借助幾何直觀 構(gòu)建深度課堂

幾何直觀是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路，進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的作用。數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的關(guān)鍵，還是提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的重要途徑。運(yùn)算的含義、方法、規(guī)律等比較抽象，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。因此，教學(xué)中教師要合理運(yùn)用幾何直觀，這可以使相關(guān)內(nèi)容變得更加直觀、形象、簡(jiǎn)明，這不僅便于學(xué)生理解和接受，而且可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生直觀想象、推理意識(shí)等素養(yǎng)。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)剮缀沃庇^在理解運(yùn)算含義、算理算法、運(yùn)算規(guī)律等方面的應(yīng)用。

一、理解運(yùn)算含義

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，受傳統(tǒng)講授式教學(xué)模式的影響，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解停留于淺層的識(shí)記和套用上，影響了學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。在運(yùn)算教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解運(yùn)算含義，教師可以借助幾何直觀，讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作等環(huán)節(jié)理解運(yùn)算的含義，從而打破“死記硬背\"\"生搬硬套”等方式的束縛，使“淺層學(xué)習(xí)\"走向“深度學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

案例1：\"3的乘法口訣\"教學(xué)片段師：如圖1，小青蛙一次跳幾格？

生（齊聲答）：3格。

師：如果照這樣繼續(xù)跳，你們能想到什么？

教學(xué)中教師沒(méi)有直接讓學(xué)生給出答案，而是鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，通過(guò)操作和觀察認(rèn)識(shí)到：跳1次是3格，連著跳幾次，就能跳出幾個(gè)3格。

師：結(jié)合小青蛙連跳的過(guò)程想一想，如果小青蛙從0開(kāi)始，每次跳3格，那么連續(xù)跳2次后，它一共跳了幾格？

生1：一共跳了6格。

師：你是如何得到的？

生1：2個(gè)3相加就是6。

師：很好！在此基礎(chǔ)上，再連續(xù)跳3次，現(xiàn)在小青蛙一共跳了幾格？

（問(wèn)題給出后，有的學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，有的學(xué)生動(dòng)手算，課堂氛圍活躍）

生2：15格。

師：你是如何得到的呢？

生2：小青蛙開(kāi)始連續(xù)跳了2次，就是2個(gè)3，2個(gè)3相加是6，接下小青蛙又連續(xù)跳了3次，也就是3個(gè)3，3個(gè)3相加等于 ^9，6+9=15 。

師：還可以怎么算？

生3：前面連續(xù)跳了2次，后面連續(xù)跳了3次，一共跳了5次，也就是5個(gè)3，5個(gè)3相加等于15。

師：如果小青蛙從0開(kāi)始，向右跳了5次后，又向左跳了1次，此時(shí)小青蛙會(huì)在哪個(gè)格子上呢？

生4：在12那個(gè)格子上。小青蛙連續(xù)跳5次，就是5個(gè)3相加是15；往回跳1次，相當(dāng)于減去1個(gè)3，也就是4個(gè)3，4個(gè)3相加是12。

教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、探究、交流等過(guò)程，有利于學(xué)生理解乘法的含義，通過(guò)經(jīng)歷3的乘法口訣的編制過(guò)程，為后續(xù)其他乘法口訣的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

在教學(xué)“乘法的認(rèn)識(shí)\"時(shí)，如果教師簡(jiǎn)單介紹乘法的含義后就給出乘法口訣讓學(xué)生熟背應(yīng)用，這樣學(xué)生雖然能背會(huì)用，但難以真正理解乘法的意義，更不能將加法、減法運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這樣勢(shì)必會(huì)影響后續(xù)綜合應(yīng)用的效果。在以上環(huán)節(jié)的探究中，教師充分利用數(shù)軸圖，讓學(xué)生通過(guò)直觀觀察經(jīng)歷乘法口訣的抽象過(guò)程，不僅讓學(xué)生理解乘法就是將幾個(gè)數(shù)加起來(lái)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，而且借助幾何直觀讓學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)加法運(yùn)算就是在數(shù)軸圖中從左向右數(shù);減法是在數(shù)軸圖中從右往左數(shù)，讓學(xué)生充分感悟不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而逐漸建立和完善個(gè)體知識(shí)體系，促進(jìn)知識(shí)深化。此外，教師借助幾何直觀可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，獲得更長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展。

二、理解算理算法

掌握算理、探究算法對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識(shí)具有重要意義。在日常教學(xué)中，教師要加強(qiáng)算理教學(xué)，讓學(xué)生真正做到“知其然亦知其所以然”。教學(xué)中，如果想讓學(xué)生真正理解算理算法，單憑教師的講授還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，此時(shí)要借助幾何直觀，讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、聯(lián)想等活動(dòng)來(lái)掌握算理、探究算法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力、解決問(wèn)題能力和推理意識(shí)。

