利用幾何直觀 促進知識建構(gòu)

幾何直觀是指“運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”，是學(xué)生運用圖形的直觀性解決抽象問題的有力武器。由于“有余數(shù)除法\"是對日常生活中除法問題“平均分后有剩余”的抽象提煉。二年級學(xué)生處于形象思維為主的階段，由于“有余數(shù)除法\"的概念和運算較復(fù)雜，部分學(xué)生部分學(xué)生存在余數(shù)概念難理解、余數(shù)與除數(shù)關(guān)系易混淆、“進一法\"“去尾法\"難區(qū)分等現(xiàn)象。那么，如何利用幾何直觀促進低年級學(xué)生建構(gòu)“有余數(shù)除法”知識？下面，筆者根據(jù)核心素養(yǎng)目標細化表（表1），從借圖顯數(shù)、繪圖助思、依圖探理三個方面深入闡述幾何直觀在“有余數(shù)除法”單元教學(xué)中的具體應(yīng)用。

1.直觀感知與概念理解

幾何直觀通過圖形的直觀展示，使學(xué)生能夠直觀感知和理解“有余數(shù)除法\"的基本概念，如余數(shù)、除數(shù)、被除數(shù)和商等。通過圖形的輔助，學(xué)生可以清晰地看到除法運算后剩余的部分，從而理解余數(shù)的含義；同時，幾何直觀能引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分“平均分\"與“有剩余\"的不同情況，加深對除法運算本質(zhì)的理解。

2.數(shù)形結(jié)合與思維發(fā)展

幾何直觀強調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，即通過將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，或者利用圖形來輔助解決數(shù)學(xué)問題。

一、幾何直觀與知識建構(gòu)的關(guān)聯(lián)性

幾何直觀作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方式和工具，在知識建構(gòu)過程中扮演著至關(guān)重要的角色。它不僅能引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形在\"有余數(shù)除法\"的教學(xué)中，教師通過小棒圖、點子圖模型溝通圖形與算式的關(guān)系，讓學(xué)生直觀理解除法運算的過程和結(jié)果；通過平均分結(jié)果、除法橫豎式的兩次直觀對比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并明白“余數(shù)要比除數(shù)小\"的道理，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維模式。這種思維模式不僅有助于學(xué)生解決當(dāng)前的問題，還能遷移到其他數(shù)學(xué)問題的解決中，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

3.直觀推理與知識建構(gòu)

幾何直觀能夠引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較和分析圖形進行直觀推理。在“有余數(shù)除法\"的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察不同情況下圖形的變化，推導(dǎo)余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系（如余數(shù)小于除數(shù)），以及“進一法\"和\"去尾法\"的適用條件。這種直觀推理不僅有助于學(xué)生鞏固和深化對除法運算的理解，還能促進他們自主建構(gòu)知識體系，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。

二、教學(xué)過程

1.借圖顯數(shù)：直觀感知，明晰運算意義

（1）聯(lián)結(jié)舊知，拓寬算法內(nèi)涵

學(xué)生對平均分的認識往往停留在“正好分完”，但除法的內(nèi)涵還包含“分完有剩余\"的情況。教師可以借助直觀的實物圖示，引導(dǎo)學(xué)生體會平均分的兩種不同結(jié)果，初步感知余數(shù)的存在。

師：同學(xué)們，玩過“成團游戲\"嗎？請看游戲規(guī)則：音樂響起，大家按老師報的數(shù)，迅速抱成一團，成功成團即為獲勝。

口令1：一共12人，幾人幾人抱一團……2人團。

追問：哇，全部成團。12人玩游戲，2人一團，為什么可以剛好抱完？

教師小結(jié)：原來“成團游戲\"就是一種平均分，這時剛好分完。

口令2：一共12人，幾人幾人抱一團……5人團。

追問：這次為什么沒有分完？剩余幾人？

教師通過游戲引發(fā)學(xué)生對“為什么有時能成團，有時不能成團\"的思考。這個過程使學(xué)生在感受“正好分完\"中強化表內(nèi)除法，在直觀看到“分完有剩余”中自然感受余數(shù)的產(chǎn)生。教師借助平均分的實物圖示，能讓學(xué)生順暢構(gòu)建新舊知識間的關(guān)聯(lián)，深入理解算法的內(nèi)涵。

