關(guān)鍵要素為主線的結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0037-05

單元復(fù)習(xí)的主要目的不是對單元知識進(jìn)行簡單羅列，而是在單元大概念的統(tǒng)攝下，對整個單元內(nèi)容進(jìn)行分析、重組，設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，形成新的單元知識體系．那么，什么是結(jié)構(gòu)化？體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容具有什么特點？如何通過單元復(fù)習(xí)幫助學(xué)生整合知識、形成新的結(jié)構(gòu)？下面以“圓的基本性質(zhì)”單元復(fù)習(xí)為例，談?wù)剬ι厦鎺讉€問題的一些淺見.

一、主線式結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)

1.結(jié)構(gòu)化、結(jié)構(gòu)化教學(xué)與教學(xué)主線的含義

英國社會學(xué)家吉登斯的結(jié)構(gòu)化理論包含三個核心概念，即結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)二重性．他認(rèn)為，在大多數(shù)社會研究者眼里，“結(jié)構(gòu)”被理解為社會關(guān)系或社會現(xiàn)象中的某種模式化；但在結(jié)構(gòu)主義的概念闡述中，結(jié)構(gòu)的特性是從表面現(xiàn)象推斷潛在符碼．前者強調(diào)社會關(guān)系在時空里的模式化，包含處于具體情境中的實踐再生產(chǎn)；后者則是指不斷重復(fù)體現(xiàn)在這種再生產(chǎn)中的某種結(jié)構(gòu)化方式的虛擬秩序．因此，“結(jié)構(gòu)”的兩重含義：一是模式；二是促成模式持續(xù)發(fā)展的秩序（即潛在符碼）.這兩重含義賦予結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的形式.結(jié)構(gòu)化的過程，包括把相對模糊的、零散的、不系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，經(jīng)過對概念的理解和建立要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，使之變成清晰的、完整的、系統(tǒng)化的結(jié)構(gòu)的過程.

教育教學(xué)是社會構(gòu)成的一個細(xì)分領(lǐng)域．有研究者認(rèn)為，結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指基于學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，焦點定位于課堂時空結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)化.結(jié)構(gòu)化教學(xué)的二重性：一是知識系統(tǒng)，包含大概念的理解，關(guān)鍵要素間的聯(lián)系與邏輯等；二是在教學(xué)過程中領(lǐng)悟?qū)W習(xí)知識的一般方法與思路（虛擬秩序）.其首要任務(wù)是讓學(xué)生理解概念，建立要素之間的內(nèi)在聯(lián)系；其次是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中逐步領(lǐng)悟課本知識中的一般觀念，并嘗試舉一反三，將規(guī)則遷移到各類不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)中.

教學(xué)主線，泛指教學(xué)活動中依托的主要線索或思路，其可以是課程內(nèi)容中的某個關(guān)鍵要素，也可以是某個知識的自然生長，或者是研究的一般路徑等，對教學(xué)活動起著統(tǒng)領(lǐng)、協(xié)調(diào)的作用．借助教學(xué)主線，可以將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)、取舍，從而更好地厘清數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，明晰數(shù)學(xué)方法之間的相互關(guān)聯(lián)，建立數(shù)學(xué)思想之間的層次關(guān)系．因此，依托主線進(jìn)行教學(xué)，既有利于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成，又有利于達(dá)成教材內(nèi)容的整體性與一致性；主線式結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是落實結(jié)構(gòu)化設(shè)計理念的重要途徑.

