例析極端原理在拓展數(shù)學(xué)思維的深度與廣度中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題的廣闊天地里，極端原理以獨(dú)特視角深人極端情形，無論是數(shù)值的極限、長(zhǎng)度的極值，還是角度的極界，皆能揭示隱藏規(guī)律，指引解題方向.本文立足極端原理的數(shù)學(xué)根基，通過典型例題，深人剖析其在優(yōu)化解題思維、提升思維品質(zhì)上的獨(dú)特價(jià)值，助力學(xué)子在數(shù)學(xué)征途中披荊斬棘.

1 極端原理的內(nèi)涵與理解

極端原理指的是抓住在全體對(duì)象中某個(gè)極端元素或某個(gè)元素的極端狀態(tài)進(jìn)行探究，即在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究這些極端狀態(tài)，揭示問題的本質(zhì)、找到解題的途徑.極端原理強(qiáng)調(diào)從問題的邊界或臨界狀態(tài)出發(fā)，通過極限思想來分析和解決問題.然而，大部分教師在教學(xué)時(shí)將特殊值法與極端原理等同，甚至只知特殊值法而不知極端原理.事實(shí)上，極端原理更側(cè)重于通過極端情況來揭示問題的本質(zhì)，而特殊值法側(cè)重于通過特定值來簡(jiǎn)化問題或盡快獲得結(jié)果.即便是在取值判斷（特殊值法）時(shí)，極端原理還關(guān)注“值”的極端狀態(tài)，即值的分類、值之間的大小關(guān)系等.下面我們通過一個(gè)例題來說明.

例1（2022年新高考 II 卷第12題改編）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，則.

析解對(duì)于此題，運(yùn)用特殊值法解題，如取 x= y=1 ，滿足 x²+y²-xy=1 ，但 x+y=2，x²+y²= 2，故 A 和 c 不正確.隨后學(xué)生便很難通過特殊值法在 B 和 D 選項(xiàng)間進(jìn)行取舍.但若用極端原理來審視變量取值的過程，留意 x 和 y 兩個(gè)變量取值的分類情況以及值的極端性，便能迅速找到解決問題的關(guān)鍵突破口.如在取值時(shí)考慮到“ x，y 值的正負(fù)、相等、互為相反數(shù)等”極端特殊情況，便會(huì)發(fā)現(xiàn)取 ， 時(shí)，滿足x2+y2-xy=1，但x2+2=，所以 D 不正確，故選 B.

以上不難看出，極端原理給特殊值法賦予了新的內(nèi)涵.

2 極端原理的應(yīng)用

極端原理，作為數(shù)學(xué)解題的精髓思想，廣泛應(yīng)用于幾何、函數(shù)、代數(shù)等多個(gè)領(lǐng)域.在幾何解題時(shí)，它引導(dǎo)我們捕捉圖形的極端狀態(tài)，如點(diǎn)、線、面的極限位置；在求解函數(shù)最值時(shí)，它讓我們考慮函數(shù)的極端取值，結(jié)合不等式、導(dǎo)數(shù)等精準(zhǔn)高效地破解問題.

例2（2024北京卷第15題）設(shè) {a_n} 與 {b_n }是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合 M Ψ={k∣a_k=b_k，k∈N^*} ，給出下列4個(gè)結(jié)論：

① 若 {a_n }與 {b_n }均為等差數(shù)列，則 M 中最多有1個(gè)元素；② 若 {a_n 與 {b_n }均為等比數(shù)列，則 M 中最多有2個(gè)元素；③ 若 {a_n} 為等差數(shù)列， {b_n} 為等比數(shù)列，則 M中最多有3個(gè)元素；④ 若 {a_n }為遞增數(shù)列， {b_n} 為遞減數(shù)列，則 M中最多有1個(gè)元素其中正確結(jié)論的序號(hào)是

析解對(duì)于 ① ，因?yàn)?{a_n}，{b_n} }均為等差數(shù)列，故可將它們與兩條直線上的點(diǎn)列 n，a_n），n，b_n） 對(duì)應(yīng)，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，即 M 中至多一個(gè)元素，故 ① 正確.

對(duì)于 ② ，運(yùn)用極端原理，取特例時(shí)關(guān)注等比數(shù)列的分類，尤其要關(guān)注兩個(gè)公比取值的正負(fù)、相互關(guān)系.如考慮兩個(gè)公比互為相反數(shù) a_n= 2ⁿ，b_n= ?-2）ⁿ ，則 {a_n}，{b_n} 均為等比數(shù)列，但當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，有 a_n=b_n ，此時(shí) M 中有無窮多個(gè)元素，故 ② 錯(cuò)誤.

對(duì)于 ④ ，因?yàn)?{a_n} 為遞增數(shù)列， {b_n} 為遞減數(shù)列，前者與一個(gè)增函數(shù)圖象上的一列點(diǎn)對(duì)應(yīng)，后者為一個(gè)減函數(shù)圖象上的一列點(diǎn)對(duì)應(yīng)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故 ④ 正確.

