間發(fā)生變化.

圖2

從考查目標(biāo)來看，這兩個變化過程都需要假設(shè)新參數(shù)，即甲藥物的注射時間，完善甲藥物濃度隨時間變化的模型，在構(gòu)建新函數(shù)、求解的過程中需要綜合運用一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解．為了使試題有較高的實際應(yīng)用意義，筆者選擇過程 ① 作為該試題的核心結(jié)構(gòu)，

4.情境設(shè)計

該題是一道綜合性試題，需要將更多的行為指標(biāo)融入試題．一次函數(shù)內(nèi)容中模型觀念的行為指標(biāo)既有水平層次較低的行為指標(biāo)，側(cè)重考查基礎(chǔ)知識和基本技能，如用待定系數(shù)法建立一次函數(shù)模型，也有水平層次較高的行為指標(biāo)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，如假設(shè)參數(shù)、完善一次函數(shù)模型等．基于以上考慮設(shè)計問題情境，覆蓋更豐富的行為指標(biāo)．行為指標(biāo)對應(yīng)的問題情境如表3所示.

表3

5.完善情境與設(shè)問

根據(jù)以上分析，對試題的核心結(jié)構(gòu)賦予實際意義，將測量目標(biāo)具體化為試題情境和設(shè)問，形成如下初稿.

表4

初稿：治療某種疾病需要同時使用甲、乙兩種藥品，甲種藥品采用注射的方式給藥，乙種藥品采用口服的方式給藥.臨床實驗研究數(shù)據(jù)表明，注射甲種藥品后，血液中甲種藥品的濃度（單位：微克/毫升）隨注射時間（單位：時）的變化規(guī)律如表4所示；服用乙種藥品后，血液中乙種藥品的濃度（單位：微克/毫升）隨服藥時間（單位：時）的變化圖象如圖3所示（圖象由兩條有公共端點的線段組成）.

圖3

（1）當(dāng)服藥時間超過1小時后，求血液中乙種藥品的濃度隨服藥時間變化的函數(shù)關(guān)系式；

（2）科研人員發(fā)現(xiàn)當(dāng)血液中同時存在兩種藥品，且乙種藥品的濃度比甲種藥品的濃度高時，能夠產(chǎn)生較好的療效，試估計產(chǎn)生較好療效的時長的最大值.

賦予實際背景后，函數(shù)的定義域發(fā)生改變， t₁ 和 t₂ 不一定是 y_H=y_Z 的解，可能出現(xiàn) t₁ 是甲種藥品注射的時刻或 t₂ 是甲種藥品濃度為0的時刻等情形，因此需要分情況討論.這時解答難度增加，對學(xué)生分析問題、完善模型的水平要求更高．從實際情況來考慮，要產(chǎn)生較好的療效，藥物需要有一定的濃度，而初稿的第（2）小題僅要求“同時存在兩種藥品”，顯然與實際情境不符．從嚴(yán)謹(jǐn)性來考慮，一方面，如果有重復(fù)用藥，那么無法確定產(chǎn)生較好療效的時長的取值范圍；另一方面，根據(jù)實際情境，所求得的參數(shù)取值范圍可能是開區(qū)間，僅能夠求得 |t₂-t₁| 的取值范圍，而無法確定最值.基于以上考慮，將該題第（2）小題最終修改如下.

第（2）小題終稿：科研人員發(fā)現(xiàn)當(dāng)血液中同時存在兩種藥品，且乙種藥品的濃度比甲種藥品濃度至少高2微克/毫升時，能夠產(chǎn)生較好的療效．由于藥物本身存在副作用，因此在24小時內(nèi)這兩種藥品都只能使用一次，試估計產(chǎn)生較好療效的時長是否有可能超過6小時，并說明理由.

