橢圓光斑在四象限探測(cè)器定位算法的研究

中圖分類號(hào)：TN249；TN247文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Research on localization algorithm of elliptical spot in four quadrant detector

HAOLinjie，MA Junshan，JINTao （School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

Abstract： In order to improve the measurement accuracy of the elliptical Gaussian spot position in the four quadrant detector and the position detection accuracy of the elliptical spot and the center coordinate of the four quadrant detector with an offset rotation angle， a localization algorithm for the elliptical Gaussian spot is proposed. An eliptical light spot with Gaussian distribution was used as the incident light spot model， and infinite integral fiting algorithm and the least squares method were used to fit the optimal analytical expression. In order to establish all models of elliptical spot in the four quadrant detector， polynomial fiting was performed on the offset angle to simplify the calculation of the algorithm for locating the offset angle between the elliptical spot and the center coordinate of the four quadrant detector. Finally，based on simulation，the fiting relationship between the offset angle and the localization algorithm was determined. The positioning accuracy of the algorithm can reach sub-micron level， providing a theoretical basis for the localization algorithm of elliptical spots.

Keywords： four quadrant detector; elliptical spot; offset angle; localization algorithm; Gaussian spot

引言

1四象限探測(cè)器光斑定位原理和算法

四象限探測(cè)器（four quadrant detector，F(xiàn)QD）是由4個(gè)基本相同的光電二極管組成，用來定位外部投射光斑相對(duì)四象限探測(cè)器中心的位置]。它具有靈敏度高、光譜范圍廣、位置分辨率高、抗干擾能力強(qiáng)2等優(yōu)點(diǎn)，因此常被應(yīng)用于軍事制導(dǎo)、精密檢測(cè)、航空等領(lǐng)域，并可用于關(guān)鍵部件的力學(xué)參數(shù)測(cè)量，如船用實(shí)心軸形變監(jiān)測(cè)、飛機(jī)螺旋槳推力測(cè)試以及風(fēng)力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)軸扭矩測(cè)量。在利用光學(xué)方法測(cè)量船用實(shí)心軸因海水阻力產(chǎn)生的微小形變時(shí)，位移、速度或角度參數(shù)的測(cè)量精度均受多種因素影響，而光斑中心定位算法的誤差是主要誤差來源之一。近年來，研究者針對(duì)四象限探測(cè)器光斑定位精度的影響因素開展了大量研究：文獻(xiàn)[3]分析了經(jīng)典和差算法、對(duì)角線算法、對(duì)數(shù)算法等，但這些算法的測(cè)試精度不足；文獻(xiàn)[4]提出了高精度的數(shù)據(jù)庫(kù)查詢法，其仿真誤差相對(duì)于經(jīng)典算法的誤差顯著減小，達(dá)到10^-5mm 數(shù)量級(jí)，但由于計(jì)算量大，無法滿足實(shí)時(shí)性需求；文獻(xiàn)[5]使用Composite擬合算法進(jìn)行光斑定位，仿真實(shí)驗(yàn)表明，其測(cè)量誤差為10^-4 mm數(shù)量級(jí)。該算法是目前應(yīng)用最廣泛的定位算法。以上定位算法都基于標(biāo)準(zhǔn)圓形光斑，這也是目前研究最為廣泛的一種模型。文獻(xiàn)[6]詳細(xì)分析了光斑的形狀，并建立了橢圓光斑模型。當(dāng)光束與探測(cè)器光敏面法線存在微小夾角時(shí)，橢圓光斑模型能夠減小由此所產(chǎn)生的誤差。但該模型計(jì)算光斑中心位置的精度不高，且只討論了橢圓光斑長(zhǎng)短軸與四象限探測(cè)器中心坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合這一種情況，并沒有分析橢圓光斑長(zhǎng)短軸與坐標(biāo)軸存在偏移角時(shí)的情況。

為了解決橢圓光斑長(zhǎng)短軸與坐標(biāo)軸存在偏移角時(shí)的定位問題，本研究提出了基于橢圓模型的無窮積分（infiniteintegral）擬合算法，采用最小二乘法擬合最佳解析表達(dá)式。首先進(jìn)行了仿真計(jì)算，該定位算法的測(cè)試精度為微來量級(jí)，并設(shè)計(jì)系統(tǒng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理。同時(shí)，對(duì)該算法進(jìn)行補(bǔ)償修正，補(bǔ)償后的精度能夠達(dá)到亞微米量級(jí)，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

四象限探測(cè)器由4個(gè)理論上性能一致的光電二極管組成[6-7]。如圖1所示，4個(gè)探測(cè)器均勻地排布在直角坐標(biāo)系的A、 B 、 C ！ D 這4個(gè)象限上。當(dāng)半導(dǎo)體激光器發(fā)出的光束照射在四象限探測(cè)器光敏面上時(shí)，光電二極管會(huì)因受激吸收產(chǎn)生電子，從而形成電流。該電流大小和探測(cè)器所接收的光能量成正比[8]。

當(dāng)光斑中心 （x₀ ， y₀ ）相對(duì)于四象限探測(cè)器光敏面發(fā)生偏移時(shí)，各象限接收的光能量也會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致每個(gè)光電二極管產(chǎn)生的電流大小發(fā)生改變。根據(jù)經(jīng)典的加減法，可以得到光斑中心的解算值（，）[6-8]

式中： ）為光斑中心在四象限探測(cè)器上的解算值； I_A I_C 、 I_D 為四象限探測(cè)器每個(gè)象限產(chǎn)生的光電流； P_A 、 P_B 、 P_C 、 P_D 為每個(gè)象限接收的光能量。

