四階非局部微分方程結(jié)點(diǎn)解的全局分歧

摘要：利用分歧方法，研究四階Kirchhoff型梁方程兩點(diǎn)邊值問題

結(jié)點(diǎn)解的分歧行為，其中 λ∈R 是參數(shù)， M ： 和 f ： 是光滑函數(shù)．當(dāng) M 和 f 滿足適當(dāng)條件時，獲得了其結(jié)點(diǎn)解的存在性結(jié)果.

中圖分類號：0175.8 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1005-06

Global Bifurcation of Nodal Solutions for Nonlocal Fourth-Order Differential Equation

YANG Xinzhe （School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xi'an 71ol26，China）

Abstract：By using the bifurcation method，the author study the bifurcation behavior of nodal solutions for two-point boundary value problems of fourth-order Kirchhoff type beam equation

where is a parameter， M ： and f ： are smooth functions. When M and f satisfy suitable conditions，the author obtain the existence results of their nodal solutions. Keywords： eigenvalue； Kirchhoff type beam equation； global bifurcation; nodal solution

引言與主要結(jié)果

梁是工程建筑中的基本構(gòu)件，其靜態(tài)形變是由四階微分方程刻畫的．本文考慮四階Kirchhoff 型梁方程兩點(diǎn)邊值問題

其中 λ∈R 是參數(shù)， M ： 和 f ： 是光滑函數(shù)．方程（1）與Berger板模型[1]

相關(guān)，還與一些描述梁在外力 e 和其他彈力作用下形變平衡狀態(tài)的模型[2有關(guān)

修正型d'Alembert波動方程

是一個二階非局部方程，其中參數(shù) E，ρ，h，L，P₀ 都是正數(shù)并具有實(shí)際物理意義．文獻(xiàn)[3-5]研究了與生物動力學(xué)和物理學(xué)相關(guān)的Kirchhoff型模型.

方程（1）的一個顯著特征是含有非局部項(xiàng) ，因此并不是逐點(diǎn)恒等的方程，而是一個非局部方程，給方程的可解性研究帶來困難．當(dāng)不含非局部項(xiàng)時，關(guān)于四階微分方程正解和結(jié)點(diǎn)解（即解的每個零點(diǎn)都是簡單的）的存在性研究已有一些結(jié)果[6-9]．例如， Ma^[6] 利用分歧理論研究了四階微分方程邊值問題

結(jié)點(diǎn)解的存在性，其中： β∈C[0，1] 且 β（t）lt;π² ： ?t∈[0，1] ， a∈C（[0，1]，[0，∞）） 且在[0，1]的任意子區(qū)間上不恒為0； f∈C（R，R） 且對任意 s≠0 ， f（s）sgt;0

目前對四階非局部問題解的分歧行為研究報道較少． Wang^[10] 證明了在 f 次線性增長， M（t）= a+bt 的特殊情況下四階非局部問題正解的存在性．注意正解可視為結(jié)點(diǎn)個數(shù)為0的一類特殊的結(jié)點(diǎn)解．由于當(dāng)邊界條件為簡單支撐時，四階微分方程邊值問題的正解具有凸性，但對于結(jié)點(diǎn)解沒有類似的性質(zhì)，因此給結(jié)點(diǎn)解的研究帶來了實(shí)質(zhì)性困難.

本文研究四階Kirchhoff型梁方程兩點(diǎn)邊值問題（1）結(jié)點(diǎn)解的分歧行為．由于 f 在無窮遠(yuǎn)處為次線性，導(dǎo)致全局分歧理論不能直接使用，因此本文將利用連通分支取極限的方法處理此類情形.

若 u，v 屬于 Sobolev 空間 X：=W^2，2（0，1）?W_?0^1，2（0，1） ，則其上內(nèi)積和范數(shù)分別為

令 E=W₀^1，2（0，1） ，其上的范數(shù)為

記 S_k⁺ 為 X 中滿足以下條件的函數(shù)集合：在開區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有 （k-1） 個結(jié)點(diǎn)（即非退化的零點(diǎn)），且在 t=0 附近取正.記 S_k^-=-S_k⁺ ，而 S_k=S_k⁺∪S_k^- ．在 X 中它們是互不相交的開集．令Φ_k^±=R×S_k^± ， ：

本文總假設(shè)：

（ H₁ ） f（t，0）=0 =0，?t∈（0，1），a（x）：=D_uf（t，0）gt;0， （204

（ H₃ ）存在 κgt;0 ，使得 f（t，u）≥κu ，

（ H₄ ）存在 m₀gt;0 ，使得 M（t）≥m₀ ， ?t?0 ：

（ H₅ ）存在 M_∞gt;0 ，使得 lim_t∞M（t）=M_∞

本文的主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)條件（ H₁ ），（ ΔH₂ ）和（ ΔH₄ ）成立．對每個 k∈N 和 v∈{+，-} ，考慮問題（1）從（λ_{k，M（0）}[a]，0） 處發(fā)出的 S_k^v 型解的分支

