環(huán)形區(qū)域上非線性項(xiàng)中含梯度項(xiàng)的 Kirchhoff方程的徑向?qū)ΨQ解

中圖分類(lèi)號(hào)：0175.8 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-5489（2025）04-1025-07

Radial Symmetric Solutions of Kirchhoff Equation of Nonlinearity with Gradient Term on Annulus

CHEN Wenjing，LI Yongxiang （College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 73007o，China）

Abstract： We discussed the existence of radial symmetric solutions of a Kirchhoff equation of nonlinearity with gradient term on an annulus in R^N（N≥2） by using the Leray-Schauder fixed point theorem. Under the nonlinearity satisfied certain conditions which allowed the nonlinearity might be superlinear growth of any order on unknown function term，and quadratic growth on the gradient term of unknown function，the existence results of radial symmetric solutions were obtained.

Keywords： Kirchhoff type elliptic equation； radial symmetric solution； existence； Leray-Schauderfixed point theorem

0引言

考慮 R^N（N?2） 中的環(huán)形區(qū)域 Ω={x∈R^N|r₁lt;|x|2} 上非線性項(xiàng)中含有未知函數(shù)與梯度項(xiàng)的Kirchhoff方程

$＼left＼{ ＼begin{array} { l l } { - ＼left（ a + b ＼right） _ { a } ＼left| ＼nabla u ＼right| ^ { 2 } ＼mathrm { d } x ＼right） ＼Delta u = f （ ＼left| x ＼right| ， u ， ＼left| ＼nabla u ＼right| ） ， } amp; { x ＼in ＼Omega ， } ＼＼ { u ＼left| _ { ＼partial ＼Omega } = 0 ＼right.} ＼end{array} $

向?qū)ΨQ解的存在性，其中 a，bgt;0 為常數(shù)， 為連續(xù)函數(shù).

Kirchhoff方程是一類(lèi)非經(jīng)典的橢圓型偏微分方程，最早由Kirchhof[1提出，用于描述弦或膜振

動(dòng)的平衡狀態(tài)，在非牛頓力學(xué)和彈性理論等數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中應(yīng)用廣泛[2-4]．這類(lèi)方程由于含有非局部項(xiàng) ，使得其解不能逐點(diǎn)驗(yàn)證，求解有一定困難．因此，研究Kirchhoff 方程解的存在性有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

近年來(lái)，關(guān)于低維『 R^N（1?N?3） 中有界區(qū)域 上非線性項(xiàng)不含未知函數(shù)梯度項(xiàng)的Kirchhoff方程

解的存在性與多重性研究備受關(guān)注[5-15]．方程（2）具有變分結(jié)構(gòu)，上述研究應(yīng)用變分方法和臨界點(diǎn)理論，在非線性項(xiàng) f（x，u） 關(guān)于 u 次臨界及臨界增長(zhǎng)的情形下獲得了其解及正解的存在性和多重性結(jié)果.最近，文獻(xiàn)[16]對(duì) Ω?R⁴ 及臨界增長(zhǎng)的情形，也應(yīng)用變分方法獲得了方程解的存在性結(jié)果．但對(duì)更高維空間的情形，由于非局部項(xiàng)導(dǎo)致的困難，尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道相關(guān)的存在性結(jié)果．而對(duì)非線性中含未知函數(shù)梯度項(xiàng)的更一般的Kirchhoff方程，由于其沒(méi)有變分結(jié)構(gòu)，通常研究方程（2）的變分方法與臨界點(diǎn)理論不再適用，目前研究報(bào)道較少.

本文不限制空間 R^N 的維數(shù)，研究 R^N 中環(huán)形區(qū)域 Ω={x∈R^N∣r₁lt;∣x∣2}（012lt;+∞） （2號(hào)上非線性項(xiàng)中含梯度項(xiàng)的Kirchhoff方程（1）徑向?qū)ΨQ解的存在性．由于方程（1）沒(méi)有變分結(jié)構(gòu)，因此本文用全連續(xù)算子的Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究該問(wèn)題．在非線性項(xiàng) f（r，ξ，η） 滿足一些易驗(yàn)證的不等式條件下，獲得了方程（1）徑向?qū)ΨQ解的存在性結(jié)果.

為敘述方便，引入常數(shù)

假設(shè)條件如下：

（ H₁ ）存在常數(shù) 0?α0 ， β?0，γgt;0 ，使得

（ H₂ ）對(duì) ?Mgt;0 ，存在連續(xù)增函數(shù) G_M ： ，滿足

使得

（ H₃ ）存在常數(shù) 0?α0 及 γgt;0 ，使得

f（r，ξ）ξ?αξ⁴+γ，（r，ξ）∈[r₁，r₂]×R.

