高考概率與統(tǒng)計試題命制特點探析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0042-05引用格式：，等．高考概率與統(tǒng)計試題命制特點探析：以2021—2024年高考數(shù)學全國卷為例[J].中國數(shù)學教育（高中版），2025（6）：42-46.

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）將概率與統(tǒng)計作為高中數(shù)學課程內(nèi)容的四條主線之一，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計在高中數(shù)學教育中的重要地位和教學價值.

作為數(shù)學學科考試的關鍵組成部分，概率與統(tǒng)計在高考實行文理科融合的改革背景下，其考試形式、考查內(nèi)容和育人要求等也隨之發(fā)生變化.這一系列變化使得對概率與統(tǒng)計試題的結構設計、內(nèi)容分析和育人內(nèi)涵的深入研究顯得尤為重要．下面，筆者從題型分值和綜合難度、知識點分布和試題情境、核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)等方面對2021一2024年高考數(shù)學試卷（數(shù)學文理不分卷稱為“新高考”，數(shù)學文理分卷稱為“舊高考”）中的概率與統(tǒng)計試題進行對比分析，探析新高考背景下該主線的命題趨勢，以期為一線教師的教學實踐提供參考.

二、研究設計

1.研究對象

選取2021—2024年共16份高考數(shù)學試卷中的概率與統(tǒng)計試題作為研究對象．新高考選?、窬怼ⅱ蚓恚粸楸ＷC研究結果兼具代表性與時效性，舊高考選取2021一2023年全國廣泛使用的全國乙卷（理科、文科），同時鑒于2024年高考進行重大調(diào)整，原全國甲卷與全國乙卷實施合并，形成新的全國甲卷.作為舊高考收官階段的典型試卷，2024年全國甲卷理科、文科同樣納入舊高考樣本范疇.

2.研究框架

（1）試題結構：題型分值和綜合難度.

作為試卷設計的表層結構，題型分值和難度水平直接體現(xiàn)了考試的基本框架和要求，為師生提供了明確的指導和預期．下面，筆者對試題題型分值進行量化統(tǒng)計，利用高考數(shù)學試題綜合難度模型來評估概率與統(tǒng)計試題的難度.

（2）試題內(nèi)容：知識點分布和試題情境.

對概率與統(tǒng)計知識的梳理有利于把握核心知識，明確考查方向.基于《標準》對概率與統(tǒng)計主線的內(nèi)容要求，將其劃分為3個一級知識和24個二級知識，具體內(nèi)容與編碼如表1所示．其他知識將在后續(xù)編碼過程中單獨列出.

表1概率與統(tǒng)計知識點編碼

與其他主線的試題相比，概率與統(tǒng)計試題具有比較豐富的情境.通過應用文獻[5]構建的比較科學、完善的情境類型分析框架，對概率與統(tǒng)計的試題情境進行統(tǒng)計與分析.

（3）試題價值：核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).

測評高考對數(shù)學核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)的考查情況，有助于全面評價學生在數(shù)學學科上的表現(xiàn)和發(fā)展?jié)摿Γ旅?，基于?shù)學核心素養(yǎng)評價框架和數(shù)學思維品質(zhì)評價框架分別對概率與統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計與分析.

三、命題變化情況分析

1．試題結構

高考數(shù)學試卷中概率與統(tǒng)計試題的題型與分值統(tǒng)計如表2所示.

表2試題題型與分值統(tǒng)計

從考查題型與分值來看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題保持“兩小一大”的題型分布，考查總分為21～27 分，占試卷總分的 14%～18% 新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題年均考查題量為3道，年均考查分值為22.5分，略高于舊高考的題量（年均考查題量不足3道）與分值（年均考查分值為20.75分）.

