數(shù)學(xué)直觀賦能深度解析函數(shù)問題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0021-04引用格式：.數(shù)學(xué)直觀賦能深度解析函數(shù)問題[Jl.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：21-24.

數(shù)學(xué)直觀是整體把握數(shù)學(xué)的有效方法，具有發(fā)現(xiàn)功能，數(shù)學(xué)家往往以數(shù)學(xué)直觀來推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)家M.克萊因提出，數(shù)學(xué)直觀是對(duì)概念、證明的直接把握．?dāng)?shù)學(xué)直觀思維是個(gè)體依靠自己的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)直接把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的一種判斷能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維形式的整體性和綜合性、思維過程的簡(jiǎn)捷性和直接性，以及思維方式的自由性.數(shù)學(xué)直觀主要包括幾何直觀和代數(shù)直觀．培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)直觀能力對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展和數(shù)學(xué)問題解決具有重要意義．下面，筆者將圍繞函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀能力的設(shè)計(jì)和思考進(jìn)行交流與分享.

一、明晰函數(shù)表示是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀的根本

在高中階段，學(xué)生不僅系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，還重點(diǎn)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)這些基本初等函數(shù).在函數(shù)學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)需要積極調(diào)用所學(xué)函數(shù)模型，對(duì)問題進(jìn)行思考和解答．其中，函數(shù)表示方法既是函數(shù)的呈現(xiàn)方式，又是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)問題的有效載體和重要思維方式.

例1已知函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)? ，若存在實(shí)數(shù)mgt;0 ，對(duì)任意的 x∈R ，有 |f（x）|?m|x| ，則稱 f（x） 為 F 函數(shù)．給出下列函數(shù)：

①f（x）=x²

②f（x）=log（|x|+2），

④f（x） 是定義在 上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁ ， x₂ ，都有 |f（x₂）-f（x₁）|?2|x₂-x₁|

③f（x）=xcosx

其中是 F 函數(shù)的序號(hào)為

上述問題定義了一種新的函數(shù)，涉及學(xué)生熟悉的初等函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)，用什么方式研究函數(shù)及其性質(zhì)是思考并進(jìn)一步解題的關(guān)鍵.

追問1：怎樣分析 ① 和 ② 中的兩個(gè)函數(shù)是否為F 函數(shù)？

預(yù)設(shè)： ① 和 ② 中的兩個(gè)函數(shù)都是學(xué)生熟悉的函數(shù)，可以利用函數(shù)圖象直觀判斷這兩個(gè)函數(shù)均不是F 函數(shù)；也可以借助代數(shù)分析，通過舉反例說明這兩個(gè)函數(shù)不滿足題意．在 ① 中，當(dāng) x=2m 時(shí)， |f（2m）|=4m²gt; m∣2m∣=2m² ，與定義矛盾，所以 ① 錯(cuò)誤；在 ② 中，注意到 ，也與定義矛盾，所以 ② 錯(cuò)誤．從而說明這兩個(gè)函數(shù)均不是 F 函數(shù).

追問2：如何分析 ③ 和 ④ 中的函數(shù)是否為 F 函數(shù)？

預(yù)設(shè)： ③ 中的函數(shù) f（x）=xcosx 不是基本初等函數(shù)，但注意到解析式中的余弦函數(shù)滿足 |cosx|?1 ，所以 |f（x）|=|x||cosx|?|x|. 當(dāng) m?1 時(shí)，有 |f（x）|?m|x| 成立．所以 f（x）=xcosx 是 F 函數(shù)．對(duì)于 ④ 中的函數(shù)，根據(jù)函數(shù) f（x） 是奇函數(shù)，知 f（0）=0 .若令 x₁=0 ，則有 ，進(jìn)而可以得到 |f（x₂）|?2|x₂| 當(dāng) m?2 時(shí)，有 |f（x）|?m|x| 成立．所以 ④ 中的函數(shù) f（x） 是 F 函數(shù).

題目中分別借助函數(shù)的圖象、解析式和特殊點(diǎn)來研究函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行了有效思考并給出了解答，在函數(shù)問題中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注并重視圖象的直觀性和整體性、解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，以及特殊點(diǎn)的支點(diǎn)作用，增強(qiáng)學(xué)生有效運(yùn)用函數(shù)表示方法的能力和意識(shí).

二、數(shù)學(xué)直觀能力的培養(yǎng)與應(yīng)用

1.幾何直觀是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀的引擎

眾所周知，圖象是分析和解決函數(shù)問題的有效工具．在函數(shù)問題中，積極嘗試、有效利用函數(shù)圖象可以實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)的具象化，優(yōu)化問題的思考和解答，有利于發(fā)展學(xué)生的函數(shù)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力.

例2過點(diǎn) 可以作曲線 的兩條切線，則（ ）.