假設(shè)條件（ ?H₁ ）是一個(gè)單邊增長(zhǎng)條件，其限制 f（r，ξ，η） 在正向關(guān)于 ξ 至多3次增長(zhǎng)，而不限制負(fù)向的增長(zhǎng)，例如

滿足條件（ ?H₁ ），在負(fù)向的可 （2n+1） 次增長(zhǎng)，其中 n∈N ．條件（ ?H₂ ）是 f（r，ξ，η） 關(guān)于 η 的 Nagumo 型增長(zhǎng)條件，其限制 f（r，ξ，η） 關(guān)于 η 的至多2次增長(zhǎng)．其中， G_M 可由下式確定：

ρ≥0.按式（7），易驗(yàn)證式（6）定義的 f（r，ξ，η） 也滿足條件（ ）．因此，不等式條件 ?H₁ ）和（ H₂ ）易驗(yàn)證.

1預(yù)備知識(shí)

若 u=u（∣x∣） 為方程（1）的徑向?qū)ΨQ解，令 ，則

為計(jì)算方程中的 ，做球坐標(biāo)變換：

其中 r∈[r₁，r₂]，0?θ₁，θ₂，…，θ_N-2?π ， 0?θ_N-1?2π ，其Jacobi行列式

因此，

取常數(shù)

則由方程（1）， u（r） 滿足常微分方程

將方程（9）兩邊同乘 r^N-1 ，則其化為擬線性常微分方程的邊值問(wèn)題（BVP）：

反之，若 u（r） 為BVP（10）的解，則由上述計(jì)算知， u（∣x∣ ）為方程（1）的徑向?qū)ΨQ解．下面通過(guò)討論BVP（10），獲得Kirchhoff方程（1）的徑向?qū)ΨQ解.

記 I=[r₁，r₂] ， R⁺=[0，+∞） ： C（I） 表示 I 上全體連續(xù)函數(shù)按最大模范數(shù) 構(gòu)成的Banach空間．對(duì) n∈N ， Cⁿ（I） 表示 I 上全體 n 階連續(xù)可微函數(shù)按范數(shù) 構(gòu)成的Banach空間．在 C（I） 中，仍使用 范數(shù) ，

設(shè) h∈C（I） ．考慮線性常微分方程邊值問(wèn)題（LBVP）：

引理 1^[17] 對(duì) ?h∈C（I） ，LBVP（11）存在唯一解 u：=Sh∈C²（I） ，且解算子 s ： C（I）C¹（I） 為線性全連續(xù)算子.

引理2對(duì) ?h∈C（I） ，LBVP（11）的解 u=Sh 滿足估計(jì)：

證明：對(duì) ?h∈C²（I） ，設(shè) u=Sh∈C²（I） 為L(zhǎng)BVP（11）的解．則由方程（11）中的邊界條件 及Holder不等式，有

因此式（12）成立．證畢.

引理3（全連續(xù)算子的Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理）[18]設(shè) E 為 Banach 空間， A ： 為全連續(xù)映射．若方程簇

u=λAu，0lt;λ?1

的解集在 E 中有界，則 A 至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

設(shè) f 連續(xù)，考慮BVP（10）．定義映射 F ： C¹（I）C（I） 為

則由 的連續(xù)性知， F \"：C¹（I）C（I） 連續(xù)，且把 C¹（I） 中的有界集映為 C（I） 的有界集．定義 s 與 F 的復(fù)合映射 A 為

A=S°F.

由 的全連續(xù)性知， 全連續(xù)．由 S 和 F 的定義知， 不動(dòng)點(diǎn)為BVP（10）的解．本文將對(duì) A 應(yīng)用引理3證明BVP（1O）有解.

