根植教材理解數(shù)學(xué)本質(zhì) 拓展探索提升思維品質(zhì)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0053-08引用格式．根植教材理解數(shù)學(xué)本質(zhì)拓展探索提升思維品質(zhì)：[J]．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：53-60.

探究性教學(xué)是以學(xué)生為中心，注重主動探索、問題解決和實(shí)踐操作的教學(xué)方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維、創(chuàng)新精神和終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣．正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求一樣，在數(shù)學(xué)探究性教學(xué)活動中，應(yīng)立足教材內(nèi)容創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生對教材習(xí)題深度探究，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，助力拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)，將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)探究活動的全過程.

一、問題提出

按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和提升思維品質(zhì)．那么，如何通過教材習(xí)題的深度探究，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)？筆者以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）選擇性必修第一冊中的一道圓錐曲線習(xí)題的探究性教學(xué)為例，通過從特殊到一般地創(chuàng)設(shè)情境，以問題驅(qū)動學(xué)生主動思考，引發(fā)學(xué)生拓展探索，在逐步揭示問題本質(zhì)的過程中，讓學(xué)生學(xué)會用探索的眼光觀察教材習(xí)題，以拓展的方式思考教材習(xí)題，從應(yīng)用的途徑掌握教材習(xí)題，使教材習(xí)題真正成為提升學(xué)生創(chuàng)新思維品質(zhì)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土.

二、教學(xué)實(shí)踐

1．重溫習(xí)題，引發(fā)思考

引導(dǎo)語：同學(xué)們，我們課前已經(jīng)對教材中圓錐曲線的部分習(xí)題進(jìn)行了研究，本節(jié)課我們一起來回顧研究內(nèi)容，展示探究過程，重點(diǎn)聚焦在一道習(xí)題的拓展探究、結(jié)論歸納和方法遷移上.

習(xí)題再現(xiàn)：（人教A版教材選擇性必修第一冊第116頁習(xí)題3.1綜合應(yīng)用的第11題）如圖1，矩形ABCD中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)， R ， s ， T 是線段 OF 的四等分點(diǎn)， R^′ ， S^′ ， T^′ 是線段 CF 的四等分點(diǎn)．證明直線ER 與 GR^′ 、 ES 與 GS^′ 、 ET 與 GT^′ 的交點(diǎn) L ， M ， N 都在橢圓 上.

圖1

問題1：如何證明點(diǎn) L ， M ， N 在橢圓 （agt;bgt;0） 上？

師生活動：通過問題引導(dǎo)，學(xué)生反饋課前研究教材習(xí)題的情況，教師引導(dǎo)學(xué)生展示證明過程，具體如下.

證明：依題意，得 ， 所以 所以 GR^′ 的方程為 同理， ER 的方程為 聯(lián)立 和 ， 得 類似地，可以得到 經(jīng)檢驗(yàn)， 都滿足方程

故點(diǎn) L ， M ， N 都在橢圓 上.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生回首教材習(xí)題，回顧證明過程，重溫證明點(diǎn)在曲線上的基本方法，總結(jié)解題思路，為進(jìn)一步拓展探究作準(zhǔn)備．

2.拓展探索，歸納性質(zhì)

引導(dǎo)語：雖然我們驗(yàn)證了點(diǎn) L ， M ， N 都在橢圓 上，但為什么像 L ， M ， N 這樣的點(diǎn)一定會在橢圓 一 （agt;bgt;0） 上？其中隱含著

什么規(guī)律？

問題2：除點(diǎn) L ， M ， N 外，你還能找出一些類似的也在橢圓 （agt;bgt;0） 上的點(diǎn)嗎？這些點(diǎn)有怎樣的特征？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以從增加線段 CF 和線段 oF 的等分點(diǎn)的方法入手（如圖2，將它們各六等分），學(xué)生用類似方式說明這些交點(diǎn) N_i （i=1 ，2，3，4，5）也都在橢圓 上.

