例析“三次”問題的求解策略

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

“三次\"問題是指以三次方程、三次不等式、三次函數(shù)為背景的問題.近年來，“三次”問題頻繁出現(xiàn)，其與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的融合交匯，成為高中數(shù)學(xué)的一道獨(dú)特“風(fēng)景線”.那么，求解“三次\"問題有哪些基本策略？本文將結(jié)合實(shí)例展開探究.

一、應(yīng)用公式，巧妙求解

解數(shù)學(xué)題離不開數(shù)學(xué)公式.解“三次”問題，首先應(yīng)掌握與“三次\"相關(guān)的公式，如 a³±b³=（a± b）（a²?ab+b²），（a±b）³=a³±3a²b+3ab²±b³， ， 1³+ ，（號(hào) cos3x=4cos³x-3cosx 等.有些“三次”問題可通過應(yīng)用這些與“三次”有關(guān)的公式，進(jìn)行降冪，將“三次\"問題轉(zhuǎn)化為“二次\"問題，進(jìn)而順利解決問題.

[例1]已知 agt;0，bgt;0 ，且 a³+b³+2ab=4 則 a+b 的取值范圍是（ ）.

解析：由 a³+b³+2ab=4 ，得 （a+b）[（a+ b）²-3ab]+2ab=4 ，設(shè) a+b=s ，則 s（s²-3ab）+ 2ab=4 ，解得 因?yàn)?agt;0，bgt;0 ，所以s=a+bgt;0 ， ，解得 或 0lt; 又因?yàn)? ，當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)，等號(hào)成立，所以 ，整理得 ，解得 ，當(dāng)且僅當(dāng)（204號(hào) a=b=1 時(shí)等號(hào)成立，因此 ，即 [文章編號(hào)] 1674-6058（2025）17-0030-03b?2 ，所以 a+b 的取值范圍是 故選B.

評(píng)析：本題先利用立方和公式將原等式變形，再采用換元法，并結(jié)合基本不等式求解，立方和公式的應(yīng)用，旨在實(shí)現(xiàn)局部換元，這是求解本題的切入口.

變式1 已知 a，b，c 為正數(shù)，證明

解析：因?yàn)? 3（a+b）²c+3（a+b）c²+c³=a³+3a²b+3ab²+ b³+3a²c+6abc+3b²c+3ac²+3bc²+c³，a，b，c 為正數(shù)，所以原不等式等價(jià)于 ，展開即需證明a²b⁴+b²c⁴+c²a⁴?ab³c²+bc³a²+ca³b². 令 x=ab² ，y=bc²，z=ca² ，則只需證明 x²+y²+z²?xy+yz+ zx ，即證 2（x²+y²+z²）?2xy+2yz+2zx ，而 x²+y²? 2xy y²+z²?2yz ， x²+z²?2zx ，三式相加可得2（x²+y²+z²）?2xy+2yz+2zx ，所以原不等式得證.

評(píng)析：本題先應(yīng)用二項(xiàng)式定理將 （a+b+c）³ 展開，再利用分析法將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后應(yīng)用基本不等式進(jìn)行證明.在此過程中，公式 （a+b）³=a³+ 3a²b+3ab²+b³ 發(fā)揮了重要的作用.

二、構(gòu)造函數(shù)，巧用性質(zhì)

針對(duì)某些問題，我們不妨從函數(shù)角度入手，從原問題中“抽象”出一個(gè)函數(shù)，再利用該函數(shù)的奇偶性或單調(diào)性來解決問題.

[例2]設(shè)x， y∈R， 滿足 則 x+y=

解析： 可化為2

sint ，函數(shù)定義域?yàn)镽.因?yàn)?f^′（Γ_t）=3t²+2+costgt;0

所以 f（t） 在 R 上單調(diào)遞增.又 f（-t）=（-t）³+2×

（-t）+sin（-t）=-（t³+2t+sint）=-f（t） ，所以 f（t） 為

奇函數(shù).由 即 f（x-1）+f（y-1）=0， （20號(hào)

可得 x-1+y-1=0 ，所以 x+y=2. 故答案為2.