案例2：“小數(shù)乘小數(shù)\"教學(xué)片段

師：觀察圖2，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它是1個(gè)怎樣的圖形？

生1：它是長(zhǎng)為3.8米、寬為3.2米的長(zhǎng)方形。

師：很好，現(xiàn)在我們用圖2中的長(zhǎng)方形拼1個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖3，說(shuō)說(shuō)原來(lái)的長(zhǎng)方形發(fā)生了怎樣的變化？

生2：圖3由10個(gè)長(zhǎng)3.8米、寬為3.2米的長(zhǎng)方形拼成，新長(zhǎng)方形的寬不變，還是3.2米，而長(zhǎng)是原來(lái)的10倍，即 3.8×10=38 （米）。

師：面積如何變化呢？生（齊聲答）：面積是原來(lái)的10倍。

師：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)拼，此時(shí)得到的長(zhǎng)方形又有哪些新變化？你們想到了什么呢？

生3：小長(zhǎng)方形由10個(gè)變成了100個(gè)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是原來(lái)小長(zhǎng)方形的10倍，面積是原來(lái)的100倍。

師：非常好，圖4中長(zhǎng)方形的寬如何用算式來(lái)表示呢？

生（齊聲答）： 3.2×10=32 （米）。

師：你們能用算式表示以上3個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？

生4：圖2長(zhǎng)方形的面積為 3.2× 3.8；圖4長(zhǎng)方形的面積為 3.2×38 ；圖4長(zhǎng)方形的面積為 32×38 。

師：結(jié)合以上探究過(guò)程，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)4 3.2×3.8 ”與 32×38 ”有什么關(guān)系？

生5：結(jié)合以上探究過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，圖4中有100個(gè)小長(zhǎng)方形，所以大長(zhǎng)方形的面積是小長(zhǎng)方形面積的100倍，也就是說(shuō)“ 32×38^′′ 是‘ 3.2× 3.8\"的100倍。

生6：還可以說(shuō) 3.2×3.8 是 32× 38\"的百分之一。

師：以上兩個(gè)算式哪個(gè)是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的？

生（齊聲答）： 32×38 。

師：已知 32×38=1216 ，你知道3.2×3.8 等于多少嗎？

生（齊聲答）： 12.16_c 師：你們是如何計(jì)算的呢？

生7：就是先計(jì)算 32×38 的積，然后將計(jì)算結(jié)果除以100，就可以得到 3.2×3.8 的積。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)入手，借助長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的變化讓學(xué)生體會(huì)小數(shù)乘小數(shù)與整數(shù)乘整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生更加形象、直觀地理解小數(shù)乘小數(shù)的算法和算理。

案例3：“有余數(shù)的除法\"教學(xué)片段

結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，常常因?yàn)椴幻靼住坝鄶?shù)一定比除數(shù)小\"這一道理而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤?；诖耍瑸榱藥椭鷮W(xué)生消除誤區(qū)，讓學(xué)生明晰其中的道理，教師從幾何直觀入手，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手做自己歸納出“余數(shù)一定要比除數(shù)小\"的結(jié)論。

師：如果用11個(gè)同樣大小的小棒擺三角形，你們會(huì)嗎？

生（齊聲答）：會(huì)。

師：大家擺一擺，看看能擺幾個(gè)三角形？還剩幾根小棒？

學(xué)生積極操作，很快得到了結(jié)果。

生8：可以擺出3個(gè)三角形，還剩下2根小棒。

師：你們能用算式來(lái)表達(dá)這一實(shí) 驗(yàn)結(jié)果嗎？

生 9：11÷3=3 （個(gè)）·2（根）。

師：這些小棒可以擺出幾個(gè)正方形？幾個(gè)五邊形？分別剩幾根小棒呢？

生10：可以擺2個(gè)正方形，剩3根，也就是 11÷4=2 （個(gè)）··3（根）；可以擺2個(gè)五邊形，剩1根，也就是 11÷ 5=2 （個(gè)）·1（根）。

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，分別用不同的小棒擺三角形、正方形、五邊形，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果填寫(xiě)到表1、表2和表3中，結(jié)合表格內(nèi)容，說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)。

教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生想一想、擺一擺、算一算、填一填。學(xué)生通過(guò)直觀操作易于發(fā)現(xiàn)，如果擺三角形，剩余小棒數(shù)一定小于3;如果擺正方形，剩余小棒數(shù)一定小于4;如果擺五邊形，剩余小棒數(shù)一定小于5。至此，學(xué)生可以自己總結(jié)歸納出“余數(shù)一定比除數(shù)小\"的結(jié)論。

在日常教學(xué)中，教師不要急于將結(jié)論告知學(xué)生，應(yīng)該提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生操作、探索、抽象，讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷知識(shí)生成過(guò)程，從而深刻地理解知識(shí)，明晰蘊(yùn)含其中的道理，提高自主探究能力。

