基于擾動觀測器 PMSM 分數(shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步

中圖分類號：O415.5 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1164-05

Adaptive Sliding Mode Synchronization PMSM Fractional-Order Chaotic System Based on Disturbance Observer

MAO Beixing， MENG Xiaoling， WANG Jianjun， WANG Dongxiao， JIAO Jianfeng，CHEN Car

Abstract： We used disturbance observer to study the adaptive sliding mode synchronization permanent magnet synchronous motor （PMSM） fractional-order chaotic system. We considered uncertainties and unknown external disturbances through the fractional-order disturbance observer and verified the obtained conclusion through numerical simulation. The results show that the master-slave system the PMSM chaotic system achieves sliding mode synchronization under appropriate disturbance observer， sliding mode function，controller and the adaptive law.

Keywords： permanent magnet synchronous motor system； sliding mode； chaos; disturbance

混沌在同步控制領(lǐng)域的研究已取得較多成果[1-2」．隨著計算方法的改進，分數(shù)階微積分在工程制造、自動化和網(wǎng)絡(luò)與通信等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，由于分數(shù)階系統(tǒng)可對系統(tǒng)進行更精確描述并滿足系統(tǒng)建模需要[3-4]，滑動模態(tài)控制具有良好的魯棒性和可移植性等優(yōu)點，因此對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步研究已引起人們廣泛關(guān)注．如文獻[5]將滑模方法融人Rikitake分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步，獲得了同步控制研究方案；文獻[6]研究了Sprot-D混沌分數(shù)階系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步；文獻[7-9]研究了超混沌金融分數(shù)階系統(tǒng)無抖振滑?？刂破髟O(shè)計與轉(zhuǎn)移滑模同步；文獻[1O]研究了Genesio-Tesi分數(shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步，得到系統(tǒng)同步的充分條件；文獻[11]研究了不相稱分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)有限時間自適應(yīng)滑模同步，通過設(shè)計分數(shù)階擾動觀測器對系統(tǒng)中擾動和不確定項進行估計，使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)擾動誤差收斂至零，并構(gòu)建分數(shù)階滑模面和自適應(yīng)滑?？刂破鲗崿F(xiàn)有限時間同步．永磁同步電動機（PMSM）系統(tǒng)具有體積小、運行可靠和結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，在航空、新能源和自動化等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.由于永磁電機系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)時即會喪失穩(wěn)定性和一些主要性能，使電機系統(tǒng)陷于癱瘓狀態(tài)而無法正常工作，因此需對PMSM混沌系統(tǒng)進行同步控制研究，當系統(tǒng)趨于同步時，可使系統(tǒng)正常運行，從而抑制系統(tǒng)的失穩(wěn)狀態(tài)．文獻[12]研究了PMSM系統(tǒng)的快速終端滑?？刂?，較好保證了系統(tǒng)的魯棒性；文獻[13-14]研究了PMSM系統(tǒng)的滑模及滑模跟蹤問題；文獻[15]研究了分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步；文獻[16]研究了分數(shù)階受擾動電機混沌系統(tǒng)分數(shù)階函數(shù)矩陣投影同步．基于此，本文研究分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)基于擾動觀測器的自適應(yīng)滑模同步．通過設(shè)計擾動觀測器和滑模函數(shù)及控制器，使主從系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步.

1預備知識

定義1[17] Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的主系統(tǒng)[15]為

當參數(shù) γ=25 ， σ=5.46 ， q=0，98 ， x₁（0）=1 ， x₂（0）=0.01 ， x₃（0）=-5 時，系統(tǒng)吸引子相圖如圖1所示.