圖2

若進(jìn)一步增加等分點(diǎn)的個數(shù)，則可以類似證明其交點(diǎn)也都在橢圓 1 （agt;bgt;0） 上，由此可以得到如下更一般的性質(zhì).

性質(zhì)1：在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，分別把線段 oF 和線段 CF 分成 n（n?2） 等份，線段 oF 上的分點(diǎn)依次為 E_i （ （i=1 ，2，…， n-1） ，線段 CF 上的分點(diǎn)依次為 ，則直線 GD_i 與 EE_i 的交點(diǎn) 都在橢圓 上.

引導(dǎo)語：性質(zhì)1體現(xiàn)了求軌跡方程的一種基本方法一一交軌法.接下來，我們通過引入?yún)?shù) λ ，利用向量表示 R ， s 兩點(diǎn)之間的關(guān)系，從更一般的意義上進(jìn)行以下拓展探究.

探究1：如圖3，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= 2b （2 （agt;bgt;0） E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R 是線段 oF 上的點(diǎn)， s 是線段 CF 上的點(diǎn)．若 ， ， 0?λ?1 ，試探究 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 是否在橢圓 ：

圖3

師生活動：教師通過探究活動，引發(fā)學(xué)生主動思考，學(xué)生類比推導(dǎo)并展示以下探究過程.

解：因?yàn)?F（a， 0） ， C（a，b） ， ，所以 ， 0?λ?1 因?yàn)? ，所以ks=-b所以直線 GS 的方程為 因?yàn)?R 是線段 oF 上的點(diǎn)， ，所以 R（λa， 0） ：因?yàn)?E（0，δ-b） ，所以當(dāng) λ=0 時，點(diǎn) P 與點(diǎn) G 重合，此時點(diǎn) P 在

橢圓x2+22 當(dāng) 0lt;λ?1 時， 所以直線 ER 的方程為 聯(lián)立 和 ，解得

，即點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程 所以點(diǎn)P在橢圓 上由此，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得到性質(zhì)2.性質(zhì)2：如圖3，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= E F G H

2b（agt;bgt;0） . ， ， ， 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)， R 是線段 OF 上的點(diǎn)， s 是線段 CF 上的點(diǎn)．若 ， ， 0?λ?1 ，則 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 在橢圓 上.

【設(shè)計意圖】根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用從特殊到一般的探究式學(xué)習(xí)方法引導(dǎo)學(xué)生歸納性質(zhì)1和性質(zhì)2，并運(yùn)用問題1的解決方法證明這兩個性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

問題3：這樣兩條線段的交點(diǎn) P 為什么會在橢圓 上？在計算出點(diǎn) P 的坐標(biāo)之前，能否先判斷出點(diǎn) P 就在橢圓 上？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上交流互動，給出如下說明.當(dāng) λ≠0 時，因?yàn)?G ， P ， s 三點(diǎn)共線，所以kc=kGs=-Ab同理，由 E ， R ， P 三點(diǎn)共線，得 所以kpEkp=kERks=-b2.設(shè)P（x，y），則y+b 即 所以點(diǎn) P 在橢圓 上.

問題4：點(diǎn) P 的軌跡是生成橢圓的一種方式，反之，上述性質(zhì)是否仍成立？

師生活動：學(xué)生主動進(jìn)行深層次思考后，教師總結(jié)，即將人教A版教材選擇性必修第一冊第108頁例3的結(jié)論引申推廣，可以得到“如果一個動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個負(fù)常數(shù)（不等于-1），那么它的軌跡是橢圓（除去兩個定點(diǎn)）”.這是生成橢圓的另一種方式，反之，可以得到橢圓的性質(zhì)3

性質(zhì)3：已知 A ， B 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)， ρ_e 為該橢圓的離心率， P 是該橢圓上異于 A ， B 兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，則 k_PAk_PB=e²-1 ：

【設(shè)計意圖】教材以例題和習(xí)題的形式介紹了生成橢圓的多種方法，通過教師提問的方式引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)，加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系與整合，進(jìn)一步幫助學(xué)生建立對橢圓性質(zhì)的整體認(rèn)知，這里探究得到的性質(zhì)3其實(shí)就是橢圓的第三定義，教師采取含而不露的處理方式，可以避免增加學(xué)生的額外負(fù)擔(dān).

