指向邏輯推理能力培養(yǎng)的分式方程變式訓(xùn)練

在新課標(biāo)背景下，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。分式方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，教師可結(jié)合分式方程知識(shí)的特點(diǎn)，構(gòu)建“以思導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式，并探究如何通過(guò)結(jié)構(gòu)性、層次性、啟發(fā)性的變式訓(xùn)練，有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

一、邏輯推理能力培養(yǎng)與分式方程教學(xué)的關(guān)聯(lián)

在新課標(biāo)背景下，教師要讓學(xué)生在真實(shí)問(wèn)題情境中提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性和連貫性。在分式方程學(xué)習(xí)中，學(xué)生在面對(duì)分母含有未知數(shù)的方程時(shí)，需要通過(guò)邏輯分析區(qū)分其與整式方程的本質(zhì)差異。在解方程的過(guò)程中，學(xué)生在去分母時(shí)需要有效運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，并運(yùn)用逆向思維分析轉(zhuǎn)換過(guò)程的邏輯正確性。正向運(yùn)算和逆向驗(yàn)證有機(jī)結(jié)合的思維訓(xùn)練符合數(shù)學(xué)證明的基本要求，能讓學(xué)生在解方程過(guò)程中自然形成因果推理的思維習(xí)慣。

分式方程課程中的邏輯推理要素具有多種特征。第一，在概念理解層面，邏輯推理的分析性較為明顯。學(xué)生需要通過(guò)對(duì)比分析建立概念網(wǎng)絡(luò)，了解分式方程與分式、整式方程的外延差異，理解分式方程的內(nèi)涵。在對(duì)比分析中，學(xué)生需要運(yùn)用歸納推理的方法提煉數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，并通過(guò)演繹推理的方法明確概念間的邏輯關(guān)系。第二，在解法探究層面，邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性較為明顯。分式方程的知識(shí)與其他知識(shí)存在密切的聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)本課知識(shí)時(shí)，需要結(jié)合多個(gè)方面的內(nèi)容，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。第三，在?yīng)用建模層面，邏輯推理的系統(tǒng)性較為明顯。學(xué)生需要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，并在假設(shè)驗(yàn)證的過(guò)程中，先通過(guò)合情推理分析變量間的關(guān)系，再通過(guò)演繹推理構(gòu)建方程模型，最后通過(guò)邏輯檢驗(yàn)確認(rèn)模型的適切性。這種完整的問(wèn)題解決過(guò)程，能使學(xué)生將數(shù)學(xué)建模思維與邏輯推理要素緊密聯(lián)系起來(lái)[1]

二、開(kāi)展分式方程變式訓(xùn)練的基本原則

（一）以結(jié)構(gòu)性變式夯實(shí)認(rèn)知基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)性變式設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)在維持?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)屬性的前提下，對(duì)非本質(zhì)特征進(jìn)行多維度的調(diào)整。在分式方程知識(shí)教學(xué)中，這種變式設(shè)計(jì)具體表現(xiàn)為系數(shù)符號(hào)的交替設(shè)置、分母結(jié)構(gòu)的組合變化、未知數(shù)位置的策略性調(diào)整等。例如，教師可將原來(lái)的單項(xiàng)式分母改為多項(xiàng)式分母，以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同代數(shù)結(jié)構(gòu)下通分的共性規(guī)律。這類變式訓(xùn)練能夠讓學(xué)生突破思維的限制，結(jié)合表面特征的動(dòng)態(tài)變化建立穩(wěn)定的概念圖式，培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力[2]。