（2）圖式呼應(yīng)，明晰算式含義

學(xué)生對除法算式含義的理解易受限于平均分結(jié)果的表達，實際上除法算式也能呈現(xiàn)平均分的動態(tài)過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以直觀圖示展現(xiàn)平均分的全過程。

課件出示：如圖1，一共13人玩“成團游戲”，每4人一團，結(jié)果會怎樣？

師：你們能預(yù)測游戲的結(jié)果嗎？如圖2，可以在自己的學(xué)習(xí)單上畫一畫、列一列、說一說。

學(xué)生獨立完成后，如圖3，教師展示學(xué)生的作品。

提問：最后這1個為什么不圈起來？

師：像這樣在平均分的過程中，分到不能繼續(xù)分了，剩余的不能成團的這1個圈叫作\"余數(shù)”。像這里的余數(shù)是幾呢？

如表2，教師反饋學(xué)生的算式。

師：你們覺得哪個算式更合適？怎么想的？

學(xué)生用不同的符號來表示參加游戲的小朋友，用圈一圈直觀感受分的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)圖中未被圈起的1個就是余數(shù)，從而明晰余數(shù)與商含義上的區(qū)別，理解余數(shù)和被除數(shù)單位相同的算理；經(jīng)歷列一列、說一說等一系列操作活動直觀表示平均分的過程，結(jié)合圖示理解不同算式的含義；知道除法是減法的簡便形式，感受除法算式的簡捷性，實現(xiàn)算法間的有效貫通；在畫的圖中理解12、4、3、1各數(shù)，在圖示呼應(yīng)的過程中透徹理解除法算式各部分含義，為后續(xù)學(xué)習(xí)筑牢基礎(chǔ)。

2.繪圖助思：多重比較，感悟運算的一致性

（1）多維思辨，梳理余數(shù)的規(guī)律

在解決實際問題中，學(xué)生難以正確運用余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系來解決問題。因此，教師可以讓學(xué)生先通過圈一圈、分一分、找一找等操作，用有余數(shù)除法算式直觀記錄每次“成團游戲\"的過程和結(jié)果；然后，引導(dǎo)學(xué)生觀察自己圈的圖和寫的算式，進行圖式的橫向和縱向比較，深度體悟算法算理的一致性。

師：如果總?cè)藬?shù)繼續(xù)增加，變成14、15、16、17、18人，每次成團的結(jié)果會怎么樣呢？

布置任務(wù)： ① 先圈一圈，再列式；

② 選一種情況，說一說算式的意思；

③ 組內(nèi)交流算式，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

如圖4，在圖式的多維比較中，學(xué)生能敏銳洞察算式中其余數(shù)量的相應(yīng)變動。經(jīng)歷“為什么除數(shù)都是4”“余數(shù)有什么規(guī)律”“為什么余數(shù)小于除數(shù)\"等一系列討論后，學(xué)生能領(lǐng)會余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系及其內(nèi)在原理，并在“如果總?cè)藬?shù)是19人、20人，會是什么情況\"的追問中，進一步感知“余數(shù)要比除數(shù)小\"的規(guī)律和原因。這種由直觀到抽象再到說理的多維思辨，讓學(xué)生不僅“知其然，更知其所以然”。

（2）多元表征，彰顯豎式合理性

由于除法豎式的寫法與其他運算（加法、減法、乘法）豎式存在較大差異，學(xué)生容易受到先前豎式書寫經(jīng)驗的負遷移影響。鑒于此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生充分展示自身想法的機會。

13根小棒，每5根搭成一個五邊形，結(jié)果會怎樣？

教師讓學(xué)生先圈一圈，列出算式，再用豎式表示分的過程和結(jié)果。

反饋圈一圈時，教師引導(dǎo)學(xué)生說分的過程，在黑板上邊圈邊問：“分完了嗎？”“分掉了多少？”

