剖析全等三角形證明題常見的解題誤區(qū)

數(shù)學(xué)習(xí)題是驗(yàn)證學(xué)生知識(shí)掌握情況的關(guān)鍵途徑，若學(xué)生知識(shí)掌握不扎實(shí)、應(yīng)用能力與邏輯思維能力較差，則極易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.所以在初中全等三角形相關(guān)習(xí)題糾錯(cuò)教學(xué)中，先分析學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的原因、借助課堂教學(xué)指導(dǎo)以回應(yīng)學(xué)生解題錯(cuò)誤這一教學(xué)問題，然后通過精選典型、常見的解題錯(cuò)誤積極開展指導(dǎo)性的習(xí)題糾錯(cuò)教學(xué)，從而使學(xué)生通過學(xué)習(xí)，內(nèi)化全等三角形相關(guān)知識(shí).

1歸總題型

在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)的過程中涉及證明類問題，需要學(xué)生基于所掌握的圖形研究經(jīng)驗(yàn)、全等三角形基礎(chǔ)知識(shí)推理和演繹兩個(gè)三角形全等，若解題錯(cuò)誤則說明學(xué)生對(duì)全等三角形的知識(shí)掌握不理想.所以，在全等三角形證明題解題教學(xué)中，筆者通過歸總常見題型，以此實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)內(nèi)容的精選，為學(xué)生日后學(xué)習(xí)幾何知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ).全等三角形證明題常見題型歸總?cè)鐖D1所示.

由圖1所示，全等三角形證明題常見題型共分為六類，在六類題型中學(xué)生均有可能存在解題錯(cuò)誤，所以我們可以將圖1作為基礎(chǔ)框架精選每一類題型的常見解題錯(cuò)誤，作為全等三角形證明題解題教學(xué)內(nèi)容.

2精選習(xí)題

在精選習(xí)題的過程中，需要基于學(xué)生的日常檢測、課后作業(yè)完成情況，記錄班內(nèi)學(xué)生在某一題型解答中存在的錯(cuò)誤，并探究學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因，而后將某一題型的習(xí)題精選為課程教學(xué)內(nèi)容.

例1如圖 2，BD 與 CE 交于點(diǎn)O ，且 AE=AD ，若添加一個(gè)條件仍不能使 ΔABD?ΔACE 的是（ ）.

圖2

本題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定方法的掌握情況，在選擇添加條件的過程中學(xué)生極易受AAA與SSA兩種條件的誤導(dǎo)，致使出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.而本題解題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能夠基于題目所給出的已知條件正確選擇全等三角形的判定方法，依次證明各個(gè)選項(xiàng)的添加是否能夠推出 ΔABD?ΔACE 結(jié)合題目所給條件，若使 ΔABD?ΔACE ，那么由圖可知ΔABD 中的 ∠A 與 ΔACE 中的 ∠A 相等，且 AE= AD ，即兩個(gè)三角形的一組邊對(duì)應(yīng)相等、一組角對(duì)應(yīng)相等，目前仍缺少邊或角對(duì)應(yīng)相等的條件，由此可引導(dǎo)學(xué)生逐步證明：

師：我們已知了哪兩個(gè)條件？

生： ∠A=∠A . AE=AD

師：現(xiàn)在要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一證明.先考慮選項(xiàng)A，添加的條件為 BE=CD ，那么基于這一條件可以知道什么？

生： AB=AC

師：我們依據(jù)哪一個(gè)全等判定方法可以證明ΔABD?ΔACE

生：SAS.

師：再來看選項(xiàng)B，該選項(xiàng)添加條件為 CE=BD ，此時(shí)△ABD和 ΔACE 具備的條件是SSA，是否能證明 ΔABD?ΔACE ？

生：不能.

師：再看選項(xiàng)C，該選項(xiàng)添加條件為 ∠1=∠2 ，基于這一條件可以推出哪些條件？

生：結(jié)合 ∠EOB=∠DOC ，可得 ∠ABD=∠ACE

師：此時(shí)可以根據(jù)哪一個(gè)全等判定方法去證明ΔABE?ΔACD： 0

生：ASA.

師：最后再看選項(xiàng)D，添加條件為 ∠ABC= ∠ACB ，基于這一條件可以得知什么？

生： AB=AC

師：此時(shí)可以根據(jù)哪一個(gè)全等判定方法去證明ΔABE?ΔACD^* 2

生：SAS.

至此可確定本題正確答案為選項(xiàng)B.

3變式訓(xùn)練

對(duì)于全等三角形證明題常見的解題錯(cuò)誤，筆者在糾錯(cuò)教學(xué)中還整合了不同題型開展變式訓(xùn)練，以規(guī)避單一例題糾錯(cuò)教學(xué)對(duì)學(xué)生邏輯思維的限固，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)觸類旁通.教學(xué)實(shí)踐中筆者曾取“平移”共同點(diǎn)，設(shè)計(jì)了變式訓(xùn)練.