2.以關(guān)鍵要素為主線的結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)

在教學(xué)中，教師或多或少地會把單元看成一個整體，在大概念的統(tǒng)攝下進(jìn)行整體教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生形成整體觀下的單元結(jié)構(gòu)．單元復(fù)習(xí)時，如果只是對課程中的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行羅列再現(xiàn)，課堂氛圍將枯燥乏味，因此，單元復(fù)習(xí)的主要任務(wù)，不是體現(xiàn)對大概念的理解及其統(tǒng)攝性，而是建立要素之間的內(nèi)在聯(lián)系．因此，在理解概念的基礎(chǔ)上，找到各要素之間的關(guān)聯(lián)，重建以要素為主體的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，是單元復(fù)習(xí)的重點，提取單元內(nèi)部的關(guān)鍵要素，以關(guān)鍵要素為主線，可以讓要素之間的關(guān)系更加清晰，讓授課流程更加有序，更能促進(jìn)學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的生長及對大概念的深度理解，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化的思考方式.

如何設(shè)計以關(guān)鍵要素為主線的結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)呢？

第一，要找準(zhǔn)學(xué)科單元起始結(jié)構(gòu)及學(xué)生對單元內(nèi)容的初始認(rèn)知結(jié)構(gòu)，課時教學(xué)中形成的知識結(jié)構(gòu)不一定完整、清晰，但能大致包含單元內(nèi)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，是單元復(fù)習(xí)的起始結(jié)構(gòu)第二，要找準(zhǔn)單元內(nèi)容的關(guān)鍵要素，用關(guān)鍵要素作為教學(xué)主線貫穿整個課堂教學(xué)，從而有序、清晰地揭示要素間的關(guān)聯(lián)．第三，要揭示本單元內(nèi)容蘊含的基本數(shù)學(xué)思想與規(guī)律，幫助學(xué)生感悟結(jié)構(gòu)化思考的方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其設(shè)計思路如圖1所示.

二、“圓的基本性質(zhì)”結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)構(gòu)思

“圓的基本性質(zhì)”是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊的一個單元，該單元內(nèi)容在初中幾何中相對獨立，具備一定的復(fù)雜性．筆者對該單元內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)構(gòu)思如下.

1.初始結(jié)構(gòu)

從單元整體的角度來看，“圓的基本性質(zhì)”單元以圓的定義為起點，衍生了弧、弦、圓心角、圓周角等相關(guān)概念，揭示了點與圓的位置關(guān)系；從圓具有軸對稱性出發(fā)，概括了垂徑定理；從圓具有旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，歸納了圓心角定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等；從周長與面積的角度出發(fā)，得出了弧長及扇形的面積計算公式；等等．通過單元整體教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生以圓的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性為主干，以其他定理、定義、公式等為枝干，建構(gòu)單元初始結(jié)構(gòu).

2.關(guān)鍵要素

初中階段的幾何內(nèi)容中，圓區(qū)別于其他平面圖形的最大差異，是圓由曲的線構(gòu)成，其他圖形由直的線構(gòu)成，如角、三角形等．最能體現(xiàn)圓的曲線特征的要素是弧，所以圓中最關(guān)鍵、核心的要素就是弧．弧具有長度和度數(shù)的雙重屬性，與弦、圓心角、圓周角、弦心距等圓中其他要素有著千絲萬縷的聯(lián)系，如同圓或等圓中，“當(dāng)直徑平分弧時，也會平分弧所對的弦”“等弧所對的圓周角都相等”“弧的度數(shù)等于相對應(yīng)圓心角的度數(shù)”等.

因此，“圓的基本性質(zhì)”單元復(fù)習(xí)中，可以選擇以關(guān)鍵要素弧為主線，以探尋各要素之間的關(guān)聯(lián)為第一目標(biāo)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué).

三、以弧為主線的結(jié)構(gòu)化單元復(fù)習(xí)設(shè)計

1.以弧為起點，重組知識結(jié)構(gòu)

問題1：已知一段圓弧 AB 若""的長度是 3π 度數(shù)是 90^°"，你能確定""所在圓的哪些要素？

預(yù)設(shè)：圓心，半徑，圓的周長和面積，弧對應(yīng)的扇形的面積，弧所對的圓心角的度數(shù)，弧所對的圓周角的度數(shù)，對應(yīng)優(yōu)弧所對圓心角、圓周角的度數(shù)，弦AB及其弦心距的長度.