（A） （B） （C） （204號(hào) （D）

預(yù)設(shè)：作出對(duì)數(shù)函數(shù) 的圖象，如圖1所示利用函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，可以猜出點(diǎn) 位于函數(shù)圖象的上方，且在 y 軸右側(cè)．如果點(diǎn) 在 y 軸左側(cè)，那么過點(diǎn) 作任意一條斜率小于0的直線都與 y 軸相交．因此，該直線一定不是曲線的切線，此時(shí)過點(diǎn) 只可以作一條曲線的切線.綜上所述，該題的正確答案為選項(xiàng)D.

圖1

例3設(shè) a∈（0， 1） ，若函數(shù) f（x）=a^x+（a+1）^x 在 區(qū)間 （0，+∞） 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) Ψ_a 的取值范圍是

通常情況下，如果考慮研究導(dǎo)函數(shù) f^′（x）?0 ，x∈（0，ζ+∞） 恒成立，即 [f^′（x）]_min?0 ，求解過程較為復(fù)雜.

追問1：除直接利用導(dǎo)函數(shù)系統(tǒng)研究函數(shù)的性質(zhì)來解答問題外，能否利用函數(shù)圖象給出簡(jiǎn)捷、直觀的解答？

預(yù)設(shè)：函數(shù) f（x） 由指數(shù)函數(shù) y=a^x 和 y=（a+1）^x 相加而成，可以嘗試?yán)盟鼈兊膱D象進(jìn)行思考，這兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象如圖2所示.

圖2

追問2：如何利用上述兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行思考？

預(yù)設(shè)：借助端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值 f^′（0）=0 求出實(shí)數(shù) α_a 的一個(gè)臨界值．因?yàn)? ，所以a（a+1）=1 由 a∈（0， 1） ，得 由 f^′（0）?0 ，

作為取值范圍的臨界點(diǎn)，區(qū)間的端點(diǎn)通常是滿足特定關(guān)系的起始或終止位置，它有別于范圍內(nèi)部的點(diǎn)．在分析問題時(shí)，可以先借助端點(diǎn)滿足指定要求確定必要條件，若進(jìn)一步驗(yàn)證和論述，往往還能說明該必要條件也是充分條件.

追問3：由兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象和它們的變化情況，能否直觀判斷追問2的預(yù)設(shè)的正確性？

預(yù)設(shè)：根據(jù)題目條件，可以得到 f^′（0）?0 ，即y=（a+1）^x 在 x=0 處導(dǎo)數(shù)值（正值）的絕對(duì)值大于等于 y=a^x 在 x=0 處導(dǎo)數(shù)值（負(fù)值）的絕對(duì)值，再由兩個(gè)函數(shù)的圖象，知隨著自變量 x 在區(qū)間 （0，+∞） 內(nèi)不斷增大，函數(shù) y=（a+1）^x 的瞬時(shí)變化率為正數(shù)且逐漸增大， y=a^x 的瞬時(shí)變化率為負(fù)數(shù)且逐漸增大并趨近于0.因此， f^′（0）?0 成立等價(jià)于 f^′（x）?0 ， x∈（0，?+∞） 恒成立.

作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要函數(shù)模型，基本初等函數(shù)為直觀分析和探究、定性思考和解答函數(shù)問題提供了重要支點(diǎn)．通過聯(lián)系、類比與遷移、轉(zhuǎn)化與探究，學(xué)生形成對(duì)函數(shù)的直觀認(rèn)識(shí)和對(duì)問題的定性判斷.

2.代數(shù)直觀是發(fā)展數(shù)學(xué)直觀的原動(dòng)力

觀察和聯(lián)想是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直觀的基礎(chǔ)．在函數(shù)問題中，認(rèn)真觀察、系統(tǒng)分析函數(shù)解析式的形式和結(jié)構(gòu)特征，有助于挖掘函數(shù)的隱含信息和典型規(guī)律.通過聯(lián)想和類比，搭建數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系，有助于形成合理、有效的思考和解答方向.

例4已知 是偶函數(shù)，則 α_a 的值為（ ）.

（A） ^-2 （B）-1

（C）1 （D）2

基于例4中的函數(shù)信息，系統(tǒng)分析函數(shù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，從函數(shù)定義域的視角來看，由偶函數(shù)，知 f（x） 的定義域?yàn)?{x|x≠0} ．容易想到，應(yīng)用偶函數(shù)的定義 恒成立，通過代數(shù)變形求解實(shí)數(shù) Ψ_a 的值．這種方法雖然可行，但運(yùn)算較復(fù)雜，不利于學(xué)生思考和關(guān)注題目中函數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)該題的命題意圖，那么希望學(xué)生以什么方式解決問題呢？

預(yù)設(shè)1：基于 α_a 是函數(shù)的參數(shù)，是一個(gè)常量、未知數(shù)，可以利用方程思想給出一個(gè)關(guān)于 a 的方程來求解．例如，由 f（-1）=f（1） ，解得 a=2 ：

預(yù)設(shè)2：分析函數(shù)解析式，基于函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)，將分子和分母分別除以 e^x ，對(duì)其進(jìn)行變形可以得到 ．此時(shí)，分子 x 是一個(gè)奇函數(shù).如果 f（x） 是偶函數(shù)，那么分母 e^（a-1）x-e^-x 也應(yīng)該是一個(gè)奇函數(shù)，再由它的代數(shù)結(jié)構(gòu)得到 a=2 ：

例5設(shè)函數(shù) .若 f（x）?0 在 （-1， 1） 上恒成立，則.

