一類二維奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程空間對照結(jié)構(gòu)型解

中圖分類號：O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-0993-12

Spatial Contrastive Structural Solutions in a Class of Two-Dimensional Singularly Perturbed Reaction-Diffusion Equations

WU Xiao，QIE Jiayin，XIE Feng （School of Mathematics and Statistics， Donghua University， Shanghai 2O162o， China）

Abstract： We considered a class of two-dimensional singularly perturbed reaction-diffusion problems with discontinuous reaction terms. Firstly，using spatial contrastive structural theory，boundary layer function methods， smooth seaming method，and asymptotic differential inequality methods，we constructed asymptotic expansion of the problem with solutions for the internal layer and boundary layer up to the n order，where n was an arbitary constant. Secondly，we proved the existence and local asymptotic stability of the solution with internal layer，and constructed high-precision asymptotic expansion of the solution. Finally，we applied the obtained theoretical results to a numerical example. Keywords：singular perturbation； reaction-diffusion equation； spatial contrastive structural theory; asymptotic expansion

具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程在流體力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域建模中應(yīng)用廣泛，例如：自動波波陣面在有障礙物的介質(zhì)中的傳播過程[1-2]；溫度在水和空氣之間的傳播過程[3]；超導(dǎo)異質(zhì)納米結(jié)構(gòu)中載流子波函數(shù)的模擬[4等．該類方程的解通常會在不連續(xù)處產(chǎn)生大梯度跳躍，即內(nèi)部層現(xiàn)象，從而可有效反映對應(yīng)的物理變量在介質(zhì)界面上的變化過程，通常將該類方程具有內(nèi)部層的解稱為空間對照結(jié)構(gòu)型解．因此，關(guān)于不連續(xù)的奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散問題的研究備受關(guān)注．文獻(xiàn)[5-8]用邊界層函數(shù)法和漸近微分不等式方法，研究了具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的一維奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散問題，證明了其具有內(nèi)部層的解的存在性和漸近穩(wěn)定性，并構(gòu)造了解的漸近展開式；文獻(xiàn)[9-10]通過引人局部坐標(biāo)變換，將上述方法推廣到具有不連續(xù)非線性項(xiàng)的二維奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散問題穩(wěn)態(tài)方程的研究中，證明了其空間對照結(jié)構(gòu)型穩(wěn)態(tài)解的存在性，構(gòu)造了穩(wěn)態(tài)解的漸近展開式，并證明了穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性.

本文考慮一類具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的二維奇異攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程N(yùn)ewman邊值問題，其中反應(yīng)項(xiàng)間斷的位置曲線隨時間周期變化．先用邊界層函數(shù)法和空間對照結(jié)構(gòu)理論構(gòu)造邊值問題具有內(nèi)部層和邊界層的周期解高精度漸近展開式，再用漸近微分不等式方法證明其解的存在性和局部漸近穩(wěn)定性，并給出其周期解的穩(wěn)定性條件.

邊值問題及假設(shè)條件

考慮下列具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的二維奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散周期邊值問題：

其中△= ?x2+?y≥為Laplace算子，D為xOy平面上具有光滑邊界?D的單連通區(qū)域，0lt;εlt;1為小參數(shù)， n 是曲線 ?D 關(guān)于邊界區(qū)域 D 的外法線.

假設(shè)存在一條完全位于區(qū)域 D 內(nèi)的簡單光滑閉曲線 C（t），t∈R ，滿足

其中 θ（t） 是一個 T 周期光滑函數(shù)．曲線 C（t） 將區(qū)域 D 分為兩部分：以曲線 C（t） 為邊界的區(qū)域記作D^（-） ；以曲線 C（t） 和曲線 ?D 為邊界的區(qū)域記作 D^（+） ．下面給出相關(guān)的假設(shè)條件.

