悟中學：數(shù)學深層理解的學習方式

數(shù)學學科具有高度的抽象性和邏輯性，需通過持續(xù)性思維活動、多維度探究分析以及自我元認知調(diào)控等“悟”的認知機制，實現(xiàn)對數(shù)學知識本質(zhì)的深層理解.

1學習中“悟”的觸發(fā)機制

1.1“悟”是學生認知動態(tài)發(fā)展的助推器

學習本質(zhì)上是一種連續(xù)性認知過程，任何新知的獲取均需建構(gòu)在已有認知結(jié)構(gòu)之上，或在特定維度對先前學習成果進行遷移應用.當學生尚未真正理解知識的本質(zhì)時，他們的既有知識、過往經(jīng)驗與當前所學往往呈離散狀態(tài)，缺乏內(nèi)在聯(lián)系.要實現(xiàn)既有認知到本質(zhì)理解的跨越，或在知識間搭建橋梁，則需借助特定的認知媒介—這便是學習中“悟”的產(chǎn)生動因.按照波蘭尼“意會認識論”的觀點，當學生聚焦于深度理解知識本質(zhì)和構(gòu)建新舊知識間的關(guān)聯(lián)時，他們的既有知識和過往經(jīng)驗將起到“助推”作用[].此時，必然要經(jīng)歷“由此及彼”的“轉(zhuǎn)悟”過程，這種“轉(zhuǎn)悟”本質(zhì)上意味著認知圖式的重構(gòu)與元認知層級的范式躍遷.當學習中“悟”實現(xiàn)時，知識結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)將會協(xié)同性變化，并與當前學習內(nèi)容的本質(zhì)屬性實現(xiàn)深度融合.學生、已有經(jīng)驗與知識三者共同構(gòu)成了“悟”的內(nèi)在表征載體，三者交互作用形成有機的連續(xù)統(tǒng)一體.這種連續(xù)統(tǒng)一體通過持續(xù)的“同化”“順應”，最終實現(xiàn)知識體系的整體性融貫與創(chuàng)造性重構(gòu)[2].

1.2“悟”是學生在特定學習“場域”中主體性發(fā)生

學生學習中的“悟”具有不可直接傳授的特性，其發(fā)生必然依托特定的學習“場域”，學生課內(nèi)外主動參與與支配的各類知覺活動以及由活動激發(fā)的認知活動與思維活動，都表現(xiàn)出主體性.同時，師生之間存在的專業(yè)勢差、認知代差以及教材預設(shè)與知識實存間的結(jié)構(gòu)性落差，這些差異讓學生處于“困”與“惑”“憤”與“悱”的狀態(tài)，這恰是學習中“悟”發(fā)生的關(guān)鍵所在.另外，師生之間、生生之間以及學生與知識之間的多維度交互，導致學習“場域”中出現(xiàn)“漲落現(xiàn)象\"（學習動力下降、參與度降低、認知沖突等）[2]，在這些漲落現(xiàn)象中，學生的元認知將進行自我調(diào)節(jié)與自我優(yōu)化.因此，學生學習中“悟”的實現(xiàn)，本質(zhì)上是學生在特定學習“場域”中主體參與的結(jié)果，也是對自身認知勢能進階性轉(zhuǎn)化的結(jié)果.

1.3“悟”是學生心理完形的整體性重構(gòu)