追問1：這些要素是通過什么知識確定的？

預(yù)設(shè)：過不在同一直線上的三點作圓，弧長、扇形面積公式，垂徑定理，同圓或等圓中圓心角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)，同圓或等圓中圓周角的度數(shù)是所對弧度數(shù)的一半，

追問2：如果把該弧的度數(shù)改為 180^° ，可以得到哪些新的結(jié)論？

預(yù)設(shè)：直徑所對的圓周角是 90^° ， 90^° 的圓周角所對的弦是直徑.

追問3：綜上，如果一條弧的長度和度數(shù)都確定了，你能確定圓中的哪些要素，是通過哪些知識確定的？

預(yù)設(shè)：可以確定的要素有弦、圓心角、圓周角、扇形等.通過“不在同一直線上的三點確定一個圓”垂徑定理及其推論、圓心角定理及其推論、圓周角定理及其推論等進(jìn)行確定.

【設(shè)計意圖】弧有長度和度數(shù)的雙重屬性，其長度與扇形面積、弦長、垂徑定理等知識聯(lián)系緊密，其度數(shù)與相關(guān)的圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角的度數(shù)等直接相關(guān)．兩者共同確定了弧所在圓的位置及大小，問題1以開放式提問的形式引導(dǎo)學(xué)生對與弧相關(guān)的要素及知識進(jìn)行整體回顧，梳理這些要素間的聯(lián)系；追問1引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，找到聯(lián)系弧、弦、角之間的相關(guān)定理和定義，為這些聯(lián)系提供理論依據(jù)；追問2從特殊數(shù)據(jù)得出特殊結(jié)論，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)；追問3引導(dǎo)學(xué)生從弧的長度和度數(shù)兩個方面進(jìn)行思考，將與之相關(guān)的要素進(jìn)行重組，并思考相互之間的聯(lián)系，建立以弧為核心、以定理為紐帶的單元知識結(jié)構(gòu)．在此環(huán)節(jié)，可以通過邊畫邊答的形式幫助學(xué)生建立如圖2所示的知識結(jié)構(gòu)．

過不在同一 長度直線上的三 弦位置（圓心） 點作圓 垂徑定理大小 （半徑） 弧 度數(shù) 圓心角、圓周角、圓內(nèi)弧長及扇形面積公式 圓心角定理及推論 接四邊形扇形圓周角定理及推論面積

2.以孤為核心，深挖要素間的關(guān)聯(lián)

題目1已知 CD 是 所在 ?o 的直徑，CD⊥AB ，交于點 E ，點 M ， N 在 上.

（1）如圖3，若 ，連接 AM ，BN，求證：AM=BN.

（2）如圖4，連接 BD ， ND ，求證： ∠BND=∠ABD

圖3

圖4

解：（1）如圖3，因為 CD⊥AB ，由垂徑定理，得 ．又因為 ，所以 ，由圓心角定理，得 AM=BN.

（2）如圖4，由垂徑定理，得 ．再由圓周 角定理的推論，得 ∠BND=∠ABD

問題2：證明這兩道小題的關(guān)鍵依據(jù)是什么？

預(yù)設(shè)：關(guān)鍵依據(jù)是垂徑定理、圓心角定理、圓周 角定理及其推論.

追問：定理中涉及哪些要素？關(guān)鍵要素是什么？與其他要素有怎樣的聯(lián)系？

預(yù)設(shè)：主要涉及弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距這些要素．關(guān)鍵要素是弧，弧與另外三個要素都有聯(lián)系，分別用垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理進(jìn)行聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距是圓中重要的要素．這幾個要素相互依存，聯(lián)系緊密，如弧與弦通過垂徑定理產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，圓心角和圓周角除了本身直接相關(guān)外，還和弧聯(lián)系在一起．該題改編自浙教版教材九年級上冊第93頁第6題．該題難度不大，旨在讓學(xué)生鞏固垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理，以低起點問題體會弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距之間的緊密聯(lián)系，感悟新的要素關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).

