數(shù)學(xué)模型在高中生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

[中圖分類號] G633.91 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號] 1674-6058（2025）17-0071-04

在教育改革持續(xù)深化的大背景下，生物學(xué)科的學(xué)習(xí)難度顯著提升，新高考模式對學(xué)生的綜合素養(yǎng)也提出了更高要求。學(xué)生不僅要熟練掌握大量的理論知識和基礎(chǔ)概念，還需具備較強(qiáng)的邏輯思維、數(shù)據(jù)分析能力以及知識遷移運(yùn)用能力。而數(shù)學(xué)模型作為結(jié)合了數(shù)學(xué)邏輯知識的一種模型，具有非常強(qiáng)的邏輯性以及條理性，通常用于具有較強(qiáng)抽象性生物學(xué)知識的教學(xué)過程當(dāng)中，并根據(jù)具體的教學(xué)情況來進(jìn)行知識表達(dá)[1]。因此，高中生物學(xué)教師應(yīng)明確把握教材中的教學(xué)重點，充分挖掘生活中與生物學(xué)知識緊密相關(guān)的場景，多角度展示數(shù)學(xué)模型在解題過程中的應(yīng)用，并從復(fù)雜多樣的數(shù)學(xué)模型中挑選出最為適配的融人教學(xué)中，以此增強(qiáng)教學(xué)的針對性與精準(zhǔn)度，從而使學(xué)生在生物學(xué)學(xué)習(xí)中能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題

一、問題的提出

高中生物學(xué)課程所涵蓋的知識領(lǐng)域十分廣泛，從微觀層面的細(xì)胞精細(xì)結(jié)構(gòu)以及分子作用機(jī)制，到宏觀范疇的生態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律與生物多樣性，涵蓋了眾多復(fù)雜概念。在實際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生很難直觀地理解這些較為抽象的概念和復(fù)雜的生理過程，往往只能對生物學(xué)科中的大量理論知識和基礎(chǔ)概念進(jìn)行簡單的記憶。這種表面化的學(xué)習(xí)會導(dǎo)致學(xué)生對生物學(xué)知識之間的聯(lián)系缺乏理解。在面對相關(guān)習(xí)題時，尤其是涉及定量分析的題目時，學(xué)生會感到無從下手，無法準(zhǔn)確地從中挖掘數(shù)據(jù)背后的生物學(xué)意義，導(dǎo)致解題能力受限。追溯根源，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生在生物學(xué)學(xué)習(xí)中缺乏有效的學(xué)習(xí)策略，沒有學(xué)會將抽象概念形象化以及構(gòu)建知識之間的聯(lián)系。因此，要想在教學(xué)中使學(xué)生深人地掌握知識點，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型通常是較為有效的一種措施[2]