從認知心理學視角審視，“悟”的本質(zhì)是心理完形的重構(gòu)過程.當新的認知對象打破已有心理平衡時，思維系統(tǒng)便會出現(xiàn)格式塔缺口，而“悟”的發(fā)生正是新完形對認知缺口的創(chuàng)造性彌合[3].李洪君提出的“類化統(tǒng)覺”理論指出，個體的“悟性”具體體現(xiàn)在對表象材料進行范式遷移以及相似性統(tǒng)合的過程中，認為學生學習中的“悟”是對知識整體性的把握，這種整體性認知根植于知識的結(jié)構(gòu)性[4].柯勒同樣指出，思維進程、學習機制等認知活動均受到整體情境的深刻影響[5].由此可見，“悟”的本質(zhì)特征在于：它是認知格式塔的一次范式轉(zhuǎn)換，是身心協(xié)同作用下的頓悟式重構(gòu)，而非零散表象的簡單機械聯(lián)結(jié).這種整體性認知不僅遵循“整體先于部分”的格式塔法則，而且在知識建構(gòu)過程中，特別強調(diào)知識模塊的關(guān)聯(lián)整合，促進整體性認知圖式的形成，最終實現(xiàn)“認知模糊態(tài)向清晰態(tài)、困惑態(tài)向理解態(tài)”的心理完形的整體性重構(gòu).

“悟”的觸發(fā)機制表明，它的生成與發(fā)展絕非教師單向灌輸知識所能實現(xiàn)，更非實用主義推崇的“刺激一反應”機械式訓練可達成.若學生缺乏主動的概念同化、實踐感知、反思糾錯、系統(tǒng)編碼及認知整合能力，知識就只能作為孤立的符號，淺層次地附著在認知結(jié)構(gòu)的表層.這種淺層附著不僅阻礙學生對知識本質(zhì)的理解，而且難以轉(zhuǎn)化為遷移應用時的思維支點.因此，為了克服“多講少悟”的教學困境，教師應采取有效策略促進學生主體參與和深度思考，實現(xiàn)從知識的單向接受到思悟重構(gòu)的轉(zhuǎn)變，在多種學習活動中激活開放性思維和批判性思維，由此培育學生學習的“悟性”與“悟力”，實現(xiàn)深度學習的內(nèi)在覺醒.

2數(shù)學“悟中學”的要義闡釋

數(shù)學是一門強調(diào)思維的學科，數(shù)學學習中的“悟”是進行思維活動的核心樞紐，它要求學生通過整體性的思維操作實現(xiàn)新舊知識的有機整合，這個思維加工的過程是促成認知“同化”與“順應”不可或缺的躍遷.如果忽視這種思維操作，學生的知識結(jié)構(gòu)將會出現(xiàn)斷層：新知識無法牢固地融入認知結(jié)構(gòu)，而是以碎片化形式浮于認知結(jié)構(gòu)表層，這種非整合化的知識在提取時往往較為模糊甚至遲滯，導致具體應用時的認知失調(diào)，便成了“懂而不會”.史寧中教授曾指出“悟”在數(shù)學學習中的重要作用：“學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己‘悟'出來的…”

“悟中學”既是一種教學主張，也是一種方法論層面的教學實踐模式.它是以“學為中心”為基本理念，主張通過“悟”的認知活動進行數(shù)學知識的意義建構(gòu)，引導學生主體參與、促成深度理解數(shù)學的學習方式.“悟中學”旨在激發(fā)學生的數(shù)學元認知體驗，激活其內(nèi)在認知能動性，通過主體性反思、實踐參與和經(jīng)驗整合，培養(yǎng)學生可持續(xù)的學習能力，促進學生知識建構(gòu)與能力發(fā)展.

基于數(shù)學學科的本質(zhì)特征與學生認知發(fā)展規(guī)律，“悟中學”可分為五個階段：機械操作階段，表現(xiàn)為拘泥于公式定理的機械記憶與題型套用，尚未能深刻理解數(shù)學的本質(zhì)；概念覺醒階段，開啟對數(shù)學定義的溯源進行探究，主動追溯數(shù)學概念的邏輯本源，系統(tǒng)辨析數(shù)學定理成立的前提條件；結(jié)構(gòu)貫通階段，建立起知識間的有機聯(lián)結(jié)，建構(gòu)起層次分明的認知框架，將抽象概念轉(zhuǎn)化為具體可操作的思維模式；范式遷移階段，實現(xiàn)方法論突破，不僅能靈活應用既有思維方式，更能創(chuàng)造性地構(gòu)建問題解決模型；數(shù)學直覺階段，運用非形式化的推理預判結(jié)論，自主構(gòu)建新的論證范式.這五個階段不僅完整映射數(shù)學核心素養(yǎng)的三維目標（具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度與價值觀[），更精準折射出學生認知發(fā)展的動態(tài)歷程，為個性化設(shè)計“悟”的不同教學活動提供理論支撐.