（二）以層次性遞進(jìn)搭建思維階梯

在開(kāi)展分式方程變式訓(xùn)練時(shí)，教師要遵循層次性遞進(jìn)原則，構(gòu)建難度合理的問(wèn)題鏈。這種遞進(jìn)性體現(xiàn)在知識(shí)載體的復(fù)雜性、思維操作的抽象性、問(wèn)題情境的真實(shí)性三個(gè)方面。在初級(jí)階段，教師可設(shè)計(jì)純數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)變式題，聚焦分式方程的標(biāo)準(zhǔn)解法，通過(guò)逐步增加方程項(xiàng)數(shù)和提升分母復(fù)雜度，幫助學(xué)生掌握解題的基本過(guò)程。在中級(jí)階段，教師應(yīng)設(shè)計(jì)半結(jié)構(gòu)化應(yīng)用題，引入現(xiàn)實(shí)情景與數(shù)學(xué)模型。例如，教師可設(shè)計(jì)需要篩選有效解的工程問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問(wèn)題現(xiàn)實(shí)化的雙向思維過(guò)程。在高級(jí)階段，教師要整合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)綜合變式問(wèn)題。比如，教師可將分式方程與函數(shù)圖像、不等式組等知識(shí)相結(jié)合，設(shè)計(jì)需要進(jìn)行多步推理的復(fù)合型問(wèn)題。教師遵循層次性遞進(jìn)原則，設(shè)計(jì)難度螺旋上升的變式題目，能有效激發(fā)學(xué)生的探究動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

（三）以啟發(fā)性引導(dǎo)激發(fā)推理興趣

在分式方程知識(shí)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生具備一定的解題經(jīng)驗(yàn)后，教師要遵循啟發(fā)性引導(dǎo)原則，設(shè)計(jì)啟發(fā)性變式問(wèn)題，以此幫助學(xué)生突破思維瓶頸，激發(fā)學(xué)生的推理興趣。啟發(fā)性變式問(wèn)題能幫助學(xué)生突破程式化訓(xùn)練的限制，讓學(xué)生進(jìn)行自我反思：為何要選擇這種解題策略？增根產(chǎn)生的本質(zhì)是什么？不同解法之間存在怎樣的關(guān)系？在這樣的反思性實(shí)踐中，學(xué)生能充分掌握分式方程的解法，形成基于邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)思維方式[3]

三、分式方程變式訓(xùn)練開(kāi)展策略

（一）設(shè)計(jì)方程結(jié)構(gòu)變式，夯實(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)知基礎(chǔ)

在分式方程知識(shí)教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)方程結(jié)構(gòu)變式能有效培養(yǎng)學(xué)生的分類推理能力，加深學(xué)生對(duì)分式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的過(guò)程中，教師要設(shè)計(jì)多樣的分式方程，讓學(xué)生歸納解法的共性，培養(yǎng)分類討論意識(shí)。

1.多樣的方程設(shè)計(jì)

在開(kāi)展分式方程變式訓(xùn)練活動(dòng)時(shí)，教師要精心設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不同的分式方程，如 ， 等，以此讓學(xué)生了解方程結(jié)構(gòu)的多樣性。

2.歸納解法的共性

在學(xué)生解結(jié)構(gòu)不同的方程的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察并深入分析不同方程在解法上的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從而讓學(xué)生自主歸納出通用的解法。例如，在學(xué)生解 這三個(gè)方程時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，讓其明白雖然這三個(gè)方程結(jié)構(gòu)不同，但在求解時(shí)，我們都可通過(guò)“去分母”將其轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)求解。

3.培養(yǎng)分類討論意識(shí)

為了培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)，提升學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)不同的方程進(jìn)行分析，使學(xué)生養(yǎng)成依據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分類討論的習(xí)慣。例如，在學(xué)生完成上述案例的求解后，

教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全面、深入的總結(jié)與分析，讓學(xué)生明白 個(gè)方程的求解過(guò)程的差異，學(xué)會(huì)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來(lái)選擇不同的求解方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)。

（二）探索多樣解法，提升推理能力

在夯實(shí)學(xué)生結(jié)構(gòu)認(rèn)知基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索多樣的解法，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。例如，在解 x+3+x+1=4這一變式方程時(shí)，我們既可采用直接通分求解的常規(guī)方法，也可通過(guò)設(shè)輔助未知數(shù)的方法（如設(shè) ）對(duì)原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出方程的解。前者體現(xiàn)了代數(shù)運(yùn)算的規(guī)范性，后者則展現(xiàn)了換元策略的靈活性。在對(duì)比分析兩種解法的邏輯鏈條后，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)，直接通分求解的方法適用于項(xiàng)數(shù)較少的情況，而設(shè)輔助未知數(shù)的方法則更適用于項(xiàng)數(shù)較多的分式方程。這樣的教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)方程特征選擇最優(yōu)解法的能力，提升學(xué)生的邏輯推理能力[4]