二、數(shù)學(xué)模型在教材中的呈現(xiàn)形式

在高中生物學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型通常是以數(shù)字、字母和數(shù)學(xué)符號為基礎(chǔ)構(gòu)成的表達(dá)式、圖表或圖像等，用以描述研究對象的特征及聯(lián)系[3]。通過系統(tǒng)梳理人教版高中生物學(xué)必修教材，對其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型展開分類研究，將其劃分為曲線模型、表格模型、表達(dá)式模型、集合模型以及比例式模型等，并針對不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容選擇與之相適配的教學(xué)模型。例如，必修1《分子與細(xì)胞》模塊中，酶促反應(yīng)速率受底物濃度、酶濃度等因素的影響，自由擴(kuò)散、協(xié)助擴(kuò)散、主動運(yùn)輸中物質(zhì)濃度與運(yùn)輸速率的關(guān)系，氧氣濃度對酵母菌呼吸方式的影響，以及二氧化碳濃度、溫度、光照強(qiáng)度對光合作用速率的影響，這些都能通過曲線模型進(jìn)行直觀分析，從曲線的走勢和變化中洞察生理過程的規(guī)律。而探究植物細(xì)胞的吸水和失水實驗，以及檢測生物組織中糖類、脂質(zhì)、蛋白質(zhì)的實驗，可以通過表格模型整理實驗數(shù)據(jù)、對比實驗結(jié)果，使實驗結(jié)論一目了然。細(xì)胞中元素種類的層次關(guān)系，DNA與RNA化學(xué)組成的差異，生物膜、半透膜與選擇透過性膜三者之間的從屬關(guān)系，則可運(yùn)用集合模型進(jìn)行歸納總結(jié)，以清晰地呈現(xiàn)各概念間的包含與被包含關(guān)系。在必修2《遺傳與進(jìn)化》模塊中，孟德爾遺傳定律可通過構(gòu)建Punnett方格來計算特定性狀的遺傳概率，幫助我們預(yù)測遺傳現(xiàn)象。而基因頻率在種群中的變化趨勢，可運(yùn)用表達(dá)式模型來呈現(xiàn)，如哈迪-溫伯格定律 （p²+2pq+q²=1）. 。DNA分子中堿基排列順序的多樣性以及減數(shù)分裂中配子的形成過程，都可以應(yīng)用排列組合模型，從數(shù)學(xué)角度解釋遺傳信息的傳遞過程。在選擇性必修1《穩(wěn)態(tài)與調(diào)節(jié)》模塊中，血漿成分的占比情況可以通過餅狀圖直觀地呈現(xiàn)。而生物體維持 pH 穩(wěn)定的過程，血糖濃度隨時間的動態(tài)變化，以及初生演替和次生演替在物種組成、群落結(jié)構(gòu)等方面的變化情況，可以借助曲線與表格模型進(jìn)行呈現(xiàn)與分析。曲線展示變化趨勢，表格梳理數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)，兩者的結(jié)合使生態(tài)過程和生理穩(wěn)態(tài)的知識更易于理解。

在高中生物學(xué)教學(xué)體系中，許多知識點的深入理解與數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用緊密相連。教師需強(qiáng)化自身對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知，依據(jù)多樣化的教學(xué)內(nèi)容，靈活選用不同的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行合理整合，以幫助學(xué)生精準(zhǔn)地掌握每一個細(xì)微的知識點，尤其是那些抽象復(fù)雜、容易混淆的內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型作為溝通數(shù)學(xué)與生物學(xué)的重要橋梁，不僅有助于學(xué)生構(gòu)建更為完備的知識體系，還能提高學(xué)生的科學(xué)思維能力，并且能夠讓學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中發(fā)揮自身的主體性。

三、數(shù)學(xué)模型對高中生物學(xué)教學(xué)的意義

（一）助力學(xué)生科學(xué)思維進(jìn)階

科學(xué)思維是學(xué)生分析問題、歸納問題、推理問題、論證問題的必備素養(yǎng)[4]，而數(shù)學(xué)模型為學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)提供了有力的工具與嶄新的視角。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教學(xué)過程往往呈現(xiàn)出較為單一和固化的形態(tài)，學(xué)生的思維被束縛于教師設(shè)定的框架中，難以實現(xiàn)自主拓展與深化，思維的靈活性與創(chuàng)新性受到極大限制。這種教學(xué)模式雖在一定程度上能夠提升學(xué)生紙筆測試的成績，但學(xué)生的科學(xué)思維水平大多停留在較低層次。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試將復(fù)雜的生物學(xué)現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這一過程能夠讓學(xué)生對生物學(xué)知識的本質(zhì)有更為深刻的領(lǐng)悟，同時也能提高學(xué)生的邏輯推理能力與解決實際問題的能力。以生物種群增長現(xiàn)象為例，學(xué)生在收集和分析不同環(huán)境下種群數(shù)量變化的數(shù)據(jù)后，借助數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行抽象歸納，從而構(gòu)建出“J\"形增長和“S\"形增長的數(shù)學(xué)模型。利用這兩種模型，學(xué)生能精確地解釋并預(yù)測種群在不同時間節(jié)點的數(shù)量變化，進(jìn)而理解環(huán)境因素對種群增長所起到的限制作用。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生需要主動查找資料、分析數(shù)據(jù)，嘗試運(yùn)用不同的建模方法。這一系列活動能有效提高他們的自主探究能力。通過應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生能夠?qū)⑸飳W(xué)知識與現(xiàn)實生活緊密結(jié)合，并運(yùn)用所學(xué)知識解決生活中遇到的實際問題。在整個過程中，學(xué)生的生物學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，特別是科學(xué)思維得到了全面的鍛煉和明顯的提升，實現(xiàn)了從低層次思維向高層次思維的跨越。