假設(shè)1 假設(shè)函數(shù) f（u，x，y，t，ε） 滿足

其中 I_u 為 u 的取值區(qū)間， f^（-）（u，x，y，t，ε） 和 f^（+）（u，x，y，t，ε） 為充分光滑的函數(shù)，滿足

假設(shè)2假設(shè)退化方程 f^（?）（u，x，y，t，0）=0 分別在區(qū)域 D^（?） 中有充分光滑的退化解 φ^（?）（x，y，t） ，且函數(shù) φ^（?）（x，y，t） 在曲線 C（t） 上滿足下列不等式：

假設(shè)3 假設(shè)函數(shù) f^（?）（u，x，y，t，ε） 滿足

f_u^（+）（φ^（+）（x，y，t），x，y，t，0）gt;0，（x，y）∈D^（+），t∈R.

本文證明問題（1）存在一個光滑解 u（x，y，t，ε） ，滿足在區(qū)域 D^（-） 內(nèi)趨向退化解 u=φ^（-）（x，y，t） 在區(qū)域 D^（+） 內(nèi)趨向退化解 u=φ^?（+）（x，y，t） ，并在曲線 C（t） 的小鄰域內(nèi)從退化解 u=φ^（-）（x，y，t） 附近迅速變化到退化解 u=φ^?（+）（x，y，t） 附近．為研究曲線 C（t） 小鄰域內(nèi)解的性質(zhì)，先引入坐標(biāo)變換 （r，α） ，滿足

其中： α（θ） 是曲線 C（t） 上的內(nèi)法線與 y 軸之間的夾角，滿足

∣r∣ 表示曲線 C（t） 一個鄰域內(nèi)的點(diǎn) M（x，y） 沿法線到該曲線的距離．假設(shè) r 滿足： rgt;0 ， M∈D^（-） ;（204號 r=0，M∈C（t）;rlt;0，M∈D^?（+）.

考慮輔助方程

其中 θ 和 Ψ_t 可視為參數(shù)．根據(jù)假設(shè)2，輔助方程（2）在相平面（204號 （τσ，σ） 內(nèi)有兩個平衡點(diǎn) （φ^（-）（θ，t），0） 和 （φ^（+）（θ，t），0） ，這里 ，且兩個平衡點(diǎn)對應(yīng)的特征方程為

λ²-f_u^?）（φ^?）（θ，t），θ，t）=0.

這兩個特征方程分別存在兩個符號互異的特征根：

因此平衡點(diǎn) （φ^（-）（θ，t），0） 和 （φ^（+）（θ，t），0） 都是鞍點(diǎn)．于是在相平面 （z，w） 內(nèi)，本文假設(shè)平衡點(diǎn)（φ^（?）（θ，t），0） 的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形如下.

假設(shè)4假設(shè)鞍點(diǎn) （φ^（-）（θ，t），0） 的不穩(wěn)定流形可表示為 ， w=w^（-）（ζ，θ，t） ，并與w=p∈（φ^（-）（θ，t），φ^（+）（θ，t）） 相交．特別地，相交點(diǎn)對應(yīng)于輔助系統(tǒng)在 ζ=0 處的值，且鞍點(diǎn)對應(yīng)于輔助系統(tǒng)在 ζ=-∞ 處的值．類似地，鞍點(diǎn) （φ^（+）（θ，t），0） 的穩(wěn)定流形可表示為 w=w^（+）（ζ，θ，t） ，并與 w=p∈（φ^（-）（θ，t），φ^（+）（θ，t）） 相交．相交點(diǎn)對應(yīng)于輔助系統(tǒng)在 ζ=0 處的值，且鞍點(diǎn)對應(yīng)于輔助系統(tǒng)在 5=+∞ 處的值.

