探究“瓜子形曲線”的幾何性質(zhì)

陌生曲線幾何性質(zhì)的探究，有助于考查學(xué)生高階思維能力的水平.試題講評(píng)時(shí)讓學(xué)生暢所欲言，有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決，

例（海淀區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)第15題）

已知曲線 給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 曲線 C 關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱;

② 曲線 C 上恰好有4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均是整數(shù)的點(diǎn)）;③ 曲線 C 上存在一點(diǎn) P ，使得 P 到點(diǎn)（1，0）的距離小于1;

④ 曲線 c 所圍成區(qū)域的面積大于4.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為

曲線 c 的方程形式比較陌生，問(wèn)題解決策略為：首先類比橢圓 T 的幾何性質(zhì)研究曲線 C 的幾何性質(zhì)，然后確定正確結(jié)論的序號(hào)，從而使學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平從工具性理解上升到關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解和文化性理解的水平.下面我們給出具體的研究?jī)?nèi)容及過(guò)程

1類比橢圓的范圍研究曲線 C 的范圍

由橢圓 T 的方程可知 ，因此 ε-ε_a ?x?a 且 -b?y?b 這說(shuō)明橢圓 T 位于直線 x= 圍成的矩形內(nèi).

類比上述方法，將曲線 c 的方程配方為 ，可知 ，因此 ， -1?y?1. 由 1，可知 ，因此 0?x?4

這說(shuō)明，曲線 C 位于直線 x=0，x=4，y=-1，y=

1圍成的矩形內(nèi)

2 類比橢圓的對(duì)稱性研究曲線 C 的對(duì)稱性

如果 （x，y） 是橢圓 T 方程的一組解，則不難看出， （-x，y），（x，-y），（-x，-y） 都是方程的解，這說(shuō)明橢圓 T 關(guān)于 y 軸 ?^x 軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.因此， x 軸 ?^y 軸是橢圓 T 的對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是對(duì)稱中心.

類比上述方法，如果 （x，y） 是曲線 C 方程的一組解，則不難看出， （x，-y） 是方程的解，這說(shuō)明曲線 C 關(guān)于 x 軸對(duì)稱.

由于曲線 c 方程中的 0?x?4 ，其范圍關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，這說(shuō)明曲線 C 關(guān)于 y 軸、坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱

又由于曲線 C 方程中的 0?x?4 ，其范圍關(guān)于點(diǎn)（1，0）不對(duì)稱，這說(shuō)明“ ① 曲線 C 關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱”是錯(cuò)誤的.

3 類比橢圓的頂點(diǎn)研究曲線 C 與橫、縱軸的交點(diǎn)

在橢圓 T 方程中，令 y=0 ，得 x=-a 或 x=a ，可知橢圓 T 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) （Φ-a，0），（a，0） ；令 x= 0，得 或 y=b ，可知橢圓 T 與 y 軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，-b），（0，b）

類比上述方法，在曲線 C 方程中令 y=0 ，得 或 x=4 ，可知曲線 C 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) O（0，0），A（4，0） ；令 x=0 ，得 y=0 ，可知曲線 C 與 y 軸有一個(gè)交點(diǎn) O（0，0） .因此曲線 c 與橫、縱軸共有兩個(gè)交點(diǎn) O（0，0），A（4，0） ，且這兩個(gè)點(diǎn)為整點(diǎn).

在曲線 c 方程中，令 x=1 ，得 y=±1 ，因此點(diǎn)B₁（1，1），B₂（1，-1） 是曲線 C 上的兩個(gè)整點(diǎn).

在曲線 c 方程中，令 x=2 ，得 但點(diǎn) ， 不是曲線 c 上的整點(diǎn).

在曲線 c 方程中，令 x=3 ，得 但點(diǎn) ！ 不是曲線 c 上的整點(diǎn).

綜上，曲線 c 上的整點(diǎn)為 O（0，0），A（4，0） ，B_?1（1，1） B₂（1，-1） ，這說(shuō)明“ ② 曲線 C 上恰好有4個(gè)整點(diǎn)”是正確的.

4作出曲線 c 的草圖

根據(jù)前述研究得出的曲線 c 的范圍、對(duì)稱性以及過(guò)的點(diǎn) O，A，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂ 作出曲線 C 的草圖（如圖1），學(xué)生說(shuō)曲線像雞蛋、子彈頭、樹(shù)葉，但更像是自然界中“美麗”的瓜子形狀（如圖2），最后將曲線 C 命名為“瓜子形曲線”.容易看出四邊形OB₁AB₂ 所圍成區(qū)域除 o，A，B₁，B₂ 這四個(gè)點(diǎn)在曲線c 上，其它點(diǎn)都在曲線 C 內(nèi)部（嚴(yán)格論證略）.

設(shè)點(diǎn) Q（1，0） ，可知曲線 c 所圍成區(qū)域的面積大于 ，因此“ ④ 曲線 C 所圍成區(qū)域的面積大于4”是正確的.