6.解答簡析

（1） （2（2）設(shè)在服用乙種藥品 ah 后注射甲種藥品，則

（204 y_Ψ=-t+8+a （ ）.設(shè)產(chǎn)生較好療效的時

長為 f ① 當(dāng) t₁=a ， t₂ 是 y_Z-y_H=2 的解，即注射甲藥品

后，立即產(chǎn)生較好療效，產(chǎn)生較好療效的時刻為 t=a 因為當(dāng) 0Z=12t ，所以 y_Z-y_#?2 ，即 12t-（-t+8+a）≥2 ：因為當(dāng) a?tlt;1 時式子恒成立，所以a≤13a-10.解得a≥5當(dāng) 1Z-y_#?2 解得 t?4-a ，即 t₂=4-a 因為 t=4-a 時， _y⊥）0 ，解得 agt;-2 業(yè)所以較好療效的時長 f=-2a+4 #所以當(dāng) 時， =② 當(dāng) t₁ ， t₂ 都是 y_Z-y_H=2 的解.

令 y_Z-y_#?2 ，解得 =因為 ，所以 -10?a?3 當(dāng) t=4-a 時，即 y_Hgt;0 ，解得 agt;-2 所以 -2 所以 （20 ③ 當(dāng) t₁ 是難 y_Z-y_#=2 的解，即 ， t₂=8+a ， ：同理，可得 -10?alt;-2 當(dāng) a=-2 時， ，所以flt;700綜上所述， ，故產(chǎn)生較好療效的時長不可能超過6小時.

7.基于行為指標(biāo)編寫評分量表

為增強(qiáng)實測數(shù)據(jù)的可解釋性，使測評結(jié)果客觀反映學(xué)生模型觀念的發(fā)展水平，研制基于模型觀念行為指標(biāo)賦分的評分量表．由于解答過程中每個環(huán)節(jié)需要的技能、能力要素存在差異，因此對每個環(huán)節(jié)的賦分也需要考慮技能與能力的要求，制訂相應(yīng)的評分量表.

第（1）小題（滿分為5分）的測量目標(biāo)是：知道一次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，會從情境中提取解決問題所需要的信息，會用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式表達(dá)變化規(guī)律.

第（1）小題評分量表如表5所示.

表5

第（2）小題（滿分為7分）的測量目標(biāo)是：分析情境，從函數(shù)的角度理解現(xiàn)實情境中的數(shù)學(xué)含義，能夠正確表達(dá)情境中信息之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)；根據(jù)情境的需要假設(shè)參數(shù)，完善模型，綜合應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)、方程、不等式的知識解決問題，第（2）小題評分量表如表6所示.

表6

8.試題命制反思

初中階段的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)都是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的模型．因此，教學(xué)和評價都要圍繞著從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用模型的性質(zhì)解決問題來開展．在行為指標(biāo)上設(shè)置思維難點，是命制一次函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵抓手，可以從幾個方面來考慮：選用信息豐富、呈現(xiàn)形式多樣、關(guān)系復(fù)雜的真實情境考查學(xué)生梳理信息并表達(dá)的能力；設(shè)計開放性、實踐性設(shè)問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；設(shè)計多變量的含參數(shù)的函數(shù)模型，考查學(xué)生綜合運用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題的能力；還可以與統(tǒng)計知識結(jié)合，利用統(tǒng)計結(jié)果確定擬合函數(shù)的參數(shù)，考查學(xué)生完善模型的能力；等等.

提煉試題命制流程如圖4所示.