（A） a=0 （20 （B） a?1 （C） 0

由題目條件，知 ， x∈（-1， 1） ．由此，問題就指向了求解一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)在區(qū)間 （-1， 1）

內(nèi)的最大值問題，導(dǎo)致問題的解答陷人了復(fù)雜的運(yùn)算推理之中.

如果仔細(xì)觀察題目中的函數(shù)解析式和相關(guān)不等式條件，還會(huì)引發(fā)思考：0能否是某點(diǎn)處的函數(shù)值呢？可以得到 f（0）=0 ，進(jìn)而條件 f（x）?0 在 （-1， 1） 上恒成立可以轉(zhuǎn)化為 f（x）?f（0） 在 （-1， 1） 上恒成立．由0是區(qū)間（-1，1）內(nèi)一點(diǎn)，且 f（0） 是函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的最大值，可知 x=0 是 f（x） 的一個(gè)極大值點(diǎn)，即 f^′（0）=0 這一重大發(fā)現(xiàn)彰顯了代數(shù)直觀分析的價(jià)值．由 f^′（0）=0 是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù) a 的等量方程關(guān)系，可知實(shí)數(shù) a 只能是一個(gè)確定值，經(jīng)計(jì)算即可求出 a=1 ：

在函數(shù)問題中，基于對(duì)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)分析，獲取函數(shù)的隱含規(guī)律和題目的隱含信息，利用函數(shù)性質(zhì)梳理題目信息的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，有助于將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單或熟悉的形式，優(yōu)化對(duì)問題的思考和解答.

3.數(shù)學(xué)直觀能力是函數(shù)學(xué)習(xí)的核心追求

數(shù)學(xué)直觀（幾何直觀與代數(shù)直觀）能力賦予數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)大的生命力.運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀對(duì)數(shù)學(xué)問題加以分析與思考，通過調(diào)用已有知識(shí)儲(chǔ)備，類比所學(xué)典型方法，可以喚起相關(guān)的重要活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的形式，實(shí)現(xiàn)幾何直觀和代數(shù)直觀思維的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而探究問題的本源.

例6若直線 y=ax+b 為曲線 的圖象的一條切線，則 2a+b 的最小值為

該題的常規(guī)想法是先利用導(dǎo)數(shù)得到曲線 f（x） 的切線方程，再結(jié)合已知條件解得 關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，進(jìn)而用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示出 2a+b ，再將得到的2a+b 的關(guān)系式看作函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)并求出最小值.而數(shù)學(xué)直觀可以引領(lǐng)思維的系統(tǒng)化、清晰化、邏輯化，形成有效的、高層次的直觀認(rèn)知。

追問1：分析題目，你能發(fā)現(xiàn)哪些可能存在聯(lián)系的信息？

預(yù)設(shè)： 2a+b 可以看作當(dāng) x=2 時(shí)，直線 y=ax+b 上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即 （2， 2a+b） 是直線 y=ax+b 上一點(diǎn).

追問2：基于上述發(fā)現(xiàn)，可以有哪些新的思考？

預(yù)設(shè)：既然直線 y=ax+b 是曲線 f（x） 的一條切線，且點(diǎn) （2， 2a+b） 是該直線上一點(diǎn)，那么問題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)過點(diǎn) （2， 2a+b） 可以作出曲線 f（x） 的一條切線時(shí)，該點(diǎn)的縱坐標(biāo) 2a+b 的最小值是多少？

追問3：基于上述分析，還能想到哪些更簡(jiǎn)捷的方法？

預(yù)設(shè)：由函數(shù)解析式，知 f（x） 是 （0，+∞） 上的遞增函數(shù)，且當(dāng) x?0 時(shí)， f（x）?-∞ ；當(dāng) x?+∞ 時(shí)，f（x）?+∞ 且 ，由此可知曲線的凹凸性，作出的函數(shù)圖象如圖3所示．由過點(diǎn) （2， 2a+b） 可以作出函數(shù) f（x） 的一條切線，有 所以 2a+b 的最小值為

圖3

三、思考與感悟

數(shù)學(xué)直觀能力是在知識(shí)的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)問題快速感知與解決的能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀思維的過程，能夠不斷提升學(xué)生對(duì)核心知識(shí)理解的系統(tǒng)性和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟的深刻性，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)直觀能力的培養(yǎng)，可以有效提高學(xué)生分析、思考和解答問題的合理性、靈活性和簡(jiǎn)捷性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．通過應(yīng)用數(shù)學(xué)直觀不斷開展數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)探究，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

數(shù)學(xué)直觀能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心追求．教師以概念理解和問題解決為主線，通過深入思考、自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等方式開展教學(xué)活動(dòng)，可以不斷完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，有效提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

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