鞍點(diǎn) （φ^（-）（θ，t），0） 的不穩(wěn)定流形和鞍點(diǎn) （φ^（+）（θ，t），0） 的穩(wěn)定流形可分別表示為

定義函數(shù)

滿足下列假設(shè)：

假設(shè)5假設(shè)方程 H（?_P，θ，t）=0 存在唯一解 p₀（θ，t）∈（φ^?（-）（θ，t），φ^?（+）（θ，t）） ，且

假設(shè)4和假設(shè)5表明在鞍點(diǎn) （φ^（-）（θ，t），0） 和 （φ^（+）（θ，t），0） 之間有相連接的異宿軌，且由該異宿軌可得下列問題的解存在：

2 形式漸近展開式

下面用邊界層函數(shù)法構(gòu)造問題（1）的形式漸近展開式．首先，分別考慮問題（1）在區(qū)域 D^（-） 和D^（+） 內(nèi)的子問題：

和

其中 ?（θ，t，ε） 為待定函數(shù)，滿足

分別構(gòu)造問題（5）和問題（6）的形式漸近展開式為

其中：函數(shù) 為展開式的正則項(xiàng)，滿足

函數(shù) Q^（?）（ξ，θ，t，ε） 為曲線 C（t） 鄰域內(nèi)的內(nèi)部層項(xiàng)，滿足

這里 ξ=r/ε ，且內(nèi)部層項(xiàng)必須滿足 Q^（?）（?∞，θ，t，ε）=0 ；函數(shù) R（η，γ，t，ε） 為曲線 ?D 鄰域內(nèi)的邊界層項(xiàng)，滿足

R（η，γ，t，e）=R₀（η，γ，t）+eR₁（η，γ，t）+…+e^kR_k（η，γ，t）+…，

這里 （r₁，γ） 為曲線 ?D 鄰域內(nèi)的局部坐標(biāo)， η=r₁/ε ，且邊界層項(xiàng)必須滿足 R（+∞，γ，t，ε）=0 .結(jié)合U^（-） 和 U^（+） ，可得問題（1）的形式漸近展開式為

將形式漸近展開式 U^（?） 分別代人問題（5）和問題（6），并根據(jù)快慢不同尺度進(jìn)行分離，可分別得確定正則項(xiàng)、內(nèi)部層項(xiàng)和邊界層項(xiàng)的方程.

2.1 正則項(xiàng)

確定漸近展開式 U^（?）（x，y，t，ε） 中正則項(xiàng) 的方程為

先將正則項(xiàng)表達(dá)式（8）代入方程（11），再將右端函數(shù)展開成關(guān)于小參數(shù) ε 冪級數(shù)的形式，并比較方程兩邊 ε 的各階系數(shù)可得確定正則項(xiàng)系數(shù) 的方程．確定正則項(xiàng) 中首次項(xiàng)系數(shù) 的方程為

易見，方程（12）是退化方程．因此，由假設(shè)1可得正則項(xiàng)的首次項(xiàng)系數(shù)為

同理，確定系數(shù) 的方程為

其中： ，記號 有類似的表達(dá)式；h_k^（?）（x，y，t） 為由 構(gòu)成的已知函數(shù)，例如，

由假設(shè)3可知方程（13）的解為

2.2 內(nèi)部層項(xiàng)

為便于計(jì)算，先將問題（1）中的微分算子轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量 （ξ，θ，t） 的形式：

將式（14）等號右邊偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)按Taylor級數(shù)展開，可得

+y）3/z，L；表示變量和θ的一階或二階線性微分算子，因此，確定漸近展開式 U^（?）（x，y，t，ε） 內(nèi)部過渡層項(xiàng)（9）的方程為

類似地，將內(nèi)部層項(xiàng)（9）代人方程（15），并將右端函數(shù)展開成關(guān)于小參數(shù) ε 冪級數(shù)的形式，比較方程兩邊 ε 的各階系數(shù)可得確定內(nèi)部層各階項(xiàng)系數(shù) Q_i^（?）（x，y，t）（i≥0） 的方程．確定內(nèi)部層零階項(xiàng)系數(shù)函數(shù)Q₀^（?）（ξ，θ，t） 的邊值問題為

φ^（?）（θ，t）+Q₀^（?）（0，θ，t）=ρ₀（θ，t），Q₀^（?）（?∞，θ，t）=0.