1）若條件（ Δ[H₃ ）和 （H₅ ）也滿足，則連通分支 C_k^v 連接 （∞，∞） ：

2）若 lim_t∞M（t）=∞ ，則 Proj_RC_k^v=[l，+∞） ，其中 l?λ_{k，M（0）}[a]

推論1假設(shè) （H₁），（H₂） 和（ ΔH₄ ）成立．若還滿足（ H₃ ）和（ H₅ ）或成立 lim_t∞M（t）=∞ ，則對每個k∈N 和 v∈{+，-} ，當(dāng) λgt;λ_k，M（0）[a] 時，問題（1）至少有一個 S_k^v 型結(jié)點(diǎn)解.

注1四階微分方程邊值問題與二階邊值問題有本質(zhì)區(qū)別．近年來，關(guān)于二階非局部微分方程邊值問題的正解和結(jié)點(diǎn)解的存在性和多解性研究已取得了豐富成果[1-13]．但關(guān)于四階非局部問題的研究目前報道還較少，可能是二階微分方程的解具有凸性，研究解的存在性更便利．此外，對于四階微分方程，由非共軛理論可知極大值原理成立的區(qū)間是有界的[14].

注2當(dāng) M（t） 恒為一個常數(shù)時，問題（1）即退化為一般的四階微分方程兩點(diǎn)邊值問題，因此定理1相應(yīng)推廣了文獻(xiàn)[8]中的定理3.1.

2 預(yù)備知識

定義 1^[15] 令 Y 是 Banach 空間， {C_n|n=1，2，…} 是 Y 中的一列子集，則 {C_n∣n=1，2，…} 的上極限 D 定義為

使得

定義 2^[15] 集合 M 中的最大連通子集稱為 M 的連通分支.

引理 1^[15] （204號 令 Y 是Banach空間， {C_n|n=1，2，…} 是 Y 中的一列連通子集．假設(shè)：

1）存在 z_n∈C_n（n=1，2，…） 和 z^*∈Y ，使得 ：

2） ，其中 ：

3）對每個 Rgt;0 ， （?_n=1^∞C_n）?B_R 都是 Y 中的相對緊集，其中

則存在一個無界連通分支 CO 且 z^*∈C

引理 2^[6] （204號 考慮特征值問題

其中 β∈C[0，1] 且 β（t）lt;π² ， ?t∈[0，1] ： η∈C（[0，1]，[0，∞）） 且在 [0，1] 的任意子區(qū)間上不恒為0.則：

1）問題（2）有無窮多個特征值，且

0lt;λ₁lt;λ₂lt;…lt;λ_klt;…∞，k∞;

2）每個特征值 λ_k 唯一對應(yīng)的特征函數(shù) ?_k 在（0，1）內(nèi)有 （k-1） 個簡單零點(diǎn)，且在。點(diǎn)附近為正；

3）給定 [0，1] 的任意子區(qū)間，從屬于充分大特征值的特征函數(shù)在該子區(qū)間上一定改變符號；

4）對于每個 k∈N ， λ_k 的代數(shù)重數(shù)為1.

令

由條件（ H₁ ）和 （H₂ ）計(jì)算可得

問題（1）等價于

考慮線性問題

對給定的 A∈（0，∞） ，定義線性算子 T_A ： L²（0，1）X 為

T_Ae=u.

令 T=T_A∣_X ，則算子 T ： XX 是全連續(xù)的[6]．注意到 u∈X 是方程（3）的解當(dāng)且僅當(dāng) u 是下列算子方程的解：

D_uF₁（λ，0）_w=λa（x）w，D_uF₂（λ，∞）w=0.

注3將方程（3）在 u=0 處線性化，得

由引理2可知，問題（4）的特征值 ， ．對每個 k∈N，λ_{k，M（0）}[a] 是簡單的，對應(yīng)的特征函數(shù) ?_k 在（0，1）內(nèi)恰好有 （k-1） 個簡單零點(diǎn)，且在0點(diǎn)附近為正，滿足

引理 3^[16] 假設(shè) （H₁），（H₂） 和（ H₄ ）成立，則問題（1）有一個分歧點(diǎn)為 （λ_{k，M（0）}[a]，0） ．而且在（204號 R×X 中存在兩個分離的集合 和 ，組成從 （λ_k，M（0）[a]，0） 處分歧產(chǎn)生的分支 C_k ，使得對每個 k∈N 和 v∈{+，-} 成立

Proj_RC_k^v?（0，∞）.