研究階段 命制階段 完善階段結(jié)合單元內(nèi)容分解核心素養(yǎng) 選取試題情境背景 依據(jù)行為指標(biāo)，表現(xiàn)行為指標(biāo) 編寫能力要素賦分的評分量表制訂雙向多維 依據(jù)行為指標(biāo)，構(gòu)細(xì)目表 建試題核心結(jié)構(gòu)編寫參考答案確定測量的行完善試題情境和設(shè)為指標(biāo)，形成問，設(shè)置進(jìn)階問題試題規(guī)劃

三、基于行為指標(biāo)的命題啟示

1.試題命制思路源于對行為指標(biāo)的理解

初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)落實到教學(xué)、評價的實踐中，還需要搭建一個橋梁，即結(jié)合具體的內(nèi)容或任務(wù)，將核心素養(yǎng)具體化為可操作、可觀測、可測量的行為指標(biāo)，從而確定試題的測量目標(biāo)，形成命題規(guī)劃，再進(jìn)一步具體化為試題的情境和設(shè)問．鮑建生教授在在第十三屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動總結(jié)報告中提到的基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題庫建設(shè)路徑如圖5所示.

使用該框架進(jìn)行命題時，在實操的層面上，研讀核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的內(nèi)涵，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，理解《標(biāo)準(zhǔn)》中描述結(jié)果目標(biāo)和過程目標(biāo)的行為動詞的內(nèi)涵，形成行為指標(biāo)，這是素養(yǎng)導(dǎo)向的試題命制的一般步驟，是與疊加結(jié)構(gòu)模型、人為制造解題困難的命題方式的不同之處.

2.以行為指標(biāo)命制試題，避免套路化

以考查模型觀念的試題為例，往往會看到教師將其簡單歸類為應(yīng)用題，在教學(xué)中存在通過對知識應(yīng)用的各種情境進(jìn)行分類試圖獲得求解考查模型觀念試題的解答套路的現(xiàn)象．這樣的教學(xué)方式之所以有“市場”，一方面，大量考查模型觀念的試題是“套路題”；另一方面，教師未能認(rèn)識到這類試題主要考查的是數(shù)學(xué)建模中的模型求解和應(yīng)用環(huán)節(jié)．從行為指標(biāo)來看，模型觀念還包含了觀察實際情境、發(fā)現(xiàn)和提出問題、假設(shè)參數(shù)、建立模型、完善模型、運算求解等要素．從細(xì)化的行為指標(biāo)人手，思考試題的情境和設(shè)問，往往能夠獲得考查核心素養(yǎng)水平的命題思路，避免學(xué)生在測評中只需要根據(jù)解題記憶或是按照既定步驟進(jìn)行解答，偏離測量目標(biāo)，導(dǎo)致對核心素養(yǎng)發(fā)展水平的評價失真，核心素養(yǎng)培養(yǎng)乏力.

3.以行為指標(biāo)編寫評分量表，形成評價閉環(huán)

學(xué)業(yè)水平考試或階段性測試都承載著評價核心素養(yǎng)發(fā)展水平、引導(dǎo)教學(xué)的功能．試題的評分設(shè)置需要符合測量目標(biāo)要求．與過去只根據(jù)最終答案判定對錯，或?qū)W(xué)生的解答過程按照步驟給分的方式不同，對核心素養(yǎng)的循證評價需要依據(jù)測試題中蘊含的行為指標(biāo)．設(shè)計評分量表，使測試的結(jié)果能反映學(xué)生各個指標(biāo)的達(dá)成情況，從而對學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展水平具有可解釋性，反饋到教學(xué)中，教師能夠有針對性地凝練經(jīng)驗、改進(jìn)教學(xué)．在實際操作中，還需要考慮達(dá)成每個行為指標(biāo)所需要的技能或思維過程的繁雜程度，從而對各個環(huán)節(jié)進(jìn)行賦分．以行為指標(biāo)賦分的評分量表的評價結(jié)果，能夠為優(yōu)化行為指標(biāo)或試題命制提供重要的參考依據(jù)．因此，編制評分量表也應(yīng)當(dāng)是試題命制中的重要一環(huán).

參考文獻(xiàn)：

[1］鮑建生，章建躍．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之七：模型觀念J．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（12）：3-8.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3］林祥華．初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測評與教學(xué)改進(jìn)[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2023.

[4］章建躍．高考命題嚴(yán)格“依標(biāo)”，教學(xué)該怎么辦[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2023（7/8）：129.