題目2對于“如圖5，已知 CD 是 所在 ?o 的直徑，連接 AC ， AB ， OB ， BD ，若 OB//AC ，求證：AB=BD ”你有幾種方法進(jìn)行證明？證明的關(guān)鍵依據(jù)分別是什么？

圖5

方法1：如圖6，連接 OA ，因為 OB//AC ，所以∠OAC=∠BOA ， ∠ACO=∠BOD. 又因為 ∠OCA=∠OAC 所以 ∠AOB=∠BOD ，由圓心角定理，得 AB=BD

此法證明的關(guān)鍵依據(jù)是“平行線 + 角平分線 + 等腰三角形”圖形結(jié)構(gòu)（以下統(tǒng)稱“雙平等腰”）和圓心角定理.

圖6

圖7

方法2：如圖7，連接 BC ，因為 OB//AC ，所以∠ACB=∠OBC. ，又因為 ∠OCB=∠OBC ，所以 ∠ACB= ∠OCB 由圓周角定理的推論得 ．再由圓心角定理，得 AB=BD

此法證明的關(guān)鍵依據(jù)同方法1.

方法3：如圖8，連接 AD ，因為 cD 是 ?o 的直徑，由圓周角定理的推論，得 ∠CAD=90^° ．又因為OB//AC ，所以 OB⊥AD ：由垂徑定理，得 .再由圓心角定理得 AB=BD

圖8

此法證明的關(guān)鍵依據(jù)是垂徑定理、圓周角定理、 圓心角定理.

方法4：如圖9，延長 BO 交 ?o 于點 E_? ，因為OB//AC ，所以 ．又因為 ∠COE=∠BOD ，所以 ，即 ．由圓心角定理，得 AB=BD

圖9

此法證明的關(guān)鍵依據(jù)是平行弦所夾的弧相等、圓 心角定理.

問題3：還可以得到哪些結(jié)論？如果已知 AB= BD ，能得到 OB//AC 嗎？根據(jù)這些解題過程，你是否對弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距之間的聯(lián)系有了更深的認(rèn)識？試將自己的想法表述出來.

【設(shè)計意圖】該題改編自浙教版教材九年級上冊第93頁第2題，綜合應(yīng)用了垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理，以及半徑相等、平行弦所夾的弧相等、雙平等腰圖形結(jié)構(gòu)等知識，將“弧等”“弦等”“圓心角等”“圓周角等”相互結(jié)合，幫助學(xué)生體會以弧為核心的各要素間的關(guān)聯(lián)．同時，幫助學(xué)生梳理了部分解決圓中有關(guān)問題的方法，如“可以通過弧相等、角相等來證明弦相等”“若已知直徑，則可以連接弦構(gòu)造直角三角形”“已知或求證弧的中點，可以連接直徑”等.因此，此環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生感受結(jié)構(gòu)化的思考方式，建立如圖10所示的要素關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).

圖10

3.以弧為突破，感受方法結(jié)構(gòu)

題目3如圖11，已知 CD ， BE 是 所在 ?o 的直徑，連接 AC ， AB ， BD ， BE//AC ，作 AF⊥CD 交 ?o 于點 F ，連接 BF 交 CD 于點 G ，連接 DF

（1）求證： ∠DBF=2∠AFB 業(yè)（2）若 AB=AF ，求證： BG=BD

圖11

證明：（1）由 AF⊥CD 及垂徑定理，得 ·又由題目2的證明可得 所以 所以 ∠DBF=2∠AFB （2）因為 AB=AF ，所以 所以 ∠DFG=36^°，∠GDF=18^°. 可得 ∠BGD=54^° ， 所以 ∠BGD=∠BDG 所以 BG=BD 問題4：該題主要考查了圓中的哪些要素？包含什么基本圖形？預(yù)設(shè)：主要考查弧和角之間的轉(zhuǎn)化，包含垂徑定理的基本圖形結(jié)構(gòu)，圓中平行弦的基本圖形結(jié)構(gòu)，雙平等腰圖形結(jié)構(gòu).師：第（2）小題中，除了需要求證的結(jié)論以外，還有很多等量關(guān)系．如果給定直徑長度，可以求解出其他線段長度，有興趣的學(xué)生可以課后討論.