3數(shù)學\"悟中學\"的組織邏輯

3.1情境浸潤：“悟中學”的生成載體

數(shù)學知識的獲取依賴于問題情境、理論范式、語言符號系統(tǒng)與實踐活動，具有顯著的時空依賴性.這種認知特性表明了“悟”與情境之間的共生關(guān)系——只有將學生置于實踐情境的認知生態(tài)中，其認知才能獲得生長與躍遷.情境之所以能催化“悟”，關(guān)鍵在于它擁有三重“融合”功能：一是通過情境激活了學生既有的知識體系，建構(gòu)了新舊認知之間的邏輯聯(lián)系，實現(xiàn)了知識要素與學習客體的有機融合；二是通過情境引導學生進行有意義建構(gòu)，促進經(jīng)驗向新的思維圖式的轉(zhuǎn)變，進而實現(xiàn)實踐行為與思維活動的有效融合；三是通過情境將數(shù)學中的抽象概念具象化為可感知、可操作的認知對象，為學生搭建了個體認知與現(xiàn)實世界的交互載體，實現(xiàn)個體與觀念的有力融合.

如果說情境是“悟”的觸發(fā)器，那么數(shù)學問題驅(qū)動的“思維活動”則是“悟”的助推器.通過精心設(shè)計問題激發(fā)學生的具身體驗，將學生的思維引向探尋數(shù)學本質(zhì)的活動之中.基于情境一問題的活動可按如下步驟進行：首先由情境催生問題，將學習任務(wù)轉(zhuǎn)化為學生的思維活動；其次充分留足學生思維的時間與空間，在深度思考中孕育“悟”，進而引導學生深人探究，實現(xiàn)具身認知，讓學生在探究中深刻感悟知識的本質(zhì);最后在遷移應用中鞏固認知結(jié)構(gòu)，真正理解知識的本質(zhì).

3.2結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)：“悟中學”的組織關(guān)鍵

基于前文論述可知，學習場域中的“悟”呈現(xiàn)顯著的整體性特征，學生的頓悟現(xiàn)象必然生成于知識結(jié)構(gòu)體系的整體性聯(lián)結(jié)與融貫過程之中.知識結(jié)構(gòu)體系通過構(gòu)建整體與局部間的邏輯關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使學習者能夠激活知識間固有的邏輯聯(lián)系，從而實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和認知模式的轉(zhuǎn)變，這一機制為知識遷移應用奠定了基礎(chǔ).

在教學實踐中，教師需要有結(jié)構(gòu)化教學的意識，并且在課時實施時合理運用結(jié)構(gòu)化教學策略.基于學生現(xiàn)有的認知基礎(chǔ)和知識體系，設(shè)計與組織“邏輯連貫、前后一致”的教學活動，促使學生形成完善的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化教學促使知識由孤立狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗷ヂ?lián)系，探究過程也由雜亂無章變得井然有序，學習成果則由表面理解深入到本質(zhì)掌握，促進思維從割裂整合為系統(tǒng).結(jié)構(gòu)化教學組織將搭建新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，幫助學生激活當前知識與先有經(jīng)驗的聯(lián)結(jié)，為數(shù)學學習之“悟”提供支架，進而達到深度學習的境界.