從考查難度來看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的難度高于舊高考．依據(jù)數(shù)學高考綜合難度模型對概率與統(tǒng)計試題進行逐一編碼賦值，統(tǒng)計各難度因素不同水平的題量與占比，并將統(tǒng)計結果代入 （∑n=n， i=1 ，2，…，7； j=1 ，2，…）計算每個因素的難度系數(shù) d_i （ i=1 ，2，…，7），其中 n_ij 表示第 i 因素、第 j 難度水平的試題數(shù)量， d_ij 表示第 i 指標、第 j 難度水平的權重， n 表示該組試題的總數(shù)量，進一步根據(jù)公式 計算試卷綜合難度系數(shù) D_- 經(jīng)統(tǒng)計得到表3.新高考和舊高考試卷中概率與統(tǒng)計試題的難度分別為： D_#F=13.00 ， D_⊥=11.87 ，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的順序發(fā)生后移、難度提升，表現(xiàn)在：重視對推理能力的考查，試題的高度綜合性和解題步驟的繁復性對學生的推理能力提出了更高的要求；提高了運算水平的難度，部分試題技巧性強且計算量大；增加逆向思維題量，學生若按常規(guī)思路列舉滿足題設的各種情況，容易出現(xiàn)重復或遺漏的問題，故運用逆向思維解決問題變得尤為關鍵.

表3試題難度統(tǒng)計

2.試題內(nèi)容

如表4，從知識點分布來看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的知識點分布更廣，且出現(xiàn)了與其他知識的融合考查.新高考試卷中的概率知識占比（ 43.75% ）遠高于舊高考試卷中概率知識占比（ 28.95% ），而新高考試卷中統(tǒng)計知識占比（ 22.92% ）則略低于舊高考試卷中統(tǒng)計知識占比（ 31.58% ）.與函數(shù)主題知識的交會考查，是新高考概率與統(tǒng)計試題編排的特點之一，這增加了概率與統(tǒng)計試題的復雜性和創(chuàng)新性.

表4試題考查知識點統(tǒng)計

如圖1，從試題情境來看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題主要圍繞科學情境展開，占比高達 62.50% ，試題融人了微生物繁衍、物理量分析等跨學科情境和流行病傳染等國際公共衛(wèi)生問題.舊高考試卷中概率與統(tǒng)計試題在情境設計上展現(xiàn)出了多樣化的特點，其中個人情境、職業(yè)情境、科學情境占比相對均衡，社會情境占比相對較少.

圖1試題情境各類型占比折線圖

3.試題價值

如圖2，在數(shù)學核心素養(yǎng)方面，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的考查水平更高，且在數(shù)學建模素養(yǎng)方面表現(xiàn)得尤為突出．新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題在評估學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)時，均達到了水平三的考查深度，在數(shù)學建模素養(yǎng)方面，試題的考查涵蓋了水平一、水平二、水平三多個層次，而舊高考試卷中對學生數(shù)學建模素養(yǎng)的考查則局限于水平一這一基礎層次.

隨著新高考改革的持續(xù)推進與新教材的全面落地，概率與統(tǒng)計和數(shù)學建模的融合趨勢愈發(fā)顯著，新的教育形勢對學生的數(shù)學建模素養(yǎng)提出了更高要求，這一變化在高考概率與統(tǒng)計試題的編制中也有所體現(xiàn)．以2023年新課標I卷第21題對學生數(shù)學建模素養(yǎng)的考查為例，模型素材選自學生熟悉的“投籃命中”這一具有隨機現(xiàn)象特征的真實情境，將概率模型（全概率公式）與統(tǒng)計模型（兩點分布）進行融合考查.該題第（2）小題通過追問“求第i次投籃的人是甲的概率”，引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，對全概率公式進行創(chuàng)造性應用與拓展，構建并求解概率遞推模型，符合數(shù)學建模素養(yǎng)水平三的要求.