問題5：你能運(yùn)用上述思想方法探究更一般的點(diǎn) P 的軌跡嗎？

教師啟發(fā)：在性質(zhì)2中，由 λ（0?λ?1） 的取值范圍，知點(diǎn) P 只能在第一象限或坐標(biāo)軸的正半軸上．若改變點(diǎn) R 的位置，擴(kuò)大 λ 的取值范圍，則可以得到點(diǎn) P 在其他象限的軌跡.

探究2：在矩形ABCD中， |AB|=2a ， ∣BC∣=2b （204號 （agt;bgt;0） ， E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)， R 是直線 oF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn)．若 ， λ∈R ，試探求 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡方程.

師生活動：教師先引導(dǎo)學(xué)生類比探究并進(jìn)行適當(dāng)交流，然后讓學(xué)生展示，教師引導(dǎo)完善，得到如下結(jié)論.

結(jié)論：當(dāng)點(diǎn) R 在線段 OH 上時， -1lt;λlt;0 ，點(diǎn) P 在第二象限；當(dāng)點(diǎn) R 在線段 OH 的延長線上時，λlt;-1 ，點(diǎn) P 在第三象限；當(dāng)點(diǎn) R 在線段 oF 的延長線上時， λgt;1 ，點(diǎn) P 在第四象限；當(dāng)點(diǎn) R 與點(diǎn) o 重合時， λ=0 ，點(diǎn) P 與點(diǎn) G 重合；當(dāng)點(diǎn) R 與點(diǎn) F 重合時， λ=1 ，點(diǎn) P 與點(diǎn) F 重合；當(dāng)點(diǎn) R 與點(diǎn) H 重合時，λ=-1 ，點(diǎn) P 與點(diǎn) H 重合；由探究1，知點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)滿足 ，所以點(diǎn) P 與點(diǎn) E 不可能重合.

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得到性質(zhì)4.

性質(zhì)4：如圖4，在矩形ABCD中， |AB|=2a |BC|= 2b（agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R 是直線 oF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn)．若 ， ， λ∈R ，則 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡是橢圓 （ （除去點(diǎn) E ）.

圖4

【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生反思習(xí)題的求解過程，分析軌跡的完備性，在體會數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的同時，學(xué)會用幾何的眼光觀察、思考點(diǎn) R 在不同位置時對點(diǎn) P 的影響，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．

問題6：你能通過類比上述生成橢圓的方式得到

生成雙曲線的方式嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注人教A版教材選擇性必修第一冊第121頁“探究”的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線的第三定義本質(zhì)上一致．在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生主動進(jìn)行如下探究.

探究3：設(shè)點(diǎn) P 是直線 ER 與 GS 的交點(diǎn)，其中 R 是直線 OF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn)，要使得點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線，只需要滿足 ，即需要 k_ERk_GS= b 經(jīng)過類比探究，得到性質(zhì)5和性質(zhì)6.

性質(zhì)5：如圖5，在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， |BC|= 2b 1 （agt;bgt;0） ！ E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R 是直線 oF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn)．若 ， ， λ∈R ，則 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線 （除去點(diǎn) E ）.

圖5

性質(zhì)6：已知 A ， B 是雙曲線 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)， ρ_e 為該雙曲線的離心率，P 是該雙曲線上異于 A ， B 兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，如果直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，那么k_PAk_PB=e²-1 ：

追問：能否將性質(zhì)3和性質(zhì)6統(tǒng)一起來？

師生活動：教師在引導(dǎo)學(xué)生將橢圓和雙曲線的方程統(tǒng)一成有心圓錐曲線方程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生交流互動，得到有心圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，即性質(zhì)7.