圖1

圖2

5探究曲線 C 上的點(diǎn) P 到點(diǎn) Q（1，0） 的距離的最值設(shè)曲線 上的點(diǎn) P（x，y） （ 0? ，則 ，因此 |PQ|= 二

令 ，得 0?t?2，x=t² ，因此 （20

f^′（t）=4t³-6t+2=2（2t³-3t+1）=2[

因?yàn)?0?t?2 ，得 ，因此 f^′（t） 與 符號(hào)一致，所以，當(dāng) 時(shí) Ω_{，f^′（t）}gt;0Ω_{，f（t）} 在 上單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí) 在 上單調(diào)遞減;

當(dāng) 1′（t）gt;0，f（t） 在（1，2）上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)t= 時(shí) ，f（t） 取得極大值

當(dāng) t=1 時(shí) I（t） 取得極小值 f（1）=1⁴-3?1²+ 2?1+1=1

又 f（0）=0⁴-3?0²+2?0+1=1，f（2）=2⁴- 3?2²+2?2+1=9.

所以

因此，當(dāng) t=0 或 t=1 時(shí) ，

此時(shí) x=0²=0 或 x=1²=1 ，點(diǎn) P 在 B₁，B₂ 處， ，所以 |PQ|_min?1

這說(shuō)明“ ③ 曲線 C 上存在一點(diǎn) P ，使得 P 到點(diǎn)（1，0）的距離小于1”是錯(cuò)誤的.

當(dāng) t=2 時(shí) ?_f（t）max=9 ，此時(shí) x=2²=4 ，點(diǎn) P 在

A 處，

至此，該題的正確選項(xiàng)水到渠成為 ②④

6 探究曲線 C 與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

將曲線 C 的方程配方為 ，發(fā)現(xiàn)該方程與圓 的形式結(jié)構(gòu)極其相似，那么它們有幾個(gè)公共點(diǎn)？

由方程組 {（x-1）2+γ2=1，消去y得x2-3x

令 ，則 t⁴-3t²+2t=0

即 ，得 t=0，t=1 或t=-2 （舍），所以 或 或 x=1

因此方程組的解為 因此它們的公共點(diǎn)共有3個(gè)，分別為 O（0，0） B₁（1，1） ， B₂（1 ，-1）（如圖1所示）.這也說(shuō)明曲線 c 除了 O（0，0） ，B_?1（1，1） B₂（1，-1） 三個(gè)點(diǎn)在圓上，其它點(diǎn)都在圓外，因而曲線 C 上任意一點(diǎn) P 到點(diǎn) Q（1，0） 的距離大于或等于圓 Q 半徑1，也從另外一個(gè)視角說(shuō)明選項(xiàng)③ 是錯(cuò)誤的.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解可劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個(gè)水平[].如果只會(huì)用孤立的知識(shí)解決給定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這只達(dá)到工具性理解水平；本題找到了陌生曲線與橢圓的方程有相似結(jié)構(gòu)，類比橢圓去研究陌生曲線的幾何性質(zhì)，這就達(dá)到了關(guān)系性理解水平；在原有問(wèn)題的基礎(chǔ)上又創(chuàng)造性提出曲線 c 與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾個(gè)的問(wèn)題并加以解決，這就達(dá)到了創(chuàng)造性理解水平的問(wèn)題；觀察數(shù)學(xué)中陌生曲線的形狀與自然界中瓜子形狀頗為相似，覺(jué)得這個(gè)圖很美，驚嘆一個(gè)曲線方程居然能夠刻畫(huà)出瓜子模型，學(xué)生能夠欣賞、陶醉這種和諧美，這就達(dá)到了文化性理解的水平，同時(shí)也將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落位到了數(shù)學(xué)探究之中[2]，提高了學(xué)生的審美情趣.已有教學(xué)實(shí)踐表明[3]，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，能夠自主研究陌生曲線的幾何性質(zhì)，并結(jié)合曲線的結(jié)構(gòu)特征，為陌生曲線冠名[4].該問(wèn)題就將未知曲線冠名為“瓜子形曲線”，生動(dòng)形象，提高了學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極性、創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)

[1]李春雷，于鳳來(lái).數(shù)學(xué)理解水平的劃分[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4） ：68-73.

[2]李春雷.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落位課堂：以“數(shù)據(jù)調(diào)整模型”的教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（10）：3-8.

[3]李春雷.到三角形三頂點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)存在的條件及軌跡[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（2）：42-44.

[4]王春輝，王乙琛.探索適合超常兒童發(fā)展的數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（3）：26-28，47.

作者簡(jiǎn)介李春雷（1967—），男，河北香河人，正高級(jí)教師（三級(jí)），特級(jí)教師，博士（北京師范大學(xué)教育學(xué)部教育方向），北京師范大學(xué)、陜西師范大學(xué)的兼職教授、研究員，北京師范大學(xué)“基于學(xué)生發(fā)展需求的課堂教學(xué)提升項(xiàng)目”專家，北京師范大學(xué)教育集團(tuán)課程與教學(xué)研究中心學(xué)科教研室輪值主任;獲河北省科研成果一等獎(jiǎng)、北京市人民政府頒發(fā)的基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎(jiǎng)、北京師范大學(xué)優(yōu)秀教育成果一等獎(jiǎng)、全國(guó)“紫金杯”數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育獎(jiǎng)、全國(guó)青年初等數(shù)學(xué)研究獎(jiǎng)、國(guó)際丘成桐數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；主要從事數(shù)學(xué)教育研究、學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展研究；發(fā)表論文100余篇，30余篇文章被人大報(bào)刊復(fù)印中心全文轉(zhuǎn)載或索引.