設(shè)計從系統(tǒng)為

定義誤差 e_i（t）=y_i（t）-x_i（t） ， i=1，2，3 ， y=（y₁，y₂，y₃）^T ，其中 Δf（y） 為不確定項， 為未知外部擾動，總擾動 ．將式（2）與式（1）相減可得

假設(shè)1 ∣D_t^qM∣?ω ， ω 為已知的正常數(shù)，定義滑模擾動觀測器

φ（t）=D_t^q（y₂（t）-z（t）），

其中 z（t） 為輔助變量，滿足如下關(guān)系式

為 M 的估計，滿足分數(shù)階方程

引理1[17] 若 x（t） 為連續(xù)可微函數(shù)，則對 ?q∈（0，1） ，有

2^[18] kgt;0 D_t^qV（Ψ_t）?-ky₁²（Ψ_t） y₁²（t）?2V（0）E_q，1（-2kt^q） ，即 ，其中 E_α，β（Ω?Ω） 表示雙參數(shù)Mittag-Leffler 函數(shù).

引理 3^[19] 若存在常數(shù) 00 ， 0lt;ηlt;1 ，使得 D_t^qV（t）?-λV^η（t） ， V（t）∈R₊ ，則對所有t?t^* ，有 V（t）=0 業(yè)

2 主要結(jié)果

定理1若滿足假設(shè)1，根據(jù)設(shè)計的擾動觀測器（4），則總擾動誤差 將在有限時間內(nèi)收斂到零.

證明：將從系統(tǒng)（2），（5）代人擾動觀測器（4）中可得 ，設(shè)計 （t），求分數(shù)階導數(shù)可得

9根據(jù)引理3，可得

假設(shè)2 存在未知正常數(shù) k ，滿足

定理2若滿足假設(shè)1和假設(shè)2，構(gòu)造滑模函數(shù) s（t）=e₂+e₃ ，控制器

u（ 自適應(yīng)律 ，則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）取得自適應(yīng)滑模同步.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù) 2+k2（t），由引理1，求分數(shù)階導數(shù)可得

構(gòu)造函數(shù) V₂=s²/2 ，假設(shè) ，由引理2，求分數(shù)階導數(shù)可得

D_t^qV₂?sD_t^qs=s[-e₂-y₁y₃+x₁x₃+γe₃+M+u+σ（e₂-e₃）]?

根據(jù)引理3可得

當在滑模面上運動時，滿足 ，將 代人式（3）第三個方程中可得D_t^qe₃=-2σe₃?e₃0?e₂0 ，代入式（3）第一個方程中可得

D_t^qe₁=-e₁+y₂y₃-x₂x₃?e₁0.

3 數(shù)值仿真

用MATLAB進行數(shù)值仿真，設(shè)置分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)參數(shù) γ=25 ， σ=5.46 ， q=0，98 ．選取外部擾動 d（t）=1.5cost ，不確定項 Δf（y）=0 . 6sin y₂ ，其他各項參數(shù)分別為

擾動觀測器為式（4），滑模函數(shù) s（t）=e₂+e₃ ，控制器為式（7），自適應(yīng)律為

定理2的系統(tǒng)誤差曲線如圖2所示．由圖2可見，PMSM混沌系統(tǒng)在初始時表現(xiàn)出混沌特性，系統(tǒng)誤差相差較大，一段時間后系統(tǒng)的誤差曲線逐漸靠近并最終趨近于坐標原點，表明混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得了滑模同步，參數(shù) k 的觀測值 的變化曲線如圖3所示.

由圖3可見， 的變化曲線逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)．由于三階PMSM不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)無需設(shè)計3個控制器，只需1個控制器即可將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動到滑模面并沿滑模面趨近于原點，因此大幅度降低了控制器的運行成本，更易被系統(tǒng)移植和操作.

綜上，本文根據(jù)自適應(yīng)滑模同步理論研究了分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，利用分數(shù)階自適應(yīng)擾動觀測器對未知擾動和不確定項進行估計，實現(xiàn)了分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，得到了分數(shù)階PMSM混沌系統(tǒng)基于擾動觀測器滑模同步的充分條件，并利用數(shù)值仿真對結(jié)論進行了驗證.

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（責任編輯：王 ?。?/p>