性質(zhì)7：已知 A ， B 是有心圓錐曲線 . mx²+ny²=1 m， n 同正或異號）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)， P 是 上異于 A ， B 的任意一點(diǎn)，若直線 PA ， PB 的斜率存在，且分別記為 k_PA ， k_PB ，則 業(yè)

【設(shè)計意圖】從橢圓與雙曲線的類比出發(fā)，將兩者統(tǒng)一起來，顯得十分自然．這樣的拓展探索既能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，又能提升學(xué)生的創(chuàng)新思維品質(zhì).

問題7：如果不直接給出 s ， R 兩點(diǎn)之間的依賴關(guān)系，還能得到類似的性質(zhì)嗎？

探究4：在矩形ABCD中， |AB|=2a ， |BC|=2b （agt;bgt;0） ： E ， F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R 是直線 OF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn).若 ， ， λ ， μ∈R ，試探究直線 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡.

師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生用類比方法探究交點(diǎn)的軌跡，引導(dǎo)學(xué)生對兩個相對獨(dú)立的參變量 λ ， μ 之間的關(guān)系進(jìn)行探究，通過分類討論得出相應(yīng)結(jié)論．經(jīng)過交流互動，完善探究過程如下.

解：由 ，得 S（a，μb）

所以

所以 GS 的方程為 ，即 y-b=

同理，得 R（λa， 0）

于是當(dāng) λ=0 時， R 為原點(diǎn)，直線 ER 為 y 軸， ER 與 GS 的交點(diǎn)為點(diǎn) G ：

當(dāng) λ≠0 時， ，直線 ΔER 的方程為 y= -x-b，即y+b=

和 ，得 y²-b²=

當(dāng) ，即 μ=1-λ 時， ，即 ，此時點(diǎn) P 的軌跡是橢圓（除去點(diǎn) ;

當(dāng) （20 ，即 μ=1+λ 時， 2 ，即 ，此時點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線（除去點(diǎn) G ， E ）.

一般地， 令 ，即 μ=1+mλ，γ²-b²= 即

若 mx2=1表示雙曲線，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線（除去點(diǎn) E ）；

若mlt;0且m≠-g2， 表示橢圓，則，點(diǎn) P 的軌跡是橢圓（除去點(diǎn) E ）；

表示圓，則點(diǎn) P 的軌跡是圓（除去點(diǎn) E ）；

若 m=0 ，則 μ=1，λ∈R ，由 ，得y=b ，則點(diǎn) P 的軌跡是一條直線，

綜上所述，直線 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡可能是圓或橢圓或雙曲線（除去特殊點(diǎn)），也可能退化為一條直線．其中， y-m2=1可以看作有心圓錐曲線的另一個統(tǒng)一方程，從而得到性質(zhì)8.

性質(zhì)8：在矩形 ABCD 中， |AB|=2a ， ∣BC∣=2b （agt;bgt;0） ： E F ， G ， H 分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R 是直線 oF 上的點(diǎn)， s 是直線 CF 上的點(diǎn)．若 ， ， λ ， μ∈R ，則直線 ER 與 GS 的交點(diǎn) P 的軌跡方程是

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生在更一般、更綜合的情境中進(jìn)行拓展探究，體會運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的思想方法，領(lǐng)悟有心圓錐曲線的統(tǒng)一性，讓學(xué)生養(yǎng)成主動建構(gòu)整體知識結(jié)構(gòu)的意識，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生探索性思維品質(zhì)的形成和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.融通高考，學(xué)以致用

引導(dǎo)語：我們知道很多高考數(shù)學(xué)試題都是命題者從一些重要的教材例題和習(xí)題出發(fā)，通過巧妙構(gòu)思再創(chuàng)而成的.接下來，我們結(jié)合以上性質(zhì)，通過兩個典型案例，探討這類源于教材、高于教材、活于教材的高考圓錐曲線試題.