【設(shè)計意圖】此題是題目1和題目2的結(jié)合，主要圖形結(jié)構(gòu)是垂徑定理和雙平等腰，需要經(jīng)過弧、弦、角的多次轉(zhuǎn)化才能得以證明．題目3的線索繁多．第（1）小題中，從結(jié)論著手分析，需要求證角之間的倍數(shù)關(guān)系，經(jīng)過要素關(guān)聯(lián)分析，學(xué)生選擇將角度問題轉(zhuǎn)化為弧度問題，從弧入手考慮，以弧為突破口，結(jié)合垂徑定理和雙平等腰這兩個圖形結(jié)構(gòu)解決問題，第（2）小題中，給定弦相等的條件，需要求證圓中其他線段相等，而其他線段的相等需要用角的相等去論證，所以解決問題的關(guān)鍵在于弦向角的轉(zhuǎn)變，而轉(zhuǎn)變的媒介就是弧．因此，此題依然是以弧為突破口，考查弧、弦、角的要素關(guān)聯(lián)，該題旨在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉以弧為主線的知識結(jié)構(gòu)與要素關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，同時體會基本圖形結(jié)構(gòu)在解決問題中的重要性，進(jìn)而形成解決問題的方法結(jié)構(gòu).

4.課堂小結(jié)，體會經(jīng)驗結(jié)構(gòu)

問題5：本節(jié)課圍繞什么關(guān)鍵要素回顧了圓的基本性質(zhì)？復(fù)習(xí)的順序是什么？你有什么獨特的體會嗎？如果復(fù)習(xí)有理數(shù)的運算，你認(rèn)為可以圍繞什么要素復(fù)習(xí)？

預(yù)設(shè)：本節(jié)課從弧出發(fā)，回顧了圓的基本性質(zhì)的相關(guān)知識，講了弧、弦、角、弦心距的關(guān)系．復(fù)習(xí)順序是先回顧知識，再總結(jié)關(guān)系，最后運用關(guān)系解決問題.有理數(shù)的運算可以圍繞含負(fù)數(shù)參與的運算展開復(fù)習(xí).

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，回顧以弧為起點的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、以弧為主線的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、以弧為突破口的方法結(jié)構(gòu)，以及一些常見的基本圖形結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體會由表及里、逐步深入的研究過程，并從中感悟、體會研究的一般路徑與方法，引導(dǎo)學(xué)生類比、遷移、應(yīng)用到其他單元復(fù)習(xí)和生活場景，期望引導(dǎo)學(xué)生感悟如圖12所示的經(jīng)驗結(jié)構(gòu).

四、結(jié)束語

單元復(fù)習(xí)教學(xué)時，如果教師能摒棄對原有知識的重復(fù)操練，改變成以“關(guān)鍵要素”為抓手、以“結(jié)構(gòu)化”為目標(biāo)的教學(xué)，課堂將會大不一樣，既會讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到填補、擴充、重組，又會讓學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得到生長．如果能將研究方式進(jìn)一步升華，幫助學(xué)生總結(jié)應(yīng)用經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，那么有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，增強其思考問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）M]：北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2」王力爭.結(jié)構(gòu)化教學(xué)模型建構(gòu)與分析[J]．當(dāng)代教育與文化，2020，12（3）：45-51.

[3」吳光潮，吳和貴，李小兵．新課程理念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計策略：以“圓周角（1）”教學(xué)為例[J]：中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（8）：33-37.

[4」王衛(wèi)東.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中教學(xué)主線的價值及設(shè)計路徑[J].教學(xué)與管理，2023（8）：48-52.