板書橫式時，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形進行一一對應(yīng)。

反饋豎式時，如圖5，教師引導(dǎo)學(xué)生緊緊圍繞“哪種豎式更能表示分的過程和結(jié)果\"展開討論。

在教學(xué)“有余數(shù)除法\"單元時，筆者采用了多種表征方式，通過用小棒圖、橫式、豎式等方式多元表征拼搭五邊形的過程和結(jié)果，讓學(xué)生領(lǐng)會操作過程、語言表達和符號表征之間的關(guān)系，從形的角度解釋豎式的形成。比如，教師引導(dǎo)學(xué)生用13根小棒進行實物操作，將13根小棒每5根分為一組，可以分出2組，這樣就用掉了10根小棒，剩下3根。這種直觀的教學(xué)方式能讓學(xué)生深刻感受除法豎式的合理性和特殊性，從而更加扎實掌握\"有余數(shù)除法\"的知識要點。

3.依圖探理：精準建模，豐富解題策略

（1）過程體驗，提煉數(shù)量關(guān)系式

數(shù)量關(guān)系式是量與量之間關(guān)系的高度概括，本單元中“被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)\"之間的數(shù)量關(guān)系式尤為重要，經(jīng)常在解決實際問題時需要用到。對于二年級學(xué)生來說，對數(shù)量關(guān)系式的理解有難度，因此學(xué)生需要通過充分的過程體驗來理解這些關(guān)系。教師可以利用具體的示意圖，讓學(xué)生探索、抽象這些數(shù)量間的關(guān)系，形成解題思路。

如圖6，如果被除數(shù)是22，余數(shù)是4，可能是幾人團的游戲呢？先畫一畫圖，表示自己的想法。

生1：我試著5個一圈，發(fā)現(xiàn)余 數(shù)是2；于是改為6個圈一圈，剛好 圈了3次，余下4個。

生2：余數(shù)4是多出來的，我先去掉不參與游戲的人，剩下來的18人剛好就是平均分的總數(shù)，可以9個圈一圈，圈2次。

教師小結(jié)，板書（如圖7）。

生3：這樣的話，那還可以是 22÷ 2=9…4

師：這個算式真的可以嗎？

生4：不可以，除數(shù)2表示每份2個，這樣剩下來的4個還可以繼續(xù)圈2次，也就沒有余數(shù)了。

教師通過精心設(shè)計的任務(wù)，鼓勵不同層次的學(xué)生采用多樣化的方法解決問題。借助點子圖這一直觀工具，學(xué)生能夠深刻理解有余數(shù)除法中各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過觀察點子圖直觀認識\"商 Φ_× 除數(shù)\"與“被除數(shù)-余數(shù)\"之間的等量關(guān)系。這種轉(zhuǎn)化不僅將原本復(fù)雜、難以理解的數(shù)量關(guān)系式變得直觀、形象，而且使學(xué)生能夠清晰地看到這些數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，從而輕松地構(gòu)建相應(yīng)的思維模型。

（2）情境剖析，掌握模型變通法

運用有余數(shù)除法解決實際問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生在情境中理解題意，并通過畫圖、列表等方法來描述和分析問題。通過生活經(jīng)驗，學(xué)生可以體會“最多\"和“至少\"的含義。比如，在教學(xué)蛋黃酥裝盒問題時，教師可利用點子圖、線段圖等工具引導(dǎo)學(xué)生分析余數(shù)是“取\"還是“舍”，讓學(xué)生在情境中理解余數(shù)和除數(shù)的含義，從而選擇合理的運算策略，感知“進一法\"“去尾法\"和“周期問題\"的不同直觀模型，掌握解決此類問題的方法。