（二）推動學(xué)生學(xué)習(xí)效能提升

在高中階段，學(xué)生雖已具備一定的自主學(xué)習(xí)能力，但學(xué)習(xí)的成效較低。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效能提供了有效路徑。在高中生物學(xué)課堂中，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可顯著吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生更加專注。同時，數(shù)學(xué)模型以其獨(dú)特的邏輯結(jié)構(gòu)與量化表達(dá)方式，賦予了生物學(xué)知識新的呈現(xiàn)形式，從而有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生更為主動地參與學(xué)習(xí)過程，最終提升學(xué)習(xí)效率。高中生物學(xué)知識體系具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，不同板塊的內(nèi)容相互交織，而數(shù)學(xué)模型成為實現(xiàn)知識遷移的關(guān)鍵媒介，其通過提煉生物學(xué)知識的共性特征與內(nèi)在邏輯，以數(shù)學(xué)語言的方式加以呈現(xiàn)，為學(xué)生搭建起知識遷移的橋梁。例如，在“細(xì)胞呼吸\"與“光合作用”這兩個看似獨(dú)立卻緊密相關(guān)的知識板塊中，數(shù)學(xué)模型發(fā)揮了重要作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)“細(xì)胞呼吸”的過程中，通過構(gòu)建有氧呼吸化學(xué)反應(yīng)式這一數(shù)學(xué)模型，理解了物質(zhì)與能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系。在學(xué)習(xí)“光合作用\"時，學(xué)生便可類比該模型，分析光合作用中二氧化碳的固定、水的光解以及能量的轉(zhuǎn)換過程，實現(xiàn)從細(xì)胞呼吸知識到光合作用知識的遷移。這種有效整合不僅有助于學(xué)生構(gòu)建更為完整、系統(tǒng)的生物學(xué)知識框架，深化對生物學(xué)核心概念的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的類比推理與邏輯思維能力。

（三）促進(jìn)教師專業(yè)素養(yǎng)發(fā)展

在教學(xué)過程中，教師需要意識到數(shù)學(xué)模型不僅是一種工具，更是促使教師突破傳統(tǒng)教學(xué)理念束縛的催化劑。要想將數(shù)學(xué)模型融入教學(xué)，教師不僅要精通數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)知識，還要深人研究數(shù)學(xué)模型與生物學(xué)知識的融合點，精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用技巧，以便更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決生物學(xué)問題。同時，教師要積極探索更為多樣化、互動性更強(qiáng)的教學(xué)方法。如項目式學(xué)習(xí)法可讓學(xué)生圍繞特定的生物學(xué)問題，通過小組合作構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，共同探討解決方案。在這個過程中，教師作為引導(dǎo)者，協(xié)助學(xué)生收集數(shù)據(jù)、分析問題、建立模型并驗證結(jié)果；作為觀察者，對學(xué)生模型構(gòu)建過程進(jìn)行分析，了解學(xué)生對生物學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的掌握程度，從而有針對性地調(diào)整教學(xué)策略，實現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué)，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量。借助數(shù)學(xué)模型，教師能夠以全新的視角審視教學(xué)過程，將抽象的知識具象化、復(fù)雜的概念邏輯化，指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題。

四、數(shù)學(xué)模型在高中生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）凸顯生物學(xué)教學(xué)重點，選擇適配的數(shù)學(xué)模型

