圖象與性質(zhì)的教學(xué)序分析

1引言

數(shù)學(xué)教學(xué)中常常需要研究數(shù)學(xué)對象的圖象與性質(zhì).比如函數(shù)是貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要主線之一，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，都要學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；圓錐曲線是平面解析幾何的主要內(nèi)容，該內(nèi)容學(xué)習(xí)的重點之一是掌握圓錐曲線的圖象與性質(zhì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》1對于這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)都有明確的要求，如：“通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.\"“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).”

可見，圖象與性質(zhì)是理解數(shù)學(xué)對象的關(guān)鍵要素，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.知識的呈現(xiàn)總有先后之分，相應(yīng)的教學(xué)思路也略有差別.就圖象與性質(zhì)的教學(xué)而言，有人認(rèn)為，先通過代數(shù)的方法得出圖形的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而利用相關(guān)性質(zhì)繪制出圖象；有人認(rèn)為，先通過描點作圖法或是幾何作圖法繪制出圖象（簡圖），然后根據(jù)圖象得出數(shù)學(xué)對象的相關(guān)性質(zhì).

那么，關(guān)于圖象與性質(zhì)的教學(xué)，是先教學(xué)圖象還是先教學(xué)性質(zhì)？即：是先教學(xué)圖象再根據(jù)圖象認(rèn)識性質(zhì)（以圖識性）？還是先教學(xué)性質(zhì)再依據(jù)性質(zhì)作出圖象（依性作圖）？一般地，如何科學(xué)地確定圖象與性質(zhì)的教學(xué)順序？諸多問題值得探討.

2圖象與性質(zhì)的教學(xué)序還原：基于課標(biāo)與教材的視角

2.1以圖識性：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的教學(xué)序新課標(biāo)在“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”中指出“本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì)”，對于指數(shù)函數(shù)，還特別指出：“能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.”指數(shù)函數(shù)教學(xué)的重點內(nèi)容包括圖象和性質(zhì).根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念，指數(shù)函數(shù)中圖象與性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)該是“以圖識性”，教材也的確是這么展開的：先畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，然后借助圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).依據(jù)教材，先引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)L制不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖象，并通過繪制函數(shù)圖象，歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，遵循“指數(shù)函數(shù)的圖象 $$ 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) $$ 指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué)思路.

無獨有偶，三角函數(shù)的教學(xué)是“以圖識性”也有課標(biāo)依據(jù).新課標(biāo)指出“用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性和最大（?。┲档刃再|(zhì)”“借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 [0，2π] 上、正切函數(shù)在 上的性質(zhì)”.因此學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，也是以“以圖識性”的方式開展的，以正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)為例：先從正弦函數(shù)入手，根據(jù)正弦的定義，借助單位圓畫出正弦曲線；再利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，通過圖象的平移變換畫出余弦曲線;最后借助幾何直觀和代數(shù)運算研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).

可以看出，課程標(biāo)準(zhǔn)與教材是一致的，它們都指明了指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)是“以圖識性”.由此看來，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的教學(xué)序是基于課程標(biāo)準(zhǔn)與教材編寫理念展開的.

2.2 依性作圖：圓錐曲線的教學(xué)序

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，新課標(biāo)指出：“本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，認(rèn)識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；運用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想.\"可見，該單元的學(xué)習(xí)重點就是解析幾何方法的運用，圓錐曲線的性質(zhì)就是通過代數(shù)方法進(jìn)行研究的.

教材中“圓錐曲線的方程”一章的章節(jié)起始內(nèi)容呈現(xiàn)了如下章頭語：“本章我們繼續(xù)采用坐標(biāo)法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線有關(guān)的幾何問題和實際問題.”教材在展開的過程中，也都是遵循了“方程的推導(dǎo)一利用方程研究幾何性質(zhì)”的編寫思路.具體到橢圓的簡單幾何性質(zhì)一節(jié)，該節(jié)內(nèi)容的節(jié)引言表述如下：“與利用直線的方程、圓的方程研究他們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.”[2]因此，教材編寫的意圖非常明顯，即凸顯解析幾何的基本思想是“用代數(shù)方法研究幾何問題”，或者說是“利用曲線方程研究曲線性質(zhì)”.所以本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)該緊扣方程，自始至終體現(xiàn)運用方程研究曲線的意識，這是解析幾何的基本思想，同時也體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的理念.

