Kirchhoff型雙調和方程邊值問題徑向正解的存在性

摘要：用錐上不動點定理研究Kirchhoff型雙調和方程邊值問題

徑向正解的存在性，其中 A={x∈Rⁿ ， ， n?2 ， R-rlt;2 ， f∈C（[r，R]× [0，∞）×R） 且 M∈C[0，∞） 是非負函數(shù)．當非線性項 f 滿足適當?shù)臈l件時，證明該問題至少存在一個徑向正解.

中圖分類號：0175.8 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-0973-06

Existence of Radial Positive Solutions for Boundary Value Problems of Kirchhoff Type Biharmonic Equation

TAN Mingqiu （School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xi'an 71ol26，China）

Abstract： By using the fixed point theorem，the author study the existence of radial positive solutions for the boundary value problem of the Kirchhoff type biharmonic equation

where A={x∈Rⁿ ， ， ， ， f∈C（[r，R]×[0，∞）×R） and M∈C[0，∞） （2 are nonnegative functions. When the nonlinear term f satisfies appropriate conditions， the author proves that there is at least one radial positive solution to the problem.

Keywords： Kirchhoff type equation； positive solution; fixed point theorem； biharmonic equation

0引言

考慮Kirchhoff型的雙調和方程邊值問題

徑向正解的存在性，其中 A={x∈Rⁿ ， ， n?2 ，R-rlt;2， f∈C（[r，R]×[0，∞）×R） 且 M∈C[0，∞） 是非負函數(shù).

問題（1）中的方程與Berger板模型[1]：

密切相關，其中參數(shù) Q 描述了施加于板的平面內力．文獻[2-4]研究了與工程和物理學相關的Kirchhoff型模型及性質．當問題（1）中的 M 恒為0時，關于雙調和方程邊值問題解的存在性與多解性研究已有很多結果[5-8]．例如，F(xiàn)eng等[9]研究了問題

正解的存在性與不存在性，其中 是 Rⁿ 中具有光滑邊界的區(qū)域， λ 是參數(shù)， [0，∞）） ．注意到非線性項 f 不依賴于 ablau 當 f 依賴于 ablau 時， Ma^[10] 研究了一維情形下帶有Kirchhoff項的邊值問題

正解的存在性，其中 f∈C（[0，1]×[0，∞）×R） ， q∈C（[0，1]×（0，∞）） 且 M∈C[0，∞） 是非負函數(shù)定理 1^[10] 設存在 且 A，Bgt;0 ，使得

M（t）?m，t∈[0，d²]，

則問題（2）至少存在一個正解

注意到上述問題僅考慮了 n=1 的情形，本文考慮當 n?2 時是否也可得到類似的結果，

1預備知識

令 Φ_x=（x₁，x₂，…，x_n） ， ，則

且

從而

Δ²u=t^1-n（t^n-1（t^1-n（t^n-1u^′）^′）^′）^′，

其中 （n/2）是R”中單位球的體積.于是，問題（1）可轉化為如下徑向形式的問題：

其中

令 X：=C¹[r，R] 是在范數(shù) 下構成的Banach空間，設錐P={u∈C¹[r，R]∣u（r）=u（R）=0 ， t^n-1u^′ 非增 } ：

引理 1^[11] 令 P 是 Banach 空間 E 內的錐，并令 是 E 的開子集，且 .設 是一個全連續(xù)算子，使得

則 T 至少有一個不動點

引理2 若 u∈P ，則有

證明：令 ，則有

證畢.

2 主要結果

定理2 設存在常數(shù) ，使得

則問題（1）至少存在一個徑向正解，其中

注1當 n=1 時，定理2可退化為定理1.

令 ，則可將問題（3）簡化為如下形式的二階方程組：

令 G（t，s） 是問題 t^1-n（t^n-1u^′）^′=0 ， u（r）=u（R）=0 的Green 函數(shù)，則由文獻[12]知

其中 ．從而有

令 ，且

由 _f，M 的連續(xù)性和Arzela-Ascoli定理[13]可知算子 T 全連續(xù)，則若 u∈P 是 T 的非零不動點，可得 u 是問題（1）的徑向正解.

引理3令式（5），（6）成立，則對于 u∈P 且 ，有 Tu?0

證明：對于 u∈P ， ，需證

下面分3種情形證明.

首先設 t∈[r+?，R-?] ，則由式（4）知 ，由式（6）可得

而 ，因此

另一方面，易知Mu（t）≤md. 當 t∈[r+p，R-p] 時式（10）成立.

其次，設t∈[r，r+p].因為q=q（t）是上凸函數(shù)且q（r）=0，從而有q（t）≥g±）. 又因為 md，對于t∈[r，r+p]，可推得

另一方面， u（r）=0 ， u^'（t）?d ，可得 u（t）?d（t-r） ．因此 .故 t∈[r，r+?] 時式（10）成立.

最后，當 t∈[R-?，R] 時，式（10）同理成立．證畢.

令 u∈P ，可得

其中 ．從而易得 Tu?P

下面證明定理2.設 ，由引理3知 Tu 是非增的，且

易知 ．則有

并且有

由 及式（7）可知

令 u∈P ，設 agt;0 ，使得 ，則

由引理3知當t∈[r+p，R-ρ]時，q（t）≥md 且 ．因此

若取 -1，則有

從而可得

因此由引理1可得問題（1）至少存在一個徑向正解，定理2證畢.

定理2研究了非線性項 f 限制在同一區(qū)間上的存在性結果．當 f 在不同區(qū)間時，算子 T 的正性不能被保證．因此考慮限制 f 在不同區(qū)間，可得如下結果，

定理3設存在常數(shù) 0lt;_c12 ，使得 ，且非線性項滿足

則問題（1）至少存在一個徑向正解，其中

令- -t^1-n（t^n-1u^′）^′=w ，則可將問題（3）簡化為如下形式的問題：

設任意常數(shù) ，則

其中 G₁（t，z）=G（t，s） ， 是問題

的Green函數(shù)[14]]

令 s ： C¹[r，R]C¹[r，R] ，且

由 f 的連續(xù)性以及Arzela-Ascoli定理可知算子 S 全連續(xù)．若 u∈P 是 S 的非零不動點，則可得 u 是問題（1）的徑向正解.

下面證明定理3．設 u∈P 且 ，因為 Su 是非增的，故有

從而

由 及式（12）得

取足夠小的常數(shù) cgt;0 ，使得 u∈P 時 ．因為

從而可得

因此由引理1可得問題（1）至少存在一個徑向正解，定理3證畢

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（責任編輯：趙立芹）