評(píng)析：本題根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造同構(gòu)的形式 定義函數(shù) t³+2t+sint ，判斷出 f（t） 在 R 上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得到 x-1+y-1=0 ，即可求出結(jié)果.

變式2已知函數(shù) f（x）=ax³+bsinx+4（a， （20 b∈R），f（log（log₂10））=5 ，則 ）.

A.-5 B.-1 C.3 D.4

解析：設(shè) 則 g（-x）=a（-x）³+ bsin（-x）=-（ax³+bsinx）=-g（x） ，所以 g（x） 是奇函數(shù).因?yàn)?f（x）=ax³+bsinx+4=g（x）+4 ，所以 f（x）+ f（-x）=8 ，因?yàn)? ，所以 ，則 ，又因?yàn)?f（log（log₂10））= 5，所以 故選C.

評(píng)注：本題設(shè) ，可得 g（x） 是奇函數(shù)，則 f（x）+f（-x）=8 ，又 ，則f（log（log₂10））+f（log（log2））=8， 即可求得

三、函數(shù)方程，相互轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程如同一對(duì)“孿生兄弟”三次函數(shù)與三次方程之間的轉(zhuǎn)化，能更有效地研究“三次\"問題中的根與零點(diǎn)問題，尤其是三次函數(shù)圖象的應(yīng)用，能更直觀地解決原問題.

[例3]若三次函數(shù) f（x）=x³+bx²+cx+d 有極值點(diǎn) x₁，x₂ 且 f（x₁）=x₁ ，設(shè) g（x） 是 f（x） 的導(dǎo)函數(shù)，那么關(guān)于 x 的方程 g（f（x））=0 的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）.

A.6 B.5 C.4 D.3

解析：因?yàn)?f（x）=x³+bx²+cx+d. ，所以 f^′（x）= 3x²+2bx+c ，由題意可得 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 x₁，x₂ ，其中 x₁³+bx₁²+cx₁+ d=x₁，g（f（x））=0 ，則 f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂ ，據(jù)此分類討論：

① 若 x₁2 ，當(dāng) f（x）=x₁ 時(shí)， x=x₁ 或 x=x₃ ；當(dāng)f（x）=x₂ 時(shí)， x=x₄ ，此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂ x₄ （如圖1）.

② 若 x₁gt;x₂ ，當(dāng) f（x）=x₁ 時(shí)， x=x₁ 或 x=x₃ ；當(dāng)f（x）=x₂ 時(shí)， x=x₄ ，此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₄ （如圖2）.

圖2

③ 若 x₁=x₂，f（x） 沒有極值點(diǎn)，不符合題意.

綜上可得，方程 g（f（x））=0 的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3.故選D.

評(píng)析：本題依題意可得 0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 x₁ 和 x₂ ，則問題轉(zhuǎn)化為求解f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂ 的根，再通過分類討論進(jìn)行判斷．求解過程中，函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化和三次函數(shù)圖象的應(yīng)用起到了關(guān)鍵作用.

變式3（多選）已知三次函數(shù) f（x）=x³+ bx²+cx+d 有三個(gè)不同的零點(diǎn) x₁，x₂，x₃（x₁2lt; x₃ ），若函數(shù) 也有三個(gè)不同的零點(diǎn) t₁ t₂，t₃（t₁23） ，則下列等式或不等式一定成立的有.