今

則 ，下面考慮輔助問題：

注4將方程（6）在 u=∞ 處線性化，得

由引理2可知，問題（7）的特征值 λ_k，M∞[c^[n]] 是簡單的，其對應(yīng)的特征函數(shù) ψ_k 在 （0，1） 內(nèi)恰好有（k-1） 個簡單零點(diǎn)，且在。點(diǎn)附近為正，滿足

引理4假設(shè) （H₂），（H₅） 成立，則 λ_k，M∞[c^[n]] 是問題（6）在無窮遠(yuǎn)處唯一的分歧點(diǎn)．進(jìn)一步，從（20 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞） 處發(fā)出一條問題（6）的 S_k^v 型解的分支.

證明：令 ，則問題（6）等價于方程

將方程（8）在 u=0 處線性化，得

其特征值為 λ_k，M∞[c^[n]]（k=1，2，…） ．因?yàn)榉匠蹋?）在平凡解處產(chǎn)生的分歧等價于與問題（6）在無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧，所以結(jié)論得證.

3 主要結(jié)果的證明

下面證明定理1.

1）由引理3和引理4可知，問題（6）存在從 （λ_k，M（0）[a]，0） 處分歧產(chǎn)生的無界分支 C_k^v[n] ，也是從（204號 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞）， 處產(chǎn)生的無界連通分支．若 （λ，u）∈C_k^v[n] ，則 λgt;0 ，首先證明 C_k^v[n] 連接 （λ_{k，M（0）}[a]，0） （20和 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞） ．為此只需證明當(dāng) λ 充分大時， S_k^v 型解的不存在性.

事實(shí)上，若 （λ，u） 是問題（6）的解．則

對某些 k∈N ， υ∈{+，-} ，反設(shè)存在序列 {（η_m，u_m）}?S_k^v ， ，使得

因?yàn)?/p>

所以當(dāng) Σ_m 充分大時， u_m 在（0，1）內(nèi)必變號無數(shù)次，而這與 u_m∈S_k^v 矛盾．因此證得了當(dāng) λ 充分大時，不存在 S_k^v 型解.

在引理1的條件1）中選取 z^*=（λ_{k，M（0）}[a]，0） 即可．顯然

r_n=sup{|λ|+∥y∥|（λ，y）∈C_k^v[n]}=∞

成立，則引理1中條件2）成立．由Arzela-Ascoli定理和 f^[n] 的定義即得引理1中條件3）也成立.因此， {C_k^v[n]} 的上極限 中包含一個無界連通分支 C_k^v ，且 （λ_{k，M（0）}[a]，0）∈C_k^v

下面證明 sup{λ|（λ，y）∈C_k^v}=∞ ．反設(shè)若 sup{λ∣（λ，y）∈C_k^v}lt;∞ ，則存在序列 {（μ_m，y_m）}? {C_k^v} ，使得

其中常數(shù) c₀ 與 k 無關(guān)．因?yàn)?（μ_m，y_m）∈{C_k^v} ，所以成立

令 ，則 $＼Vert { ＼textbf { ＼zeta } } _ { ＼boldsymbol { v } _ { m } } ＼Vert = 1$ ．因此選取收斂子列并重新編號，存在 （μ_?，v_?）∈ [0，c₀]×X ，且

使得

lim_m∞（μ_m，v_m）=（μ_*，v_*）.

由方程（9）和條件（ ?H₂ ）可知下式成立：

則 ?t∈[0，1] ， v_* 恒為0，與式（10）矛盾．因此sup ．故連通分支 C_k^v 從（λ_{k，M（0）}[a]，0） 發(fā)出并連接 （∞，∞） ：

2）對給定的 k∈N 和 v∈{+，-} ，問題（1）仍存在從 （λ_{k，M（0）}[a]，0） 處分歧產(chǎn)生的無界分支 C_k^v .但若 lim_t∞M（t）=∞ ，則在無窮遠(yuǎn)處是不產(chǎn)生分歧的．為此，將證明問題（1）的任意 S_k^v 型解 u 都有先驗(yàn)估計(jì).

令 （λ，u） 是問題（1）的 S_k^v 型解．在問題（1）中選取 u 為試驗(yàn)函數(shù)，可得

由條件（ H₂ ）知存在 Kgt;0 ，使得 f（t，u）?Ku ， ?u?0 ．因此

即

其中 η₁ 為以下問題的主特征值：

因?yàn)?lim_t∞M（t）=∞ ，所以存在 C_ηgt;0 ，使得 ．故由式（11）可知 是有先驗(yàn)界的.最后由于 C_k^v 是無界連通分支，故 Proj_RC_k^v=[l，+∞） ，其中 l?λ_{k，M（0）}[a] ．定理1證畢.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）