引入記號

于是問題（16）可寫為

由假設(shè)4可知，邊值問題（17）的解 存在，并滿足

其中 x 和 κ 為與小參數(shù) ε 無關(guān)的正常數(shù)．因此，內(nèi)部層零階項(xiàng)系數(shù) Q₀^（?）（ξ，θ，t） 滿足指數(shù)估計(jì)

∣Q₀^?（?）（ξ，θ，t）∣lt;χexp{-κ∣ξ∣}.

同理，確定內(nèi)部層項(xiàng) k 階函數(shù) Q_k^?（?）（ξ，θ，t）（k≥1） 的邊值問題為

其中：

記號 似表達(dá)式；函數(shù)Q_kf^（?）（ξ，θ，t） 為由 和 Q_j^（?）（ξ，θ，t）（0?j?k-1） 構(gòu)成的已知函數(shù)，滿足類似式（18）的指數(shù)估計(jì)，例如，

易見，問題（19）是一個線性非齊次邊值問題．因此問題（19）的解為

顯然，函數(shù) Q_k^（?）（ξ，θ，t） 滿足指數(shù)估計(jì) ∣Q_k^?（?）（ξ，θ，t）∣lt;χexp{-κ∣ξ∣}

為得到問題（1）光滑的形式漸近展開式，函數(shù) U^（-）（x，y，t，ε） 和 U^（+）（x，y，t，ε） 需在曲線 C（t） 上滿足光滑縫接條件：

于是，將式（8）和式（9）代入條件（21），可得

比較式（22）等號兩端 ε^° 的系數(shù)，可得零次光滑縫接條件：

因此，由假設(shè)5可知函數(shù) ?₀（θ，t） 的值唯一確定.

同理，可得 k 次光滑縫接條件：

結(jié)合式（20）和式（23），可得

其中

顯然， G_k（θ，t） 為已知函數(shù).

2.3 邊界層項(xiàng)

假設(shè)邊界曲線 ?D 的方程滿足下列形式：

其中γ為參數(shù)．在曲線 ?D 的鄰域內(nèi)引入坐標(biāo)變換 （r₁，β） ，滿足

其中： β（γ） 為曲線 ?D 的內(nèi)法線與 y 軸之間的夾角，且

表示曲線 ?D 一個鄰域內(nèi)的點(diǎn) M（x，y） 沿法線到該曲線的距離．假設(shè) r 滿足： rgt;0 ， M∈D^（+） ;r=0，M∈?D. （204

將問題（1）的微分算子寫成關(guān)于變量 η，γ 和 t 的形式：

L_i η R（η，γ，t，ε） 的方程和邊界條件為

類似于內(nèi)部層項(xiàng)以及文獻(xiàn)[11]中邊界層項(xiàng)的計(jì)算過程，可依次得到邊界層項(xiàng)的各階表達(dá)式，且滿足指數(shù)估計(jì).

3 解的存在性

下面用微分不等式方法[12-14]證明邊值問題（1）解 u（x，y，t，ε） 的存在性，并給出解 u（x，y，t，ε） 與所構(gòu)造漸近展開式之間的誤差估計(jì)．根據(jù)函數(shù) f^（?）（u，x，y，t，ε） 的光滑性，可得式 （8）～（10） 任意階的系數(shù)，定義前 n 項(xiàng)和的表達(dá)式為

其中

從而可得下列關(guān)于問題（1）解的存在性定理.

定理1如果假設(shè) 1～ 假設(shè)5成立，則對充分小的 εgt;0 ，邊值問題（1）存在具有內(nèi)部層和邊界層的解 u（x，y，t，ε） ，且滿足

其中 C 為與 ε 無關(guān)的正常數(shù).

證明：若存在周期連續(xù)函數(shù) α（x，y，t，ε） 和 β（x，y，t，ε） 滿足下列條件：

1）

2）

3）

4）

則根據(jù)文獻(xiàn)[15-16]可知，它們分別是問題（1）的下解和上解，且問題（1）的解 u（x，y，t，ε） 存在，滿足α（x，y，t，ε）?u（x，y，t，ε）?β（x，y，t，ε）.