如圖8，下面的圖可以表示哪個數(shù)學(xué)問題？

① 一本日記本7元，31元最多可以買幾本這樣的日記本？

② 一本數(shù)學(xué)書有31頁，丁丁已經(jīng)看了7頁，還剩多少頁沒有看？

③31 個蘋果，每袋最多裝7個， 裝完至少需要幾個袋子？

④ 每個盒子里有7個雞蛋，桌上裝滿了4盒，一共有多少個雞蛋？

⑤2024 年的一月份有31天，1月1日是星期五，那1月31日是星期幾？

師 ①③⑤ 可以，你們是怎么想的？

師：為什么 ② 不可以？

生5： ② 是求還剩多少，只要從總數(shù)里去掉已經(jīng)看過的，就是沒有看的。

生 6：④ 求的是雞蛋的總數(shù)，剛好是4個7，沒有多余的。

師：可以怎么修改，就跟圖意一 樣了？

生7：每個盒子里有7個雞蛋，桌上裝滿了4盒，還多出了3個，一共有多少個雞蛋？

師：非常棒！原來乘加和有余數(shù)除法剛好相反。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生對同一幅圖進行不同情境的解讀，能夠促進他們深入挖掘有余數(shù)除法的內(nèi)涵。情境 ① 對應(yīng)的是“去尾法\"模型，比如購物場景：如果有31元錢，每本日記本7元，能買多少本？雖然可以算出能買4本還余3元，但剩下的3元不足以再買1本日記本，因此只能將余數(shù)舍去，購買4本日記本。這里的余數(shù)被“去尾”，體現(xiàn)了“去尾法\"的應(yīng)用。情境 ③ 則體現(xiàn)了“進一法\"的必要性，比如，假設(shè)有31個蘋果，需要分裝到袋子里，每個袋子能裝7個。雖然可以算出需要4個袋子還余3個蘋果，但剩下的3個蘋果仍然需要1個袋子來裝，因此總共需要5個袋子。這里的余數(shù)需要“進一”，以確保所有蘋果都被裝入袋子，體現(xiàn)了“進一法\"的應(yīng)用。情境 ⑤ 則是一個典型的周期問題，比如，以一周七天的星期幾為例，如果想知道1月31日是星期幾，可以先算出1月31日距離某個已知星期幾的天數(shù)（比如1月1日是星期五），然后用天數(shù)除以7（一周的天數(shù)），得出4周余3天。這意味著從已知的星期五開始，再過3天就是1月31日的星期幾。這里的除法運算不僅體現(xiàn)了有余數(shù)除法的應(yīng)用，還揭示了周期問題的本質(zhì)。

三、實踐與反思

教師通過本單元幾何直觀素養(yǎng)的目標細化、任務(wù)設(shè)計的一系列實踐，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

1.幾何直觀導(dǎo)入新知，深化有余數(shù)除法概念理解

幾何直觀是突破抽象思維障礙、促進新知理解的有效工具。在“有余數(shù)除法\"的教學(xué)中，教師以幾何直觀為導(dǎo)入手段，通過圖形化的教學(xué)方式，直觀展示余數(shù)產(chǎn)生的背景和原因。這一實踐不僅引導(dǎo)學(xué)生深化了對有余數(shù)除法概念的理解，還激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅實基礎(chǔ)。

2.數(shù)形結(jié)合強化算法，促進有余數(shù) 除法算理掌握

在算法算理的教學(xué)中，教師注重數(shù)形結(jié)合的運用，通過圖形與算式的結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和推理，讓學(xué)生通過畫圖、圈一圈等操作直觀理解了除法運算中商、除數(shù)、被除數(shù)和余數(shù)之間的關(guān)系，從而加深對算法算理的理解。這一實踐表明，數(shù)形結(jié)合是促進學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要策略。

3.實踐活動提升直觀能力，助力有余數(shù)除法知識建構(gòu)

實踐活動是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進知識建構(gòu)的有效途徑。為了進一步提升學(xué)生的幾何直觀能力，教師設(shè)計了一系列實踐活動。這些活動不僅讓學(xué)生有機會動手操作，還讓學(xué)生在操作中深化了對有余數(shù)除法的理解，并學(xué)會了用幾何圖形來表示和驗證除法算式。通過實踐活動，既提升了學(xué)生的幾何直觀能力，又培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維和解決問題的能力。

學(xué)生幾何直觀的素養(yǎng)進階，不是一朝一夕就可以形成的，教師要在日常教學(xué)中運用多種途徑和方法，促使學(xué)生去逐步養(yǎng)成。教師要根據(jù)不同年齡層次學(xué)生思維的發(fā)展水平，設(shè)計不同的直觀方式，使他們在解決問題中真正感受幾何直觀對理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要作用?？偠灾?，幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)可以促進學(xué)生對比較復(fù)雜且抽象的代數(shù)、幾何知識的直觀認知與快速理解，從而讓學(xué)生完成知識建構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。