在高中生物學(xué)教學(xué)中，教師要熟練掌握和精準(zhǔn)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，并能依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，敏銳地捕捉和強(qiáng)化每一節(jié)課的教學(xué)重點，借助適宜的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生深入理解生物學(xué)知識。以“孟德爾遺傳定律”一課為例，其重難點在于理解基因分離定律和自由組合定律的實質(zhì)，以及運(yùn)用這些定律來解釋遺傳現(xiàn)象和進(jìn)行相關(guān)概率計算。教師在講解孟德爾遺傳定律時，可先引入概率模型，因為概率模型作為數(shù)學(xué)工具，與遺傳現(xiàn)象中的隨機(jī)性和規(guī)律性相契合，能有效幫助學(xué)生理解和解決遺傳問題例如，在一對相對性狀的雜交實驗中，孟德爾用純種高莖豌豆（DD）和純種矮莖豌豆（dd）雜交，子一代 Γ（F₁） 全部為高莖（Dd）。當(dāng) F₁ 自交時，根據(jù)基因的分離定律，產(chǎn)生的配子類型及比例為 。根據(jù)概率的乘法原理，我們可以計算出 F₂ 中不同基因型的概率： DD=1/2 （D配子概率） ×1/2 （D配子概率） =1/4 Dd=2×1/2 （D配子概率） ×1/2 （d配子概率 ）=1/2;dd=1/2 （d配子概率） ×1/2 （d配子概率） Σ=Σ 1/4。同理，對于表現(xiàn)型，高莖（ DD+Dd， 的概率為3/4，矮莖（ （dd） 的概率為1/4，這就解釋了孟德爾實驗中 F₂ 出現(xiàn) 3：1 性狀分離比的原因。在兩對相對性狀的雜交實驗中，教師可進(jìn)一步拓展概率模型的應(yīng)用。純種黃色圓粒（YYRR）豌豆與純種綠色皺粒（yyrr）豌豆雜交， F_i 為黃色圓粒 Φ（YyRr） 豌豆。當(dāng)F₁ 自交時，每對基因遵循分離定律，不同對基因之間自由組合。根據(jù)概率的乘法原理，我們可先分別計算每對性狀的概率，再將它們相乘得到組合性狀的概率。如，計算 F₂ 中黃色圓粒（Y_R_）的概率，黃色（Y_）的概率為 3/4（YY+Yy） ，圓粒（R_）的概率為3/4（RR+Rr） ，那么黃色圓粒（ Y_-R_-） 的概率就是 3/4× 3/4=9/16 。通過引入概率模型，將抽象的遺傳定律轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)計算，學(xué)生能夠更加直觀地理解遺傳現(xiàn)象背后的規(guī)律。這一過程不僅加深了學(xué)生對孟德爾遺傳定律這一教學(xué)重點的掌握程度，也培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決生物學(xué)問題的能力，還提升了學(xué)生的科學(xué)思維和邏輯推理能力。

（二）融入生活化情境，增強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用體驗

高中生物學(xué)教學(xué)要求教師使用生活化教學(xué)模式及理念，因為其不僅能拉近學(xué)生與生物學(xué)知識之間的距離，還能為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用搭建有效的實踐平臺。以\"血糖平衡的調(diào)節(jié)”一課為例，這部分內(nèi)容涉及多種生理過程和激素的復(fù)雜調(diào)節(jié)，學(xué)生理解起來較為困難。在課程導(dǎo)入階段，教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個生活化情境：一名馬拉松運(yùn)動員，比賽前進(jìn)行了高碳水化合物飲食的儲備，比賽開始后，隨著長時間、高強(qiáng)度的運(yùn)動，其體內(nèi)的能量不斷消耗，于是，在比賽中途，他補(bǔ)充了運(yùn)動飲料，比賽結(jié)束后又進(jìn)行了加餐。教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在整個過程中運(yùn)動員的血糖濃度會發(fā)生怎樣的變化。在此情境下，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用小鼠、血糖儀、胰島素注射器、胰高血糖素注射器、不同含糖量的飼料等實驗材料，構(gòu)建模擬實驗體系，研究血糖平衡的調(diào)節(jié)機(jī)制。在實驗過程中，學(xué)生記錄小鼠在不同實驗條件處理下的血糖濃度變化數(shù)據(jù)，比如給小鼠注射胰島素后，其血糖濃度下降;給小鼠注射胰高血糖素后，其血糖濃度上升。通過對這些數(shù)據(jù)的分析，學(xué)生可以建立起血糖濃度與激素調(diào)節(jié)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。例如，以時間為橫坐標(biāo)，以血糖濃度為縱坐標(biāo)繪制折線圖，能直觀地展示血糖濃度在不同實驗條件處理下的動態(tài)變化，從而幫助學(xué)生深入理解血糖平衡的調(diào)節(jié)機(jī)制。同時，學(xué)生可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行推理。當(dāng)血糖濃度低于正常范圍時，胰高血糖素分泌增加，促進(jìn)肝糖原分解和非糖物質(zhì)轉(zhuǎn)化為葡萄糖，使血糖濃度升高；當(dāng)血糖濃度高于正常范圍時，胰島素分泌增加，促進(jìn)血糖進(jìn)入組織細(xì)胞氧化分解、合成糖原以及轉(zhuǎn)化為非糖物質(zhì)，使血糖濃度降低。實驗結(jié)束后，教師再次引入馬拉松運(yùn)動員的生活化案例，結(jié)合學(xué)生繪制的數(shù)學(xué)曲線，深入講解血糖平衡的調(diào)節(jié)機(jī)制，并進(jìn)一步講解血糖平衡調(diào)節(jié)原理在糖尿病治療、飲食調(diào)控等實際生活中的應(yīng)用。通過這一系列自主實驗與數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建運(yùn)用，學(xué)生不僅掌握了“血糖平衡的調(diào)節(jié)”知識，還培養(yǎng)了科學(xué)探究能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析生物學(xué)問題的能力。