3.3引導生成：“悟中學”的實施路向

當下課堂，均勻分割的課時結(jié)構(gòu)將“思維留白”“認知緩沖”“靈感跳躍”等“悟”的關(guān)鍵元素異化，此類\"知識搬運型”課堂僅僅停留于信息的堆砌，嚴重阻滯了“悟”的發(fā)生.基于最近發(fā)展區(qū)理論，教師需在了解學生的認知水平和思維水平的基礎(chǔ)上，在學生“心求通而未得”“口欲言而未能”的時機，進行“啟其思、通其竅”的教學引導，以此激活認知躍遷的“頓悟時刻”，這正印證了孔子“不憤不啟，不悱不發(fā)”的經(jīng)典論述，學習的“憤悱”狀態(tài)實為新舊認知圖式激烈碰撞產(chǎn)生的思維共振.

教師應當在學生認知斷層處設(shè)置概念理解的腳手架，在思維阻滯點構(gòu)建元認知體驗與調(diào)控系統(tǒng).通過建構(gòu)主義導向的元認知提示策略，引導學生經(jīng)歷“認知沖突—概念解構(gòu)—意義建構(gòu)一遷移應用”的完整思維循環(huán)，實現(xiàn)知識傳授向思維訓練的范式轉(zhuǎn)型.在此過程中，學生個體的“悟性”將會被不同程度地激活，實現(xiàn)從單向接受知識到素養(yǎng)為本的本質(zhì)跨越.

3.4經(jīng)驗遷移：“悟中學\"的內(nèi)驅(qū)要素

愛因斯坦曾說：“內(nèi)在的完備（先有經(jīng)驗）與外在的證實（知識間的邏輯關(guān)聯(lián)）是真理實現(xiàn)的兩個前提條件.”[7]“悟”正是基于學生先有經(jīng)驗來實現(xiàn)對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，學生的“經(jīng)驗”始終貫穿“悟”的全程之中.從認知角度講，學生學習中所有的感知活動都建立在經(jīng)驗的基石之上，當新知識作用于學生的感知系統(tǒng)時，經(jīng)驗與知覺相互融合，共同構(gòu)建成新的動態(tài)認知整體.

如果要培養(yǎng)學生深層次的“悟”，就必須高度重視學生元認知經(jīng)驗的累積.不可否認，學生在“悟”上的表現(xiàn)呈現(xiàn)出顯著差異，這既體現(xiàn)在認知的深度上，也反映在經(jīng)驗的重構(gòu)過程中.作為認知主體，學生兼有經(jīng)驗自主積累者與整合重構(gòu)者的雙重身份.經(jīng)驗豐富度與知覺敏銳度緊密相關(guān)，經(jīng)驗越豐富越容易觸發(fā)知覺系統(tǒng)運行，知覺越敏感越容易在認知過程中觸發(fā)“悟”的發(fā)生，不僅提供了更多的激活方式，還對認知進程中若干環(huán)節(jié)進行“調(diào)控”與“適配”，學生原有的元認知經(jīng)驗一方面為新的認知活動提供支持，同時又會進行新的元認知經(jīng)驗重構(gòu).

4數(shù)學\"悟中學\"的實施策略

4.1啟思：通過“學科實踐\"實現(xiàn)悟中學

教學中應以培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，有機融合真實情境中的實踐任務(wù)，在實踐中理解數(shù)學本質(zhì).引導學生經(jīng)歷情境體驗、具身操作、方案試錯、協(xié)作對話、反思頓悟等多維度的認知過程，形成對數(shù)學本質(zhì)的具象化、立體式理解.通過“知—行一思”三位一體的學習循環(huán)，使學生在情境浸潤式的任務(wù)解決中，通過具身化的實踐參與來深化概念的理解，最終實現(xiàn)從行為實踐到思維生長的跨越，達成領(lǐng)悟式學習[8].

比如，在學習“基本不等式”時，可以引導學生運用尺規(guī)繪制弦圖.