如表5，在思維品質(zhì)方面，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題覆蓋多個思維品質(zhì)，展現(xiàn)了較為均衡的數(shù)學認知結構，全面考查了學生的數(shù)學思維品質(zhì)．其中， 29.17% 的概率與統(tǒng)計試題的知識結構相對簡單，對學生的數(shù)學思維品質(zhì)要求相對較低； 25% 的概率與統(tǒng)計試題要求學生將相關的知識點進行線性串聯(lián)，考查學生思維的廣闊性； 29.17% 的概率與統(tǒng)計試題則呈現(xiàn)出由點到面的知識結構特點，如2022年新高考全國Ⅱ卷第12題，學生需按要求將事件拆分為互斥事件、相互獨立事件，并利用概率加法和乘法公式進行求解，對學生思維的靈活性和敏捷性提出了較高要求.新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題多次作為壓軸題出現(xiàn)，引導學生在復雜多變的情形下準確抓住數(shù)學對象的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系，突出考查了學生思維品質(zhì)的深刻性．舊高考試卷中概率與統(tǒng)計試題主要考查學生數(shù)學思維品質(zhì)的廣闊性、靈活性、敏捷性，其中廣闊性考查尤為顯著，占比超五成，而思維的深刻性并未涉及．舊高考試卷對學生思維的靈活性、敏捷性、深刻性考查要求較低，題目條件直接明了，解題過程技巧性不高，所需思維量較小.

表5概率與統(tǒng)計試題思維品質(zhì)各類型占比

四、結論與啟發(fā)

1.試題考查內(nèi)容綜合化，教學需強化知識關聯(lián)性

相較于舊高考試卷，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的設計具有綜合化特征．試題的題量和分值占比有所增加，難度水平也得到了提升，考查知識的范圍更加廣泛.更重要的是，該領域試題呈現(xiàn)出與其他領域深度融合、創(chuàng)新考查的趨勢．因此，在教學過程中，教師應該深入理解課程知識的整體邏輯結構，細致梳理概率與統(tǒng)計主線中各概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，并注重概率與統(tǒng)計知識與其他數(shù)學知識的交叉融合，如引導學生利用數(shù)列求解概率問題、運用函數(shù)和導數(shù)等工具分析數(shù)據(jù)的分布特征等.

2.試題設計情境科學化，教學需布局問題科學化

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的情境創(chuàng)設呈現(xiàn)出鮮明的科學化特征，高度重視學科間的交叉與融合.科學化的情境試題既能助力學生深化知識的理解與掌握，又能直觀展現(xiàn)概率與統(tǒng)計試題的現(xiàn)實應用價值，同時，跨學科的問題情境設計進一步考查了學生的綜合應用能力．因此，在教學過程中，教師要著重圍繞科學的問題進行精心設計確保試題既貼近實際又符合科學原理．為此，教師應該密切關注科技、經(jīng)濟等科學領域的發(fā)展動態(tài)，將相關熱點話題巧妙融入教學．通過創(chuàng)設跨學科的問題情境，強化數(shù)學與其他學科之間的關聯(lián)，從而有效提高學生跨學科解決問題的能力．

3.試題凸顯數(shù)學建模素養(yǎng)，教學需精選建模素材

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題的模型精確、真實，設問層層遞進，凸顯了高考對數(shù)學建模素養(yǎng)考查的重要性．這要求教師積極整合數(shù)學建模的經(jīng)典案例與資源，并將其有效融入日常教學.教師應該深入研讀教材，靈活運用其中的建模實例，引導學生深刻領會建模思想，規(guī)范建模過程．教師需要在教材的基礎上勇于創(chuàng)新，精心挑選既新穎、有趣又兼具科學性、實用性的數(shù)學建模素材，以滿足教學活動的實際需要，確保教學內(nèi)容緊跟時代步伐，從而有效提升學生的數(shù)學建模能力，

4.試題考查多種思維品質(zhì)，教學需加強思維訓練

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計試題涉及了多個數(shù)學思維品質(zhì)，包括廣泛性、靈活性、敏捷性、深刻性，構成了較為均衡的數(shù)學認知結構．這啟示教師在教學中要重視對學生思維品質(zhì)的全面培養(yǎng)、增加學生的思維寬度，多角度挖掘數(shù)學問題的內(nèi)在聯(lián)系、激發(fā)學生的思維靈性，鼓勵學生靈活遷移與變通知識、培養(yǎng)學生的思維能力，提升學生的數(shù)學洞察力、挖掘?qū)W生的思維深度，利用數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯體系，為學生構建循序漸進的認知階梯，通過嚴謹?shù)乃季S方式與活動實現(xiàn)對數(shù)學問題本質(zhì)的深刻認識.

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