例2如圖 3（1），A，B，C，D 四點(diǎn)均位于同一直線上且 AB=CD，DE 平行于 AF ，且 DE=AF ，求證：ΔAFC?ΔDEB ；如果將 BD 沿著 AD 邊的方向平行移動(dòng)，如圖3（2）、圖3（3），若現(xiàn)有條件不變則結(jié)論是否成立？

圖3

本題屬全等三角形判定——SAS題型，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件基于SAS方法判定 ΔAFC? ΔDEB ，然后要求學(xué)生在后續(xù)的解題中結(jié)合平移的性質(zhì)與全等三角形的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證.具體的解題指導(dǎo)過程見下述內(nèi)容：

師：先自主讀題，分析題目所給出的已知條件.由已知條件 AB=CD ，可以推出什么條件？

生： AB+BC=CD+BC ，即 AC=BD

師：題目給出了 AF=DE ，結(jié)合平行的性質(zhì)，當(dāng)DE//AF 時(shí)，可以推出什么？

生： ∠A=∠D

師：結(jié)合上述信息，基于哪個(gè)方法可以證明ΔAFC?ΔDEB^′ 0

根據(jù)SAS判定方法.

師：如果在（2）（3）中結(jié)論依然成立呢，是否可以繼續(xù)應(yīng)用SAS方法去證明？

生：可以繼續(xù)應(yīng)用SAS方法證明 ΔACF? ΔDBE ：

師：試著自己證明一下.

生：由 AB=CD ，得 AB-BC=CD-BC ，則 AC= BD.由 AF//DE ，得 ∠A=∠D ，又 AF=DE ，所以ΔACF?ΔDBE（SAS）

變式如圖4所示，點(diǎn) A，B ，C，D 在同一直線上，其中 AB= CD，CE⊥AD 于點(diǎn) C，BF⊥AD 于點(diǎn) B ，且 AE=DF ：

圖4

（1）求證： EF 平分線段 BC ：（2）如果圖4中的△BFD沿

AD方向平移（如圖5）時(shí)，在現(xiàn)有條件不變的情況下原結(jié)論是否仍成立？

圖5

本題屬全等三角形判定一—HL題型，與上述例題2存在相同之處，即平移.所以筆者仍引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件，基于HL方法去證明 RtΔACE 與 RtΔDBF 全等，而后基于這一結(jié)論結(jié)合“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”的性質(zhì)得到 EC= BF.但在解題中若想實(shí)現(xiàn)第（1）問的證明，還要基于AAS判定方法證明出 ΔECG 與△FBG全等并基于全等三角形性質(zhì)獲得 BG=CG ，即可得證，才能夠完整地證明 EF 平分線段 BC .一般地，學(xué)生證明過程的完整性決定了學(xué)生解題錯(cuò)誤發(fā)生的概率，對(duì)此在第（1）問解題中引導(dǎo)學(xué)生周密思考，并保證自己證明過程的完整性.對(duì)此在學(xué)生自主證明之后，筆者幫學(xué)生梳理了完整的思維過程：根據(jù)已知條件 CE⊥AD，BF⊥ AD 可以寫出 ∠ACE=∠DBF=90^° ；根據(jù) AB=CD ，可寫出 AB+BC=BC+CD ，即 AC=DB .然后結(jié)合已知條件 AE=DF ，可以推出 RtΔACE 與 RtΔDBF 全等.再基于兩個(gè)直角三角形全等的性質(zhì)推出兩條對(duì)應(yīng)邊相等，即 CE=FB .在 ΔCEG 和 ΔBFG 中， ∠ECG= ∠FBG=90^° ， ∠EGC=∠BGF ， EC=FB ，所以ΔCEG?ΔBFG ，則 CG=BG ，即 EF 平分線段 BC

若想實(shí)現(xiàn)第（2）問的求解，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用已有的解題經(jīng)驗(yàn)，基于平移的性質(zhì)和上述例題的解題思路完成求解.具體的解題指導(dǎo)過程見下述內(nèi)容：

師：我們可以先假定原結(jié)論成立，可以推出什么條件？生： AC=DB AE=DF 師：由此可以推出什么？生： RtΔACE 與 RtΔDBF 全等.師：基于三角形全等的性質(zhì)可以得到什么？生： CE=FB 師：根據(jù) EC=FB，∠ECG=∠FBG=90^°，∠EGC= ∠BGF ，得到 ΔCEG?ΔBFG ，可以推出什么？

生： CG=BG ，即 EF 平分線段BC.原結(jié)論成立.

在糾錯(cuò)教學(xué)中開展變式訓(xùn)練有利于理清學(xué)生證明思路，幫助學(xué)生熟絡(luò)證明方法，使學(xué)生掌握同一類型習(xí)題中不同全等三角形判定方法的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

綜上所述，本文從歸總題型、精選習(xí)題、變式訓(xùn)練三個(gè)維度分析了初中數(shù)學(xué)全等三角形習(xí)題糾錯(cuò)教學(xué)方法，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，由此促使學(xué)生靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，為全面發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).