圖象與性質(zhì)的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為我們開展教學(xué)指明了方向.圖象與性質(zhì)的教學(xué)從教材編寫的角度來看，確實有兩種做法：一是以“橢圓的幾何性質(zhì)”等為例的“依性作圖”；二是以“指數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”等為例的“以圖識性”.數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源.教材的呈現(xiàn)從根本上是基于課程標(biāo)準(zhǔn)理念的.教材既然有兩種不同的編寫方式，必定承載著不同的編寫理念.指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與圓錐曲線的教學(xué)序引起了我們深層次的思考：教材關(guān)于圖象與性質(zhì)的編寫方式不完全一致，圓錐曲線的教學(xué)主要采用“依性作圖”的方式，而指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)則采用“以圖識性”的方式.那么，圖象與性質(zhì)的教學(xué)究竟是“依性作圖”還是“以圖識性”？或者說，確定“依性作圖”還是“以圖識性”教學(xué)序的依據(jù)是什么？

2.3 以圖識性還是依性作圖

為什么課標(biāo)與教材對于圖象與性質(zhì)的教學(xué)有兩種不同的處理方式？課標(biāo)編寫與教材設(shè)計最重要的考慮是教學(xué)內(nèi)容必須突出數(shù)學(xué)本質(zhì).以“橢圓的幾何性質(zhì)”一課為例重點說明.本節(jié)課關(guān)于橢圓幾何性質(zhì)的教學(xué)之所以遵循“依性作圖”的教學(xué)方式，是因為“依性作圖”體現(xiàn)了解析幾何的學(xué)科本質(zhì).解析幾何，即用代數(shù)的方法研究幾何問題.根據(jù)曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一.學(xué)生在初中曾學(xué)習(xí)過圓，也用代數(shù)方法研究過圓的一些性質(zhì)，但真正系統(tǒng)地用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)在這里還是第一次.通過橢圓方程的討論來研究它的幾何性質(zhì)，目的在于讓學(xué)生體會用坐標(biāo)法研究曲線幾何性質(zhì)的基本思路與方法，感受通過代數(shù)運算研究曲線性質(zhì)所具有的程序化、普適性的特點.我們在教學(xué)解析幾何時，必須要突出“代數(shù)方法研究幾何問題”（幾何問題代數(shù)化）這一學(xué)科本質(zhì)，以幫助學(xué)生形成學(xué)科知識建構(gòu)的“大觀念”.橢圓作為學(xué)生接觸的第一類圓錐曲線，在學(xué)生經(jīng)歷了“概念一方程—性質(zhì)”的研究內(nèi)容與方法后，可以將其遷移至后續(xù)的雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)和研究中，對學(xué)生形成大觀念是大有裨益的.

與此同時，我們在高考中也常會遇到一些新曲線問題的研究，如2024年新課標(biāo)全國I卷考查的新曲線：

圖1

A. a=-2 （204號

B.點 在 c 上

C.在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點 （x₀，y₀） 在 c 上時，

可以說，以能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向的曲線新定義問題頻頻出現(xiàn)在高考題之中.這些問題都意在重點考查學(xué)生關(guān)于解析幾何學(xué)科本質(zhì)和研究方法的認(rèn)識.在此之前，學(xué)生對該圖形幾乎沒有任何的認(rèn)知基礎(chǔ)，因此必須先建立曲線的方程，進(jìn)而利用方程即代數(shù)的方法對圖形經(jīng)過的點、對稱性與范圍等性質(zhì)加以研究.所以“橢圓的幾何性質(zhì)”的教學(xué)之所以是“依性作圖”，其根本原因是必須凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“用代數(shù)方法研究幾何問題”這一解析幾何的研究方法和路徑.

而對于指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)，都是采用“以圖識性”的方法，但并不是說這樣處理沒有凸顯學(xué)科本質(zhì)，而是在于課標(biāo)與教材編寫還考慮到了學(xué)生的已有認(rèn)知水平.如指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖象較為簡單，同時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（特別是單調(diào)性）并不容易直接用代數(shù)方法得到.對于學(xué)生來說，他們還不具備用代數(shù)方法研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的能力與基礎(chǔ).因此，基于學(xué)生的已有認(rèn)知水平，同時指數(shù)函數(shù)圖象比較簡單，由此教學(xué)設(shè)計的思路為“以圖識性”，利用圖象得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，而后由性質(zhì)再一次回歸圖象，以實現(xiàn)圖象與性質(zhì)的一致性.因此，在學(xué)生缺乏研究經(jīng)驗和基礎(chǔ)以及研究能力的前提下，這樣的設(shè)計是合情合理的.因此，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計思路為“以圖識性”，是既考慮了學(xué)生的已有認(rèn)知和經(jīng)驗，又突出了數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)與學(xué)生認(rèn)知的高度統(tǒng)一.

3圖象與性質(zhì)的教學(xué)序分析：基于數(shù)學(xué)教育基本矛盾的思考

矛盾是事物發(fā)展的動力和源泉，認(rèn)識事物的根本方法是矛盾分析法.圖象與性質(zhì)的教學(xué)到底是何種路徑？僅僅通過具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，難以從根本上解決問題.要明確課標(biāo)理念和教材編寫意圖，可以從數(shù)學(xué)教育基本矛盾著手分析.數(shù)學(xué)教育的基本矛盾是數(shù)學(xué)方面與教育方面的對立統(tǒng)一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，又要基于學(xué)生的認(rèn)知水平.因此，數(shù)學(xué)教材編寫既要反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，也要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，對于圖象與性質(zhì)的教學(xué)也是如此.從而，確定“依性作圖”還是“以圖識性”的關(guān)鍵，是要在數(shù)學(xué)本質(zhì)與學(xué)生認(rèn)知水平上尋求中間地帶，也就是既要能夠反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又要能夠符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