例1（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷 ?21 ）已知雙曲線 C 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ，離心率為

（1）求 C 的方程;

（2）記 C 的左、右頂點(diǎn)分別為 A₁ ， A₂ ，過點(diǎn)（-4，0）的直線與 C 的左支交于 M ， N 兩點(diǎn)， M 在第二象限，直線 MA₁ 與 NA₂ 交于點(diǎn) P. 證明：點(diǎn) P 在定直線上.

師生活動：學(xué)生思考并嘗試求解．教師及時啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系上述探究得到的性質(zhì)，讓學(xué)生分組討論和互動交流后，再上傳自己的解答.教師通過信息技術(shù)平臺展示學(xué)生的解答過程并分析其中的問題，給出關(guān)鍵的解答過程如下.

解：（1）由待定系數(shù)法，得雙曲線 C 的方程為

（2）如圖6，由（1），得 A₁（-2， 0），A₂（2， 0） ，利用雙曲線的斜率性質(zhì)，得AMa=e2-1=4，kNA，M=e²-1=4 ：

圖6

設(shè)

則由 k_PA1k_MA2=4 ，得 ：

同理，由 k_PA2k_NA1=4 ，得

所以有x-2

因?yàn)?

所以-2 ，

代人x-2 得

接下來，聯(lián)立直線 MN 的方程與雙曲線 C 的方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn) P 在定直線 x=-1 上，此處不再贅述.

【設(shè)計意圖】利用有心圓錐曲線的斜率性質(zhì)解題，往往可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用通性通法有效簡化運(yùn)算，降低運(yùn)算難度，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例2（2019年全國Ⅱ卷·理21）已知點(diǎn) A（-2， 0） B（2， 0） ，動點(diǎn) 滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為 .記 M 的軌跡為曲線 C

（1）求 C 的方程，并說明 C 是什么曲線；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交 C 于 P ， Q 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限， PE⊥x 軸，垂足為 E ，連接 QE 并延長交 C 于點(diǎn) G. （20

① 證明： ΔPQG 是直角三角形；

② 求 ΔPQG 面積的最大值.

師生活動：經(jīng)過教師的啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生分組討論，互動交流，并上傳自己的解答.教師通過信息技術(shù)平臺展示學(xué)生的解答過程并點(diǎn)評，給出關(guān)鍵的解答過程如下.

解：（1）由上述探究的斜率性質(zhì)，知曲線 C 是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在 x 軸上，不包括左、右頂點(diǎn)的橢圓，其方程為 .

（2） ① 如圖7，由于 PQ 是橢圓過中心的一條弦，利用斜率性質(zhì)可得kop =e2-1=-1.

圖7

設(shè) ，則 所以 所以 ，即 k_PQk_GP=-1 ，所以 PQ⊥PG ·故 ΔPQG 是直角三角形.② 建立 ΔPQG 面積的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)工具求出 ΔPQG 面積的最大值，具體過程略.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從正反兩方面強(qiáng)化利用兩直線斜率之積的關(guān)系解題，既順理成章地得到了橢圓的方程，又水到渠成地導(dǎo)出了直角三角形，有效化解了解析幾何的運(yùn)算難點(diǎn)．

4.探源尋根，優(yōu)化思維

通過回首這道教材習(xí)題引申、拓展和應(yīng)用的全過程，引導(dǎo)學(xué)生對探究過程進(jìn)行復(fù)盤，特別是從圓與橢圓可以互變的角度，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟問題、洞悉本質(zhì)、優(yōu)化思維、直擊高考.

首先，正如章建躍博士所言，解析幾何中的運(yùn)算是“帶有幾何特征的運(yùn)算”.事實(shí)上，這道教材習(xí)題既是生成橢圓的一種方式，又是圓的本質(zhì)屬性的一種遷移．其本質(zhì)是基于圓的幾何性質(zhì)（直徑所對的圓周角是直角）和解析性質(zhì)（圓上一點(diǎn)到直徑的兩個端點(diǎn)的連線斜率之積等于-1，即若點(diǎn) P 是圓 O ： x²+y²=a² （agt;0） 上異于直徑 AB 兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則 k_PAk_PB=-1 ）的自然延伸，也就是說將圓經(jīng)過伸縮變換變成橢圓之后，圓的性質(zhì)就變換為橢圓的相關(guān)性質(zhì)，即橢圓上一點(diǎn)到直徑（橢圓一組平行弦的中點(diǎn)軌跡，也就是過橢圓中心的一條弦）的兩個端點(diǎn)的斜率之積為定值（若點(diǎn) P 是橢圓 上異于直徑 AB 兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則 ），從而讓橢圓“圓”形畢露 （如圖8）.