為對(duì) A 在 E=C¹（I） 中應(yīng)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，對(duì)BVP（1O）建立如下結(jié)果：

引理4設(shè) f ： 連續(xù)，滿足條件（ ）．則對(duì) ?Mgt;0 ，存在僅與 M 有關(guān)的常數(shù)M₁=M₁（M）gt;0 ，使得當(dāng)BVP（1O）的解 u 滿足 時(shí)，有 ：

證明：對(duì) ?Mgt;0 ，由（ H₂ ）可知，存在滿足條件（4）的連續(xù)增函數(shù) G_M ： ．按條件（4），存在常數(shù) M₁=M₁（M）gt;0 ，使得

設(shè) u∈C²（I） 為BVP（10）的一個(gè)解，滿足 ，下證

由BVP（10）邊界值條件， u（r₁）=u（r₂）=0 ．因此由Rolle中值定理知，三 ，使得u^′（s₀）=0 .反設(shè) 不成立，則 ?s₁∈I ，使得 ．顯然， s₁≠s₀ ： s₀ 與 s₁ 的大小關(guān)系及 u^′（s₁） 符號(hào)，有以下4種情形：

1） s₁0 ， u^′（s₁）gt;M₁ ：

2） s₁gt;s₀ ， u^′（s₁）gt;M₁ ：

3） s₁0 ， u^′（s₁）lt;-M₁ ：

4） _s1gt;s0 ， u^′（s₁）gt;-M₁ ：

本文僅考慮情形1），其他3種情形類(lèi)似．令

則由 u^'（r） 的連續(xù)性及上下確界的性質(zhì)知， ，且

當(dāng) 時(shí)，由方程（10）及式（16），有

因此有

將式（17）在 上積分，并進(jìn)行變量替換

因?yàn)? N-1M，故由式（18），有

式（19）與式（15）矛盾，因此 ．證畢.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè) f 連續(xù)，滿足條件 （H₁），（H₂） ，則Kirchhoff方程（1）至少有一個(gè)徑向?qū)ΨQ解.

證明：設(shè) A ： C¹（I）C¹（I） 為式（14）定義的全連續(xù)算子，下面對(duì) A 應(yīng)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn) 定理證明其有不動(dòng)點(diǎn)，為此，考察方程簇

u=λAu，0lt;λlt;1，

證明方程簇（20）的解集在 C¹（I） 中有界.

設(shè) u 為方程簇（20）中某個(gè)參數(shù) λ∈（0，1） 對(duì)應(yīng)方程的解，則 u=λAu=S（λF（u）） .由 s 的定義知， u 為 h=λF（u）∈C（I） 對(duì)應(yīng)的線性方程LBVP（11）的解，因此 u∈C²（I） 滿足方程

將方程（21）兩邊同乘以 u（r） ，并在 I 上積分，右端應(yīng)用條件（ ）和式（12），有

對(duì)式（22）左端應(yīng)用分部積分公式，得

從而得

因?yàn)?0?α0 ，由式（3），（8），有

因此，有

取正常數(shù)

對(duì)式（23）右端第二項(xiàng) ，取 應(yīng)用平方不等式 2pq?p²+q² ，得

由不等式（23），有

從而有

對(duì) ?r∈I ，由式（27）及Holder不等式，有

因此，

對(duì)方程（21），因?yàn)? ，故其非線性項(xiàng)滿足與 λ 無(wú)關(guān)的Nagumo型條件（ H₂ ）．因此，由引理4及式（28）知，存在僅與 M 有關(guān)的常數(shù) M₁gt;0 ，使得 ．從而

即方程簇（20）的解集在 C¹（I） 中有界．由Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知， A 在 C¹（I） 中有不動(dòng)點(diǎn) u₀ ，該不動(dòng)點(diǎn)為BVP（10）的解．從而 u₀（Ω|x|Ω ）為Kirchhoff方程（1）的徑向?qū)ΨQ解．證畢.

此時(shí)，由式（6）， G_M（ρ） 恒為正常數(shù)，故條件（ ?H₂ ）自然成立．因此由定理1，有：

定理2設(shè) f ： 連續(xù)，滿足條件（ H₃ ），則Kirchhoff方程（3O）至少有一個(gè)徑向?qū)ΨQ解.

由于條件（ ?H₃ ）允許 f（r，ξ） 關(guān)于 ξ 在負(fù)向任意次增長(zhǎng)，又因?yàn)閰^(qū)域 所在的空間 R^N 可以是任意維的，因此定理2的存在性結(jié)果不能從文獻(xiàn)[5-16」中獲得，是一個(gè)新的存在性結(jié)果.

例1考慮 R⁵ 中環(huán)形區(qū)域 Ω={x∈R⁵∣1lt;∣x∣lt;2} 上的Kirchhoff 型橢圓邊值問(wèn)題：

對(duì)應(yīng)于方程（1），相應(yīng)的非線性項(xiàng)為

而式（3）確定的常數(shù)

對(duì) ?（r，ξ，η）∈[1，2]×R×R⁺ ，由式（32）有

為 α=9∠b₀ ，故由式（33）知， f（r，ξ，η） 滿足條件（ H₁ ），其中相應(yīng)的 β=0，γ=16.