圖1

圖1展示了學生利用尺規(guī)制作的多種形狀的弦圖.通過作圖不僅讓學生直觀地領(lǐng)略不同弦圖的構(gòu)造之美，而且將實際操作與想象構(gòu)思有機結(jié)合，極大地增強了他們的直觀想象和創(chuàng)造性思維.

在創(chuàng)作出“作品”后，可以進一步引導學生以數(shù)學視角去品鑒.這里的“數(shù)學視角\"實質(zhì)上是一種理性的審美傾向，展現(xiàn)了每個學生對美的個性化理解和標準，學生們從多元化的視角感悟各自心中的數(shù)學之美.

學生1：我更偏愛六葉弦圖，其內(nèi)角廣闊，邊數(shù)繁復，形態(tài)宛若圓滿之形，更顯宏偉而溫婉，對稱之美躍然紙上.

學生2：六葉弦圖同樣吸引我，它令我聯(lián)想到蘇州園林中的雕花窗，如圖2，許多園林花窗構(gòu)圖相似，唯有六葉弦圖，其內(nèi)部線條更添繁復細膩之韻.因此，六葉弦圖蘊含著一種古典之美.

圖2

學生3：我傾向于六葉弦圖，其邊數(shù)繁多，猶如循環(huán)不息之波瀾，展現(xiàn)出蓬勃生動的動態(tài)之美，

學生4：我傾向于五葉弦圖，其精妙融合內(nèi)角36^°，72^°，72^° 之等腰三角形，構(gòu)筑獨特“黃金三角形”結(jié)構(gòu)，宛若自然之手筆，洋溢著神秘迷人的魅力.由此，五葉弦圖彰顯出和諧之美.

學生5：我認為三葉弦圖更美，因為三角形本身具有穩(wěn)定性，三葉弦圖因此也象征著穩(wěn)定性.三角形，作為研究圖形的基石，穩(wěn)固了數(shù)學大廈的根基，同時又蘊含著無窮無盡的變化，正如三葉弦圖一般，簡約中蘊含著深邃的智慧與美感.

教師可以引導學生去發(fā)掘弦圖中蘊藏著的數(shù)學關(guān)系，進一步深入圖形內(nèi)部探索對象間關(guān)系則屬于更深層次的感悟.學生需不斷地嘗試與探索，可能結(jié)果或推導過程頗為復雜，需不斷調(diào)整和優(yōu)化；也有可能受阻或出錯，迫使學生轉(zhuǎn)變思維方式，重新審視問題，等等，這些挑戰(zhàn)都旨在促進學生的高階思維能力

正方形ABCD的邊長為 1，AE=a，BE=b ，如圖3，學生發(fā)現(xiàn)： .AB?AE+BE?AO+BO ，即 1?a+ 5 EF?OG ，即

學生發(fā)現(xiàn)： EG?EF ，即

圖3

圖4

在圖4中學生發(fā)現(xiàn)： √a2+b2，所以得a+b

以上過程展現(xiàn)了學生自主探索并發(fā)現(xiàn)的各種不等關(guān)系，這不僅體現(xiàn)了他們能用心感悟弦圖中隱藏的數(shù)學奧秘，而且代表了一種富有創(chuàng)造性的體驗.這種體驗不僅超越了單純結(jié)論的獲取，更是一種深層的體悟過程，為學生們在心智層面上帶來了雙重收獲.

4.2凝智：通過“整理內(nèi)化\"實現(xiàn)悟中學

實踐表明，在完成特定知識模塊的學習后，教師應指導學生進行系統(tǒng)性地梳理小結(jié)，借助概念圖譜、思維導圖及層級結(jié)構(gòu)圖等可視化工具，完成知識結(jié)構(gòu)的多維立體呈現(xiàn)（不同于表層的知識點羅列）與深度建構(gòu).該過程聚焦數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的有機整合，通過揭示概念間的邏輯關(guān)聯(lián)，促進數(shù)學思想方法的內(nèi)化，最終達成對數(shù)學本質(zhì)的深層理解.