因此，構(gòu)造函數(shù)

和

其中 μ 為正常數(shù)，函數(shù) q^（?）（ξ，θ，t），R_β（η，γ，t） 和 R_α（η，γ，t） 為待定函數(shù).

函數(shù) q^（?）（ξ，θ，t） 用于消除由常數(shù) μ 導(dǎo)致的內(nèi)部層 （n+1） 次項(xiàng)系數(shù)的變化．因此，確定函數(shù)q^（?）（ξ，θ，t） 的邊值問題為

q^（?）（0，θ，t）+μ=δ，q^（?）（?∞，θ，t）=0，

其中 ，這里 d 和 κ 為待定正常數(shù)．易見問題（29）的解為

因此，選取適當(dāng)正數(shù) δ，d 和 κ ，使得 δ-μgt;0 ， qf^（?）（ξ，θ，t）lt;0 ，從而可得 q^（?）（ξ，θ，t） 恒為正數(shù)．函數(shù)R_β（η，γ，t） 和 R_α（η，γ，t） 用于彌補(bǔ)由常數(shù) μ 導(dǎo)致的邊界層 （n+1） 次項(xiàng)系數(shù)的變化．類似文獻(xiàn)［11]的方法可得函數(shù) R_β（η，γ，t） 和 R_α（η，γ，t） ，并選取合適的常數(shù)使得函數(shù) R_β（η，γ，t） 和 R_α（η，γ，t） 恒為正.

下面證明函數(shù) β（x，y，t，ε） 和 α（x，y，t，ε） 分別是問題（1）的上解和下解．在區(qū)域 和 內(nèi)，有

（204號 β+）（x，） '，t，ε）-α^（+）（x，y，t，ε）=εⁿ⁺¹（2μ+2q^（≠）（ξ，θ，t）+R_β（η，γ，t）+R_α（η，γ，t））+O（εⁿ⁺²） gt;0.于是，函數(shù) β（x，y，t，ε） 和 α（x，y，t，ε） 滿足條件1）.

下面證明函數(shù) β（x，y，t，ε） 滿足條件2），由函數(shù) β（x，y，t，ε） 的表達(dá)式，有

因此函數(shù) β（x，y，t，ε） 滿足條件2）.同理可得函數(shù) α（x，y，t，ε） 也滿足條件2）.

由函數(shù) β（x，y，t，ε） 和 α（x，y，t，ε） 的構(gòu)造易知條件3）成立.

對于條件4），函數(shù) β（x，y，t，ε） 滿足

其中

由假設(shè)5知，可選取 δ 滿足 δ≥_μ+max_ι∈R∣（θ，t）∣ 使得等號右邊的表達(dá)式為正．因此，函數(shù) β（x，y，t，ε） 滿足條件4）．同理可證函數(shù) α（x，y，t，ε） 也滿足條件4）.

綜上可知，問題（1）的解 u（x，y，t，ε） 存在，且滿足

α（x，y，t，ε）?u（x，y，t，ε）?β（x，y，t，ε）.

進(jìn)一步，由條件 1）～4） 和上下解的構(gòu)造可知，解 u（x，y，t，ε） 與漸近展開式前 n 項(xiàng)和 U_n（x，y，t，ε） 之間的誤差估計(jì)為

4解的局部漸近穩(wěn)定性

下面討論問題（1）周期解 u（x，y，t，ε） 的局部漸近穩(wěn)定性．先考慮下列奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程初邊值

問題：

v（x，y，0，ε）=v⁰（x，y，ε），（x，y）∈D，t∈R⁺.

易見問題（1）的周期解 u（x，y，t，ε） 是問題（33）關(guān)于初值 v⁰（x，y，ε）=u（x，y，0，ε） 的解．因此，可給出下列解的局部漸近穩(wěn)定性定理.