數(shù)學(xué)教學(xué)是關(guān)于“數(shù)學(xué)”的教學(xué)，數(shù)學(xué)教材當(dāng)然要反映數(shù)學(xué)本質(zhì).同時，教材是給學(xué)生學(xué)習(xí)用的，必須考慮現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論的研究成果，不能脫離學(xué)生的認(rèn)知水平.按照博辛（Nelson，L.Bossing）的觀點[3]教材組織形式通常有：邏輯式組織、心理式組織、折衷式或教育式組織，到底采用哪一種方式？現(xiàn)代教育對此尚無定論.但作為數(shù)學(xué)教材，應(yīng)當(dāng)兼顧邏輯式組織與學(xué)生心理式組織.

圓錐曲線的教學(xué)邏輯是“依性作圖”，原因何在？圓錐曲線的教學(xué)旨在學(xué)會利用代數(shù)的方法研究幾何問題.因此教材的邏輯定位為先研究圓錐曲線的概念，利用圓錐曲線的定義建立圓錐曲線的方程（概念的表達(dá)式），以方程作為依據(jù)研究圖形的相關(guān)性質(zhì).那么，是否可以“以圖識性”呢？由于圓錐曲線難以精確畫出圖象，因此難以在精確繪制圖象的基礎(chǔ)上研究圓錐曲線的性質(zhì).當(dāng)然也可以在猜想和合情推理的基礎(chǔ)上先粗略估計圓錐曲線的大致圖象，而后用圓錐曲線方程進(jìn)行驗證，其本質(zhì)還是利用性質(zhì)作出圖象.

指數(shù)函數(shù)的教學(xué)邏輯是“以圖識性”.教材的編寫思路是先通過豐富的情境（增長型、衰減型）自然地得到指數(shù)函數(shù)的概念（方程、表達(dá)式），通過取不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的描點作圖與比較得到指數(shù)函數(shù)的圖象，最后利用圖象研指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).原因在于指數(shù)函數(shù)比較抽象，學(xué)生難以感知到它的大致形象，同時它的性質(zhì)也難以研究.因此為了讓學(xué)生直觀感受到指數(shù)函數(shù)形象，先引導(dǎo)學(xué)生粗略作出函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上再研究函數(shù)的性質(zhì).這是從教育方面的考量.

因此，理論上有了定義以后，依據(jù)定義研究圖形的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上作出圖象，這樣的圖象較為精確，并且可以從圖象上進(jìn)一步理解圖形的性質(zhì)，如圓錐曲線的研究.這主要是從數(shù)學(xué)方面的考慮.但有些數(shù)學(xué)對象，有了定義之后，學(xué)生難以對數(shù)學(xué)對象本身有感性認(rèn)識，也難以研究其性質(zhì).從教育方面來看，應(yīng)該考慮學(xué)生的可接受性，可以先根據(jù)定義作出其大致圖象，并以此為基礎(chǔ)研究其性質(zhì)，最終達(dá)到圖象與性質(zhì)的一致性，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的研究.從根本上看，圖象與性質(zhì)是數(shù)學(xué)對象在“形”與“數(shù)”方面的反映，無論是“以圖識性”還是“依性作圖”，都能實現(xiàn)圖象與性質(zhì)、形與數(shù)的高度一致與統(tǒng)一.

因此，“以圖識性”與“依性作圖”都是我們開展圖象與性質(zhì)教學(xué)的重要方法.如何確定“以圖識性”還是“依性作圖”呢？在回答這個問題之前，必須認(rèn)真研究課程標(biāo)準(zhǔn)、研究教材.根據(jù)數(shù)學(xué)教育基本矛盾，教材是在數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知水平上取得的一個平衡，即如數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所言：“要體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯體系，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過程;要遵從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理安排學(xué)習(xí)內(nèi)容[1]90.”因此，只有在深入理解課標(biāo)、理解教材、理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，方可對“以圖識性”還是“依性作圖\"這個問題給出比較科學(xué)的答案.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M].北京：人民教育出版社，2020：20.

[2]普通高中數(shù)學(xué)教科書選擇性必修第一冊：人教A版[M].北京：人民教育出版社，2019：104-109.

[3]丁爾升，唐復(fù)蘇.中學(xué)數(shù)學(xué)課程導(dǎo)論[M].上海：上海教育出版社，1998：129-130.

作者簡介何睦（1988—），男，江蘇張家港人，博士研究生，中小學(xué)高級教師；榮獲“江蘇省模范教師”“江蘇省教科研先進(jìn)個人”“伊犁州優(yōu)秀援疆教師”“蘇州中小學(xué)學(xué)科帶頭人”等稱號；主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

吳曉紅（1966—），女，江蘇徐州人，博士，教授;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究.