對(duì)于 ③ ，從極端原理的角度列舉分析，便會(huì)想到等比數(shù)列的公比 q 有正負(fù)之分，也有 ∣q∣gt;1 ！∣q∣=1，∣q∣lt;1 之分．不難給出特列 {a_n} ：1，-2，-5，-8，…，{b_n}：1，-2，4，-8，… ，使得 M 中有三個(gè)元素.將等差數(shù)列與直線上的一列點(diǎn)對(duì)應(yīng)、等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)圖象 qgt;0 且 是一條曲線， qlt;0 且 是兩條曲線（如右圖））上的點(diǎn)列對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合便知 M 中不可能有四個(gè)及更多的元素，故 ③ 正確.

例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn) o ，離心率 e= 短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 ，點(diǎn) M 為直線 與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，平行于OM的直線 l 交橢圓于 ^A，B 兩點(diǎn).求證：直線 MA，MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形

析解 設(shè)MA，MB 與 x 軸分別相交于P，Q 點(diǎn)，那么要證明△MPQ為等腰三角形，到底是要證明MP，MQ，PQ 三邊中的哪兩

圖1

邊相等呢？這是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生常常會(huì)畫出圖來分析，如圖1.但從圖1很難看出來，但如利用極端原理分析便可輕易突破難點(diǎn)，

極端情況1：考慮直線 l 經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn) A 和上頂點(diǎn) B ，

如圖2.此時(shí)顯然能看出只要證MP，MQ兩條線段相等便可.

圖2

極端情況2：考慮直線 l 與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)非常接近時(shí)（幾乎重合），如圖3.此時(shí) PQ 的長(zhǎng)度非常小，顯然能看出只要證明MP，MQ兩條線段相等便可完成解答.

圖3

具體解答略.

上述思路巧妙地運(yùn)用了極端原理，在證明直線MA，MB 與 x 軸圍成等腰三角形的過程中，通過設(shè)定直線 l 經(jīng)過橢圓的特殊位置（如左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)）和直線 l 與橢圓交點(diǎn)重合的極端情況，分析問題，找到突破口—證明 MP 與 _MQ 線段相等，進(jìn)而確定方向解決問題.這種思維方式彰顯了極端原理在解決數(shù)學(xué)問題中的獨(dú)特價(jià)值

例4 （2020年北京卷第19題）已知橢圓 過點(diǎn) AΩ-2，Ω-1） ，且 a=2b （I）求橢圓 C 的方程；（Ⅱ）過點(diǎn) B-4，0） 的直線 l 交橢圓 c 于點(diǎn) M

N ，直線 MA，NA 分別交直線 x=-4 于點(diǎn) P Q.求 的值.

析解 1） 易得C 的方程為 Ψ=1

圖4

（Ⅱ）設(shè) Mx₁ y₁ ） Φ_{Nx2，y2）} ，將直線MN：y=kΦ_x+4） 和橢

圓 聯(lián)立后，可得 （20 1 x+2（x+2），令x=-4可得 ，同理得

但在計(jì)算 的值，即 時(shí)，因不能直接將韋達(dá)定理所得的式子代入化簡(jiǎn)．若運(yùn)用極端原理去分析問題，進(jìn)行先猜后證就顯得尤為重要了.如取直線 ξ_l 的斜率為零，則直線 l 為 x 軸，不妨設(shè) M，N 分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，則 ， ，則 AM 所在直線方程為 ，令 x=-4 得 ，同理可求得 ，所以

據(jù)此猜想一般情況下所求的值 ，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為證 ，即 ，即要證 y_P+ y_Q=0 ．隨即按照題意通過聯(lián)立方程等手段便可解決問題.

例5若 ΔABC 的面積為 ，且∠C 為鈍角，則 的取值范圍是

析解1 由余弦定理得 由正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化得 ，利用 A∈

，可求得 的范圍是 2，+∞） ：

上述分析較為常規(guī)，是一些公式的機(jī)械套用，做完題后學(xué)生也是知其然不知其所以然．但若構(gòu)造“極限位置”來分析和解決問題，便會(huì)真正明白試題的背景和個(gè)中意圖.

析解2 如圖5，在 ΔABC₀ 中 則 ．當(dāng)點(diǎn) c 在線段 C₀B 上，且從點(diǎn) C₀ 向點(diǎn) B 移動(dòng)時(shí)，由∠ACB 為鈍角，知 ΔABC 符合題意．此時(shí)邊 c 不變，而 BC （即邊 a ）從 BC₀ 連續(xù)變化到0，所以 從2連續(xù)變化到 +∞ ，即 的取值范圍是 2，+∞）

圖5

在解決這道題目時(shí)，我們巧妙運(yùn)用了構(gòu)造法、極端原理等數(shù)學(xué)智慧，這些正是數(shù)學(xué)解題中不可或缺的思維方式，如構(gòu)造法幫助我們構(gòu)建橋梁，極端原理則引領(lǐng)我們探索邊界、提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

3 結(jié)語

極端原理在數(shù)學(xué)解題中直擊問題核心，揭示深層規(guī)律.它不僅簡(jiǎn)化了復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的剖析路徑，更拓寬了思維的深度與廣度，讓解題思路豁然開朗．更重要的是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)悟并內(nèi)化這些思維方式.掌握極端原理，對(duì)于深化數(shù)學(xué)思維、拓展解題廣度至關(guān)重要.我們應(yīng)悉心體會(huì)這種思維方式的精髓，從而在數(shù)學(xué)的海洋中游刃有余，真正理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的魅力.