定理2如果假設(shè) 1～ 假設(shè)5成立，則對充分小的 ε ，問題（1）的周期解 u（x，y，t，ε） 是局部漸近穩(wěn)定的，且吸引域?yàn)?/p>

α₁^（?）（x，y，t，ε）?u（x，y，t，ε）?β₁^（?）（x，y，t，ε），

其中函數(shù) α₁^（?）（x，y，t，ε） 和 β₁^（?）（x，y，t，ε） 分別為 n=0 情形下式（28）和式（27）的形式.

證明：構(gòu)造下列函數(shù)：

其中 ρgt;0 ， α（x，y，t，ε） 和 β（x，y，t，ε） 分別是邊值問題（1）的下解和上解．下面證明函數(shù) 和 分別是初邊值問題（33）的下解和上解.

由函數(shù) 和 的構(gòu)造以及函數(shù) α（x，y，t，ε） 和 β（x，y，t，ε） 的性質(zhì)可知，函數(shù) 和 滿足定理1證明中的條件1），3），4）.

下面證明函數(shù) 滿足定理1證明中的條件2）．將算子 L_ε 作用于函數(shù) ，可得

其中 f_uu^*=f_uu（u+θ₂（β-u）e^-μt+θ₃（θ₂e^-ρt-θ₁）（β-u）），0lt;θ₁，θ₂，θ₃lt;1. 因此可知函數(shù) 滿足條件2）．同理，可證函數(shù) 也滿足條件2）.

由文獻(xiàn)[16]知，如果問題（33）的初值滿足 ，則函數(shù) 和 分別是問題（33）的下解和上解．因此對充分小的 ε ，初邊值問題（33）的解?v（x，y，t，ε） 存在，并滿足

故對固定的 0lt;ε?1 ，有

證畢.

5實(shí)例

考慮下列邊值問題：

其中

曲線 C（t） 的方程為 x²+y²=4（sin²t+1） ，滿足 cos θ ， ，通過求解f（u，x，y，t）=0 ，可得 φ^（?）（x，y，t） 的形式為

φ^（-）（x，y，t）=（x²+y²）（sin²t+1），x²+y²lt;4（sin²t+1），

并可得 φ^（?）（x，y，t） 在曲線 C（t） 上的值為

由于 φ^?（-）（t）gt;φ^?（+）（t） 和 f_u^（?）=1gt;0 ，所以滿足假設(shè)2和假設(shè)3．易得正則項(xiàng)零次項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式為

在曲線 C（t） 的一個鄰域內(nèi)，將坐標(biāo) （x，y） 通過以下變換轉(zhuǎn)化為 （ξ，θ） ：

確定 Q₀^（?） 的方程為

易見方程（35）為二階線性非齊次方程，解得

通過匹配條件（22），可得 p₀（t） 的表達(dá)式為

類似可得邊界層零次項(xiàng)系數(shù)為 R（η，γ，t）=0

綜上可知，問題（34）解的零階漸近展開式為

其中

圖 1～ 圖8分別為當(dāng) t=0，π/4，π/2，3π/4 時問題（34）的解的零階漸近近似圖像及俯視圖．由圖1～圖8易見，問題（34）的解在曲線 C（t） 附近發(fā)生跳躍，在區(qū)域 D^（-） 內(nèi)趨向退化解 u=φ^（-）（x，y，t） ，在區(qū)域 D^（+） 內(nèi)趨向退化解 u=φ^?（+）（x，y，t） ，且解內(nèi)部層的位置隨時間周期變化.

綜上所述，本文研究了一類具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的二維奇異攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程的空間對照結(jié)構(gòu)型解．首先，用空間對照結(jié)構(gòu)理論和邊界層函數(shù)法，結(jié)合漸近微分不等式方法和光滑縫接法，構(gòu)造了邊值問題具有內(nèi)部層和邊界層的解直到 n 階的漸近展開式，其中 n 為任意常數(shù)；其次，證明了邊值問題空間對照結(jié)構(gòu)型解的存在性和局部漸近穩(wěn)定性，并給出了穩(wěn)定性條件；最后，給出一個實(shí)例，由圖像清晰可見解在曲線 C（t） 處發(fā)生了跳躍，表明這類應(yīng)用問題可使用本文算法構(gòu)造的漸近解進(jìn)行分析，加強(qiáng)了具有二維奇攝動反應(yīng)擴(kuò)散方程的數(shù)學(xué)模型問題在多領(lǐng)域中的作用.