（三）問(wèn)題變式設(shè)計(jì)，培養(yǎng)建模能力

在開(kāi)展分式方程變式訓(xùn)練時(shí)，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)基于真實(shí)問(wèn)題情境的變式問(wèn)題，以此培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。以工程效率問(wèn)題的講解為例，教師可從實(shí)際施工場(chǎng)景切入，設(shè)計(jì)生活化問(wèn)題：某市有兩條受損路需要修復(fù)，分別由甲、乙兩個(gè)修路速度不同的施工隊(duì)完成。如何結(jié)合分式方程量化分析修路速度差異對(duì)工期的影響？通過(guò)引入這樣的生活化問(wèn)題，教師能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的探究動(dòng)力。在此基礎(chǔ)上，教師可展示原題：甲隊(duì)單獨(dú)修400米所用時(shí)間是乙隊(duì)修600米所用時(shí)間的1.5倍，且甲隊(duì)每天比乙隊(duì)少修10米，求兩隊(duì)的修路速度。在解決此問(wèn)題時(shí)，我們要先根據(jù)明確的條件關(guān)系寫(xiě)出分式方程，如設(shè)乙隊(duì)修路速度為 x 米/天，則甲隊(duì)修路速度為 （x-10） 米／天，進(jìn)而根據(jù)時(shí)間關(guān)系可得方程： ，在解題過(guò)程中，教師要讓學(xué)生從題目中提取數(shù)學(xué)要素，經(jīng)歷“問(wèn)題 $$ 符號(hào) $$ 方程”的建模過(guò)程。在開(kāi)展相應(yīng)的變式教學(xué)時(shí)，教師可將原題調(diào)整為逆向結(jié)構(gòu)的問(wèn)題：已知甲隊(duì)修路速度提升 20% 后，完成400米所需時(shí)間比乙隊(duì)原本修600米所需時(shí)間少2天，且甲隊(duì)原本每天比乙隊(duì)少修10米，求兩隊(duì)原來(lái)的修路速度。此變式問(wèn)題對(duì)相應(yīng)的條件進(jìn)行了重構(gòu)，能促使學(xué)生重新梳理變量之間的邏輯關(guān)系。具體解題思路如下：設(shè)乙隊(duì)原修路速度為 x 米／天，則甲隊(duì)原修路速度為 （x-10） 米/天。根據(jù)問(wèn)題條件可得，甲隊(duì)修路速度提升后為 1.2（x-10） 米／天，此時(shí)甲隊(duì)修400米所需時(shí)間比乙隊(duì)修600米的時(shí)間少2天，由此可建立方程。這樣的逆向結(jié)構(gòu)問(wèn)題能培養(yǎng)學(xué)生由結(jié)果反推條件的能力。之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比原題與變式問(wèn)題中修路速度變化的呈現(xiàn)方式，并讓學(xué)生通過(guò)試值法檢驗(yàn)解的合理性，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)敏感性。在此基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)行變式拓展教學(xué)，引入“多隊(duì)協(xié)作”“資源限制”等復(fù)雜場(chǎng)景，以此推動(dòng)學(xué)生建模能力的發(fā)展。

（四）借助錯(cuò)例辨析，促進(jìn)邏輯推理

在分式方程教學(xué)中，教師運(yùn)用錯(cuò)例辨析策略能從批判的維度培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。例如，對(duì)于學(xué)生在解方程 時(shí)普遍忽略檢驗(yàn)增根的問(wèn)題，教師可呈現(xiàn)典型錯(cuò)誤解法，引導(dǎo)學(xué)生分析解題步驟。