A. b²lt;3c （2號(hào)

B. t₃gt;x₃ （20

C.x₁+x₂+x₃=t₁+t₂+t₃

D

解析 ：f^′（x）=3x²+2bx+c， 因?yàn)樵瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則 f^′（x）=0 有兩個(gè)不同的實(shí)根，即3x²+2bx+c=0 ，則 Δ=4b²-12cgt;0 ，即 b²gt;3c ，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)槿魏瘮?shù) f（x）=x³+bx²+cx+d （2號(hào)有三個(gè)不同的零點(diǎn) x₁，x₂，x₃（x₁23） ，所以 x³+ bx²+cx+d=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=x³-（x₁+ x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃）x-x₁x₂x₃=0 ，所以 x₁+x₂+x₃=-b，x₁x₂x₃=-d ，同理 t₁+t₂+t₃= -b ， t₁t₂t₃=1-d ，所以 x₁+x₂+x₃=t₁+t₂+t₃ ，（204號(hào) x₁x₂x₃-t₁t₂t₃=-1 ，故C正確， D 錯(cuò)誤；由 f（x） 的圖象（如圖3）與直線 y=1 的交點(diǎn)可知 t₃gt;x₃ B 正確.故選B，C.

圖3

評(píng)析：對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可知 f^′（x）=0 有兩個(gè)不同的實(shí)根，則 Δgt;0 ，據(jù)此可進(jìn)行判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)圖象分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)C和D，根據(jù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合方程化簡(jiǎn)變形進(jìn)行判斷.

四、利用導(dǎo)數(shù)，降次化歸

導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)問題的“利器”，這一點(diǎn)在例3及其變式中已有所體現(xiàn).事實(shí)上，利用導(dǎo)數(shù)不僅能將“三次\"問題轉(zhuǎn)化為“二次”問題，還能研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

[例4]已知函數(shù) f（x）=ax³+bx²+cx+d 在（-∞，1） 上單調(diào)遞減，在 （1，3） 上單調(diào)遞增，在（3，+∞） 上單調(diào)遞減，且函數(shù)圖象在 （2，f（2） ）處的切線與直線 5x+y=0 垂直.

（1）求實(shí)數(shù) a，b，c 的值;

（2）設(shè)函數(shù) f（x）=0 有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 求 d 的取值范圍.

解析：（1）因?yàn)?f^′（x）=3ax²+2bx+c ，所以函數(shù)圖象在 （2，f（2）） 的切線與直線 5x+y=0 垂直，

所以 ；由題意可知， x=

1和 x=3 為方程 f^′（x）=0 的兩根，所以 f^′（1）=

3a+2b+c=0②;f^′（3）=27a+6b+c=0③ ，由

①②③ 解得 （204（2）由（1）得

為 x=1 和 x=3 分別是函數(shù) f（x） 的極小值點(diǎn)和極

大值點(diǎn)，當(dāng) x 取負(fù)值且絕對(duì)值足夠大時(shí)， y 取正值，

當(dāng) x 取正值且足夠大時(shí)， y 取負(fù)值，所以方程 f（x）= （204號(hào)

0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件為

即 所以 d 的取值范圍為 （20dgt;0 ，

評(píng)析：本題以三次函數(shù)為載體，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線方程以及方程根的個(gè)數(shù)等知識(shí).同時(shí)，也從側(cè)面體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解決“三次”問題中的重要作用.

變式4 已知三次函數(shù) x+c 無極值，且滿足 ，則 a²-b²=.

解析：由題設(shè) f^′（x）=ax²+2bx+1 ，則 Δ= 4b²-4a?0 ，即 a?b²gt;0 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b²=4 時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)? ，故 ，可得 4，所以 a²-b²=16-4=12. 故答案為12.

評(píng)析：本題借助原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)已知 f^′（x） 無變號(hào)零點(diǎn)得到 Δ?0 ，即 a?b²gt;0 ，結(jié)合不等關(guān)系及基本不等式有 =8，從而求得目標(biāo)式的值.

由此可見，求解“三次”問題不僅要運(yùn)用與“三次”相關(guān)的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，還要運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并且要重視導(dǎo)數(shù)的工具性作用.

（責(zé)任編輯 黃春香）