參考文獻(xiàn)

[1]SIDOROVA A E，LEVASHOVA N T， MELNIKOVA A A，et al. Autowave Self-organization in Heterogeneous Natural-Anthropogenic Ecosystems [J]. Moscow Univ Phys Bull， 2016，71（6）： 562-568.

[2]LEVASHOVA N T， MELNIKOVA A A， LUK'YANENKO D V， et al. Modeling of Ecosystems as a Process of Self-organization [J]. Mat Model，2017，29（11）：40-52.

[3]LEVASHOVA N T，NIKOLAEVA O A，PASHKIN A D. Simulation of the Temperature Distribution at the Water-Air Interface by Using the Theory of Contrast Structures [J].Moscow Univ Phys Bull，2015，70（5）： 341-345.

[4] ORLOV A O， LEVASHOVA N， BURBAEV T. The Use of Asymptotic Methods for Modeling of the Carriers Wave Functions in the Si/SiGe Heterostructures with Quantum-Confined Layers [J]. J Phys Conf Ser，2015， 586：012003-1-012003-5.

[5]NEFEDOV N N，NI M K. Internal Layers in the One-Dimensional Reaction-Diffusion Equation with a Discontinuous Reactive Term [J]. Comput Math Math Phys，2015，55（12）： 2001-2007.

[6]LEVASHOVA N T，NIKOLAEVA O A. Asymptotic Study of the Solution to the Heat Equation near the Interface between Two Media [J]. Model Anal Inf Sist，2017，24（3）：339-352.

[7]NI M K，PANG Y F，LEVASHOVA N T，et al. Internal Layers for a Singularly Perturbed Second-Order Quasilinear Differential Equation with Discontinuous Right-Hand Side [J]. Difer Equat， 2Ol7，53（12）： 1567-1577.

[ 8]LEVASHOVA N T， NEFEDOV N N， NIKOLAEVA O A，et al. The Solution with Internal Transition Layer of the Reaction-Diffsion Equation in Case of Discontinuous Reactive and Diffusive Terms [J]. Math Methods Apl Sci，2018，41（18）：9203-9217.

[9]LEVASHOVA N T，NEFEDOV N N， ORLOV A O. Time-Independent Reaction-Difusion Equation with a Discontinuous Reactive Term [J]. Comput Math Math Phys，2017，57（5）： 854-866.

[10]LEVASHOVA N T，NEFEDOV N N， ORLOV A O. Asymptotic Stability of a Stationary Solution of a Multidimensional Reaction-Difusion Equation with a Discontinuous Source [J].Comput Math Math Phys，2019， 59（4）： 573-582.

[11] VASILEVA A B，BUTUZOV V F. Asymptotic Methods in Singular Perturbation Theory [M]. Moscow： Vysshaya Shkola，1990：6-28.

[12] NEFEDOV NN. The Method of Diferential Inequalities for Some Singularly Perturbed Partial Differential Equations[J]. DifferUravn，1995，31（4）：719-722.

[13]NEFEDOV N N.An Asymptotic Method of Diferential Inequalities for the Investigation of Periodic Contrast Structures：Existence，Asymptotics，and Stability [J]. Differ Equat， 200o，36（2）：298-305.

[14]PAO C V. Nonlinear Parabolic and Eliptic Equations [M]. New York： Springer，1992：56-64.

[15] SATTINGER D H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems[J]. Indiana U Math J，1972，21（11）：979-1000.

[16]DE COSTER C，OBERSNEL F，OMARI P. A Qualitative Analysis，via Lower and Upper Solutions of First Order Periodic Evolutionary Equations with Lack of Uniqueness [M]//Handbook of Differential Equations， Vol. Il.Amsterdam：Elsevier，2006：203-339.

（責(zé)任編輯：李琦）