對(duì) ?Mgt;0 ，當(dāng) |ξ|?M 時(shí)，由式（32）有

其中 M₀=8M³+5M⁷+8gt;0 取 G_M（η）=3Mη²+M₀ ，則其在 R⁺ 上單調(diào)遞增，滿足條件（4）．由式（34）知， f（r，ξ，η） 滿足條件（ H₂ ）．因此，由定理1知，方程（31）有徑向?qū)ΨQ解.

參考文獻(xiàn)

[1］KIRCHHOFFG. Mechanik [M]. Leipzig：Teubner，1883：1-32.

[2]LIONSJL. On Some Questions in Boundary Value Problems of Mathematical Physics [J].North-Holland Mathematics Studies，1978，30：284-346.

[3]AROSIO A，PANIZZI S. On the Well-Posedness of the Kirchhoff String [J]. Transactions of the American Mathematical Society，1996，348（1）：305-330.

[4]CHIPOT M，LOVAT B. Some Remarks on Nonlocal Eliptic and Parabolic Problems [J].Nonlinear Analysis： Theory，Methods amp; Applications，1997，30（7）：4619-4627.

[5]ALVES C O，CORREA FJ S A，F(xiàn)IGUEiREDO G M. On a Class of Nonlocal Eliptic Problems with Critical Growth [J]. Differential Equations ＆ Applications，201o，2（3）：409-417.

[6]CHENC Y，KUO YC，WU TF. The Nehari Manifold for a Kirchhof Type Problem Involving Sign-Changing Weight Functions [J]. Journal of Differential Equations，201l，250（4）：1876-1908.

[7]FIGUEIREDO G M，SANTOS JR，Jr.Multiplicity of Solutions for a Kirchhof Equation with Subcritical or Critical Growth [J]. Differential Intgral Equations，2012，25（9/10）： 853-868.

[8]FIGUEIREDO G M.Existence of a Positive Solution for a Kirchhoff Problem Type with Critical Growth via Truncation Argument [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，4O1（2）：706-713.

[9]NAIMEN D. Positive Solutions of Kirchhoff Type Elliptic Equations Involving a Critical Sobolev Exponent[J]. Nonlinear Differential Equations and Applications，2014，21（6） ： 885-914.

[10]LIANG Z P，LI F Y，SHI JP. Positive Solutions to Kirchhoff Type Equations with Nonlinearity Having Prescribed Asymptotic Behavior[J]. Annales de I'Institut Henri Poincaré C Analyse Non Lineaire，2Ol4，31（1）： 155-167.

[11]ZHONG X J，TANG C L. Multiple Positive Solutions to a Kirchhoff Type Problem Involving a Critical Nonlinearity in R³ [J].Advanced Nonlinear Studies，2017，17（4）： 661-676.

[12]ZENG L，TANG CL. Existence of a Positive Ground State Solution for a Kirchhoff Type Problem Involving a Critical Exponent [J]. Annales Polonici Mathematici，2016，117（2）：163-180.

[13]DUAN Y，SUN X，LIAO JF. Multiplicity of Positive Solutions fora Class of Critical Sobolev Exponent Problems Involving Kirchhof-Type Nonlocal Term [J]. Computers and Mathematics with Applications，2018，75（12）： 4427-4437.

[14]XIE W H，CHEN H B. Infinitely Many Bound State Solutions for Kirchhoff Type Problems [J].Applied Mathematics Letters，2019，93：1-7.

[15]ZHU X X，F(xiàn)AN H N. The Sign-Changing Solutions for a Classof Kirchhof-Type Problems with Critical Sobolev Exponents in Bounded Domains [J]. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik，2024，75（5）：162-1- 162-29.

[16]LI Q，HAN Y Z，GUOB.A Critical Kirchhoff Problem with a Logarithmic Type Perturbationin High Dimension [J]. Communications in Analysis and Mechanics，2024，16（3） ： 578-598.

[17]LI Y X.Positive Radial Solutions for Eliptic Equations with Nonlinear Gradient Terms in an Annulus [J]. Complex Variables and Elliptic Equations，2018，63（2）：171-187.

[18］郭大鈞．非線性泛函分析［M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985：1-427．（GUO D J．Nonlinear Functional Analysis [M]. Jinan： Shandong Technology and Technology Press，1985：1-427.）

（責(zé)任編輯：趙立芹）