對(duì)于=1 這一方程，學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法（21如下：先兩邊同時(shí)乘以 （x-3） ，得到 ，然后對(duì)式子進(jìn)行去括號(hào)運(yùn)算，最終得到 x=-1 。在這個(gè)解題過(guò)程中，學(xué)生采用交叉相乘的方式求解，表面上看符合解方程的方法，但忽略了分式方程中分母不能為0這一重要條件，這是學(xué)生在解分式方程時(shí)常犯的錯(cuò)誤。深入分析學(xué)生的整個(gè)解題過(guò)程我們能發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在一開(kāi)始面對(duì)原方程時(shí)，并沒(méi)有對(duì)分母進(jìn)行分析，而是直接進(jìn)行交叉相乘等運(yùn)算，這樣很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考相關(guān)問(wèn)題，讓學(xué)生了解在去分母之前應(yīng)分析分母不能為0這一條件。在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生便能充分意識(shí)到自己存在的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，教師需要找到學(xué)生的邏輯斷裂點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生代入解進(jìn)行檢驗(yàn)，分析結(jié)果是否都是正確的。

在檢驗(yàn)中我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)增根，對(duì)此，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：為何教材強(qiáng)調(diào)必須檢驗(yàn)？教師可對(duì)原題進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計(jì)變式問(wèn)題，讓學(xué)生解方程x-2=x+2+x-2。學(xué)生在解答時(shí)，可先兩邊同時(shí)乘以 （x+2）（x-2） ，得到 x+2=3（x-2）+2x（x+2） ，然后展開(kāi)整理后得到 x²+3x-4=0 ，最終求得 _x=1 或者 x=-4 。此時(shí)，部分學(xué)生沒(méi)有對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，就直接給出答案。

針對(duì)這一問(wèn)題，教師可要求學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)分析。通過(guò)檢驗(yàn)分析我們能發(fā)現(xiàn)，當(dāng) _x=1 時(shí)，原方程分母x^-2=-1≠0. ， x+2=3≠0 ，且將結(jié)果代入原方程后，方程式成立； x=-4 時(shí)，原方程分母 x-2=-6≠0 ， x+2= -2≠0 ，且將結(jié)果代入原方程后，方程式也成立。此時(shí)，學(xué)生則會(huì)提出困惑：為何兩次檢驗(yàn)均未出現(xiàn)增根？檢驗(yàn)是否多余？

基于此，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的邏輯分析，讓學(xué)生明白去分母的操作可能會(huì)擴(kuò)大解集，引入使

公分母為零的根，如果我們不進(jìn)行檢驗(yàn)，就可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。那何時(shí)才會(huì)產(chǎn)生增根呢？對(duì)此，教師可給出相應(yīng)的例子（如方程 ，讓學(xué)生明1

白當(dāng)去分母后所得整式方程的解恰好使某個(gè)分母為零時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)增根。

教師要讓學(xué)生明白檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解去分母操作是在“假設(shè)分母不為零”的前提下進(jìn)行的。這一假設(shè)可能會(huì)使分式方程在去分母后出現(xiàn)定義域擴(kuò)大的情況。為此，我們需要對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以此排除通過(guò)去分母操作得到的整式方程中不屬于原方程定義域的解，確保兩者的解集是相同的。這樣的教學(xué)能使學(xué)生意識(shí)到檢驗(yàn)并非機(jī)械的流程，而是必要的驗(yàn)證過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。

教師要通過(guò)錯(cuò)誤重現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到檢驗(yàn)步驟的必要性，讓學(xué)生接受系統(tǒng)的錯(cuò)例變式訓(xùn)練，同時(shí)在講解檢驗(yàn)步驟的過(guò)程中讓學(xué)生明確去分母操作可能會(huì)引入非原方程的解，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思能力[5]

結(jié)語(yǔ)

總而言之，教師通過(guò)開(kāi)展分式方程變式訓(xùn)練，能有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在分式方程知識(shí)教學(xué)中，教師可通過(guò)方程結(jié)構(gòu)辨析、方程解法分析、建模優(yōu)化及錯(cuò)例反思等策略，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)問(wèn)題解決過(guò)程中發(fā)展分類討論思維、因果推理思維與批判性思維。

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