巧解2024年天津高考數(shù)學第15題

題目 （2024年天津高考數(shù)學第15題）若函數(shù) 恰有一個零點，則a 的取值范圍為

該題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點與方程的根、函數(shù)的單調(diào)性及其應用等知識，本文從分類討論、等價轉化和數(shù)形結合等數(shù)學思想入手巧解此題，以供參考.

思路1 小題小做，運用零點存在定理與數(shù)形結合思想.

解法1 易知，當 a=a₀ 時 ??f（x） 有零點 x₀ ，等價 于當 a=-a₀ 時 f（x） 有零點 ，故只需考慮 0.

當 a=0 時 f（x）=2|x|-1 有兩個零點 x= ，故 a≠0

當 a=2 時 關于直線 x=1 對稱，且 f（1）≠0 ，不符合題意，故 a≠2

因為 所以 f（x） 在 上總有零點，若 agt;2 ，則x-∞ 時 f（x）?-∞ ，所以 f（x） 在 上有零點，與題設不符，故 0

設 |ax-2|-1 ，由 y= （20 得 ，所以y=g（x） 的圖象是雙曲

圖1

線的一部分曲線 C₁ 與 C₂ （如圖1），其漸近線為 l₁ 與l₂，y=h（x） 的圖象是\" V^? 圖2形折線（實線），與 x 軸的兩個交點為 與 ，由于 k_PC gt;k_l1 ，且點 C 在原點右側，故 PC 與曲線 C₁ 始終恰有一個交點，要使 f（x） 恰有一個零點，必需 PB，PC 與曲線C沒有交點，故點A在B、C之間，即lt;αlt;，解得 ，故

思路2直接解方程 f（x）=0 是最自然的想法，同解法1，不妨設 agt;0，a≠2 ，當 x?0 時，此方程易解（見下文）；但當 x?a 時，由于討論非常復雜，可用函數(shù)的單調(diào)性來研究零點，

解法2 f（x） 的定義域為 {x∣x?0 ，或 ，當 x?0 時

（1）當 agt;2 時方程 ① 有兩個負根 與x2 不符合題意.

（2）當 02 依題設知 f（x） 在 [a，+∞） 上沒有零點.因為 ，所以當xgt;a，且x≠2 時

0，所以 f（x） 在 [a，+∞） 上遞增，又 x+∞ 時，f（x）?+∞ ，所以要 f（x） 在 [a，+∞） 上沒有零點，只要 ，即 1-1a²-21gt;0 ，解得 ，故

思路3先分情況去絕對值再平方去根號，轉化為一元二次方程，最后通過分參結合圖象求出 a 的范圍.

解3由 f（0）=-1 （204號知 x=0 不是 f（x） 的零點.當 a=0 時 I（x）= 2|x|-1 有兩個零點 x ，故a≠0.設 ，則f（x）=0 ，即 ∣t-2∣+1=0②.

圖2

（1）當 t?2 時，方程 ② 可化為 設 k=

（2）當 tlt;2，t≠0 時，同上得方程 ② 等價于 ，其中 ，或 klt;0 設 3'則f（x） g（k），其中k = ，作出 y=g（k） 的圖象如圖2，由圖2可知，當 即 ， 時 f（x） 恰有一個零點.

注解法3的關鍵在于帶參換元與平方，從而簡化分類討論.并且由解法3容易求出 a 在什么范圍內(nèi)時，函數(shù) f（x） 有一個、二個、三個、四個零點.