如在學完“不等式”單元后，可引導學生進行單元知識梳理小結(jié)，以知識結(jié)構(gòu)圖、概念關(guān)系網(wǎng)作為顯性化載體，將內(nèi)隱的認知網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為具象的知識圖譜[9].

認知發(fā)展規(guī)律揭示，學生知識體系的形成經(jīng)歷著螺旋式進階過程.系統(tǒng)性認知結(jié)構(gòu)的形成，需要依托持續(xù)的概念整合與思維統(tǒng)整.因此，教師應把握時機，根據(jù)學生的認知水平引導學生構(gòu)建知識體系.通過對學習資源（如教材、課堂筆記、練習本等）進行重新組織，運用圖解、樹狀網(wǎng)絡(luò)或模塊化圖表等多元化形式進行知識的再理解，將零散的知識點串聯(lián)并提煉成學習單元中的“大概念”（或“大觀念”），對知識的來龍去脈、邏輯關(guān)系進行深度的思維回.這種系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認知過程就是追本溯源、觸類旁通的“感悟”過程，更是對數(shù)學學科本質(zhì)的整體性“領(lǐng)悟”過程.不僅鞏固了學生的數(shù)學理解基礎(chǔ)，還進一步培育了學生的數(shù)學理性思維，促使他們形成條理清晰、邏輯嚴密的思維品質(zhì).

4.3 悟道：通過“訂正反思”實現(xiàn)悟中學

認知診斷理論指出，在認知過程的起始階段，前概念偏差所形成的錨定效應，會引發(fā)知識表征系統(tǒng)出現(xiàn)一些認知偏差，且該認知偏差的遷移效應會顯著影響問題解決的結(jié)果.“訂正反思”就是針對這樣的認知偏差而引導學生實施的具體舉措，實證研究表明，通過對錯誤的深度剖析和系統(tǒng)性總結(jié)，從具體問題上升到對知識本質(zhì)、思維邏輯或方法論的深層理解.

在“訂正反思”中，首先運用歸因理論對“錯誤”進行歸因分析，完整呈現(xiàn)產(chǎn)生錯誤理解的認知根源，并對這些根源進行多維分析，通過對比“正確解法”與“錯誤解法”的錯位和差異之處，最終經(jīng)由自我解釋策略完成認知圖式的重構(gòu)性表達.在此過程中，教師應指導學生建立個性化錯題歸因機制，鼓勵其根據(jù)自身認知風格選擇適宜的表征方式（如錯題分類、解題反思等），實現(xiàn)“事實性知識”向“方法性知識”再到“價值性知識”[10]的有效轉(zhuǎn)化.這樣的“訂正反思\"模式涵蓋偏差溯源、策略比較及認知重構(gòu)三重加工機制，不僅全面揭示了認知偏差的成因，還深化了對問題本質(zhì)的理解，與此同時，還可以通過激疑生惑構(gòu)建思維支點，借助問題鏈引導學生經(jīng)歷獨立思考、深度探究、協(xié)作對話及思辨論證，最終自主建構(gòu)出合理結(jié)論、創(chuàng)新方案或獨特見解，實現(xiàn)從“術(shù)”到“道”的認知躍遷過程，為后續(xù)元認知重構(gòu)搭建起結(jié)構(gòu)化的學習框架.實際上，這樣的學習過程是以批判性思維培養(yǎng)為核心，著重發(fā)展學生元認知能力與自主學習品質(zhì)，通過系統(tǒng)化歸因分析實現(xiàn)頓悟覺醒，在培育數(shù)學直覺與學科悟性的過程中，鍛造創(chuàng)新思維品質(zhì)與學科核心素養(yǎng).

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作者簡介丁益民（1981—），男，江蘇姜堰人，正高級教師，江蘇省“蘇教名家”培養(yǎng)對象；研究方向為中學教材教法研究.