三、探索運(yùn)算規(guī)律

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握運(yùn)算規(guī)律，可以?xún)?yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率。小學(xué)生的思維正處于由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的階段，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)離不開(kāi)具體事物的支撐。在探索運(yùn)算規(guī)律的過(guò)程中，教師可以借助幾何直觀開(kāi)展教學(xué)，這樣不僅更易于學(xué)生理解和接受，而且可以調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例4：“乘法分配律\"教學(xué)片段

師：請(qǐng)大家畫(huà)1個(gè)長(zhǎng)為6cm、寬為 2cm 的長(zhǎng)方形和1個(gè)長(zhǎng)為 4cm 寬為 2cm 的長(zhǎng)方形。如果要求這2個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，可以怎么做？

生1：可以先分別計(jì)算2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再相加，也就是 6×2+4×2= 20cm².

師：還有其他方法嗎？

生2：這里2個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是2cm ，可以將2個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起，得到1個(gè)長(zhǎng)為 （6+4）cm ，寬為 2cm 的長(zhǎng)方形，它的面積是： （6+4）×2=20（cm²） 。

師：根據(jù)以上結(jié)果，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生 3：6×2+4×2 和 （6+4）×2 的計(jì)算結(jié)果相等。

師：請(qǐng)借助圖5進(jìn)一步說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)。

生4：從圖形中不難看出，左邊長(zhǎng)方形的面積是6個(gè)2，右邊長(zhǎng)方形的面積是4個(gè)2，2個(gè)長(zhǎng)方形所拼出的大長(zhǎng)方形的面積是10個(gè)2，所以6個(gè)2與4個(gè)2之和等于10個(gè)2，即 6×2+ 4×2 和 （6+4）×2 的計(jì)算結(jié)果相等。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造圖形探索蘊(yùn)含其中的規(guī)律，讓學(xué)生充分感知幾何直觀的價(jià)值和意義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)；同時(shí)，借助幾何直觀，使抽象的知識(shí)變得形象、生動(dòng)，有效地提高了學(xué)生探究的積極性，加深了對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

案例5：\"混合運(yùn)算\"教學(xué)片段

在混合運(yùn)算教學(xué)中，部分教師直接讓學(xué)生熟背“先乘除后加減\"這一運(yùn)算法則，然后通過(guò)大量的練習(xí)進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化，這樣不僅難以讓學(xué)生明晰蘊(yùn)含其中的道理，而且容易增加數(shù)學(xué)的枯燥感，影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣?；诖耍虒W(xué)中教師可以充分發(fā)揮直觀模型的助教作用，讓學(xué)生潛移默化地總結(jié)運(yùn)算法則，加深知識(shí)理解。

教師用圖片出示商品單價(jià)：薯片4元/袋，面包5元/個(gè)，餅干7元/袋，然后提出問(wèn)題：如果要買(mǎi)2袋薯片和1袋餅干，一共需要多少錢(qián)？

問(wèn)題給出后，教師讓學(xué)生畫(huà)出簡(jiǎn)圖，如用“ Δ ”表示薯片，用“ 0 ”表示餅干，然后讓學(xué)生在紙上畫(huà)出自己的思維路徑，并寫(xiě)出算式。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)自己想怎么算？

生5：可以先算2袋薯片的總價(jià)，然后加上1袋餅干的價(jià)格，也就是 2×4=8 （元）， 8+7=15 （元）。

師：還可以怎么算呢？

生6：可以列綜合算式，也就是2×4+7=15 （元）。

師：你們是如何計(jì)算的呢？

生7：從左向右計(jì)算，先算乘再算加。

師：如果用餅干的總價(jià)加上薯片的總價(jià)，可以如何列綜合算式？又該如何計(jì)算呢？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、計(jì)算。受已有經(jīng)驗(yàn)影響，部分學(xué)生選擇從左向右算，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果不一致，于是學(xué)生利用簡(jiǎn)圖重新梳理計(jì)算路徑，順利解答。

師：如何求5袋薯片和8袋餅干的總價(jià)，你們會(huì)求嗎？

教師讓學(xué)生先動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、擺一擺、圈一圈，以此突破混合運(yùn)算中“自左向右\"計(jì)算的誤區(qū)，明晰“先乘后加\"的根本原理。

以上教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造圖形表示數(shù)量關(guān)系，借助已有生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步理解“先乘后加減\"這一運(yùn)算法則，有效提高了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

總之，數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，教學(xué)中教師要重視引導(dǎo)學(xué)生深挖相關(guān)內(nèi)容的幾何內(nèi)涵，借助圖形讓學(xué)生加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，充分感知數(shù)形結(jié)合的獨(dú)特魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性，培養(yǎng)幾何直觀、符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)等素養(yǎng)。