（三）圍繞典型例題，提高數(shù)學(xué)模型應(yīng)用效率

在解決生物學(xué)問題時，我們發(fā)現(xiàn)有很多問題涉及數(shù)學(xué)計算，而且這些問題具備較強(qiáng)的邏輯性。圍繞典型例題，深度應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，并非弱化知識的邏輯性，而是幫助學(xué)生有效剖析知識的復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能夠依據(jù)數(shù)學(xué)模型中的量化關(guān)系、函數(shù)變化、比例分配等要素，深入理解生物學(xué)知識。以“減數(shù)分裂”相關(guān)題目為例，此類題目常涵蓋減數(shù)分裂過程中的染色體與DNA的數(shù)量變化，以及基因與染色體行為的關(guān)系等內(nèi)容。由于相關(guān)概念較為繁雜，數(shù)量關(guān)系也錯綜復(fù)雜，因此學(xué)生極易出現(xiàn)概念混淆、數(shù)量關(guān)系梳理紊亂等問題。在此情形下，教師可先引導(dǎo)學(xué)生全面回顧減數(shù)分裂各時期的特征，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生繪制坐標(biāo)圖。通過坐標(biāo)圖，將染色體與DNA的數(shù)量變化規(guī)律清晰地呈現(xiàn)出來后，教師再引導(dǎo)學(xué)生深人分析其中蘊(yùn)含的量化關(guān)系。針對基因與染色體行為的關(guān)系這一問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生繪制遺傳圖譜，梳理基因隨染色體分離與組合的具體過程，借助圖譜所呈現(xiàn)的比例關(guān)系，幫助學(xué)生透徹理解配子產(chǎn)生的種類及其比例。同時，教師要著重提示學(xué)生密切關(guān)注題目中的關(guān)鍵信息，并結(jié)合具體題目歸納出這一類題目的解題思路和建模方法，讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)，實現(xiàn)準(zhǔn)確、迅速答題，提升學(xué)生的解題效率[5]

總之，數(shù)學(xué)模型在高中生物學(xué)教學(xué)中具有不可忽視的重要價值。從教材層面來看，曲線、表格、表達(dá)式等多種數(shù)學(xué)模型貫穿于各知識模塊，為知識的理解提供了多元視角。在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，強(qiáng)化自身對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知并提升靈活運(yùn)用能力，深度挖掘數(shù)學(xué)模型與生物學(xué)知識的融合點，精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)。而學(xué)生則需積極主動地參與到數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用中，培養(yǎng)科學(xué)思維，從而全面提升生物學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，適應(yīng)新高考模式對綜合素養(yǎng)的高要求，實現(xiàn)從知識的被動接受者向主動探索者的轉(zhuǎn)變。

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（責(zé)任編輯 羅掐）