圖8

其次，近幾年高考數(shù)學(xué)基于有心圓錐曲線斜率性質(zhì)命制的試題，除了上述應(yīng)用中所舉的兩道例題之外，還有2015年全國Ⅱ卷文科第20題和理科第20題、2018年全國Ⅲ卷文科第20題和理科第20題，以及2022年新高考Ⅱ卷第21題等，這些試題融入了圓與橢圓在仿射變換下的對應(yīng)關(guān)系，凸顯了解析幾何數(shù)形結(jié)合的思想、坐標(biāo)變換的特點(diǎn)和動態(tài)變化的本質(zhì)，體現(xiàn)了由圓的性質(zhì)派生出橢圓的性質(zhì)再由橢圓的性質(zhì)回歸圓的性質(zhì)的辯證統(tǒng)一的過程.

三、教學(xué)反思

新高考背景下回歸教材決不是一句口號，也不是簡單地停留在高考試題與教材的聯(lián)系上，而是要激活教材、整合教材和拓展教材，深挖教材例題、習(xí)題與高考試題的內(nèi)在邏輯關(guān)系和考教銜接價值，領(lǐng)悟高考命題的萬變不離其宗一—依標(biāo)扣本的“宗”就根植于教材中．因此，依托教材落實(shí)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，就是要緊扣數(shù)學(xué)核心概念、性質(zhì)法則和公式定理的來龍去脈，重構(gòu)必備知識、思想方法和關(guān)鍵能力的結(jié)構(gòu)體系，再現(xiàn)教材典型例題和習(xí)題蘊(yùn)含的教學(xué)價值、變式功能和拓展策略．這才是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考的正道.

1.立足教材開展探究式學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該立足教材內(nèi)容，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).教材中的很多例題和習(xí)題都具有探究性和拓展性，為了加深學(xué)生對基本概念、基本原理和基本方法的理解，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究這些例題和習(xí)題時，要創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，啟發(fā)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，在探究式學(xué)習(xí)的過程中揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．在本案例的探究過程中，學(xué)生用交軌法容易驗(yàn)證滿足條件的交點(diǎn)在橢圓上，但不能僅滿足于此，而是應(yīng)該通過追問“這些點(diǎn)為什么會在橢圓上”來激活這一問題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般地進(jìn)行本源性探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)隱含的本質(zhì)屬性，從而理解問題的本質(zhì)特征.

2.基于探索發(fā)展核心素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)形成探索性思維的標(biāo)志是激發(fā)學(xué)生開展探究式學(xué)習(xí)．心理學(xué)研究表明，學(xué)生的思維活動始于問題的發(fā)現(xiàn)，并在問題解決中發(fā)展．在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)設(shè)合適的問題情境、提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考，加深學(xué)生對課程內(nèi)容的理解，弄清知識的來龍去脈，將零散的知識點(diǎn)整合為有機(jī)的整體，建立完整的知識結(jié)構(gòu)體系．通過類比、聯(lián)想、一般化、特殊化等思維方式，教師對現(xiàn)有知識進(jìn)行拓展延伸，創(chuàng)設(shè)新的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生借助觀察、對比、辨析、抽象、概括等思維活動，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題．通過對問題的自主探索、合作交流，形成并發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．本案例從教材中的具體問題入手，先通過正向探究和逆向思考相結(jié)合的方式得到橢圓的性質(zhì)，再采用類比的方法聯(lián)想到雙曲線，從而得到有心圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，然后應(yīng)用這些知識和方法解決高考試題，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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