2 基于橢圓高斯光斑四象限探測(cè)器定位算法

2.1橢圓高斯光斑模型

當(dāng)激光在真空或大氣中近距離傳輸時(shí)，照射于四象限探測(cè)器光敏面上的光束能量分布可近似為高斯分布[]，具有中心強(qiáng)度最高，徑向強(qiáng)度逐漸衰減的特征，如圖2所示。激光照射光斑的位置情況可以分為兩種：一種如圖3（a）所示，橢圓光斑長(zhǎng)短軸與四象限探測(cè)器坐標(biāo)軸重合；另一種如圖3（b）所示，橢圓光斑長(zhǎng)短軸與四象限探測(cè)器坐標(biāo)軸存在偏移角。

橢圓高斯光斑的能量分布函數(shù)[1]為

其中

式中： （x，y） 為光斑任意點(diǎn)坐標(biāo)； I₀ 為高斯光斑總能量； r_x 、 r_y 為橢圓高斯光斑的長(zhǎng)軸和短軸；（x₀，y₀） 為光斑中心坐標(biāo)； θ 為橢圓光斑長(zhǎng)短軸相對(duì)四象限探測(cè)器坐標(biāo)系 軸的偏移角。圓形高斯光斑能量分布也可以用該函數(shù)來表示。

2.2基于橢圓高斯光斑的無窮積分定位算法

根據(jù)以上橢圓形光斑能量分布模型，再結(jié)合四象限探測(cè)器的象限寬度半徑 R ，同時(shí)將探測(cè)器光敏面的盲區(qū)半寬度 d 考慮在內(nèi)，通過式（4）可以更加精確地推導(dǎo)出橢圓光斑在四象限探測(cè)器各象限的光能量[11]

將式（4）代人式（1），可得到光斑中心位置相對(duì)于四象限探測(cè)器中心的解算表達(dá)式

式（5）屬于超越方程，無法求解。高斯光斑在光敏面外的光強(qiáng)很弱，可以忽略不計(jì)，將積分的上下限轉(zhuǎn)化成無窮，可以對(duì)方程進(jìn)行求解，得到的表達(dá)式為[12]

式中， ，為誤差函數(shù)，其中t 為積分運(yùn)算的中間變量。對(duì)式（6）兩邊取反函數(shù)，可得到關(guān)于 和 的近似解。

同理， x₀ 和 y₀ 的表達(dá)式為

可將式（7）中的光斑中心位置近似表達(dá)式改寫為

式中， ，是僅關(guān)于 的函數(shù)，可通過查表得到。但它未考慮四象限探測(cè)器光敏面外環(huán)境的影響，所以其誤差較大。為了提高四象限探測(cè)器檢測(cè)精度和線性檢測(cè)范圍，引入補(bǔ)償因子 ^[13]η 對(duì)行函數(shù)進(jìn)行擬合。光斑中心位置的解析表達(dá)式為

在 η 中引入影響因素 r_x，r_y ，可將式（9）后兩項(xiàng)合并，得

為了得到補(bǔ)償因子 的函數(shù)，假設(shè)橢圓高斯光斑照射在半徑為 R ，盲區(qū)寬度為 2d 的四象限探測(cè)器光敏面上。將光斑中心 （X_i ， Y_i ）從 （ε-μ，ε0） 移動(dòng)到 （μ，0） ，步長(zhǎng)為 σ_s ，記錄每一步中四象限輸出電流值，將真實(shí)值 （X_i，Y_i） 和解算值 一一映射。采用最小二乘法，建立位置檢測(cè)誤差的數(shù)學(xué)模型

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得到

=0，計(jì)算出最優(yōu)ηx、ny

本文以 R=3.8mm ， d=0.021mm 的四象限探測(cè)器為例進(jìn)行仿真分析，該定位算法也適用于其他四象限探測(cè)器。在實(shí)際應(yīng)用中，選定好合適的四象限探測(cè)器和光源后，保持探測(cè)器和光源的距離不變，就可將測(cè)量系統(tǒng)中四象限探測(cè)器的R 、 d 和光斑的 r_x 、 r_y 視為固定值。當(dāng)入射光斑的長(zhǎng)短軸分別為 3mm 和 2mm 時(shí)，設(shè)定不同偏移角 θ ，則補(bǔ)償因子 η_x 、 η_y 是僅關(guān)于 θ 的函數(shù)。由圖4可知，長(zhǎng)軸與四象限探測(cè)器坐標(biāo)系中 x 軸重合，短軸與 y 軸重合的橢圓光斑繞中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，長(zhǎng)短軸與四象限探測(cè)器坐標(biāo)軸的偏移角將越來越大， x 軸的補(bǔ)償因子會(huì)隨之減小，而y 軸的補(bǔ)償因子會(huì)隨之增大。

由圖4可知，補(bǔ)償因子 η_x 、 η_y 是關(guān)于 θ 的函數(shù)，通過五次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，計(jì)算式為

η_x=1.470 2-1.268 53×10^-4×θ-1.043 73×10^-4×

η_y=0.97053-2.33188×10^-4×θ+2.2438×10^-4×

在其他因素都確定的情況下，根據(jù)四象限探測(cè)器輸出的 ，及式（14）求出的補(bǔ)償因子就可求出光斑中心位置 ，其擬合表達(dá)式為

1.04373×10^-4×θ²-7.73896×10^-7×θ³+

1.8017×10^-8×θ⁴-4.33646×10^-11×θ⁵）

2.2438×10^-4×θ²-1.59869×10^-6×θ³-

8.84177×10^-9×θ⁴+7.59771×10^-11×θ⁵）

由式（15）可知，對(duì)于同一套測(cè)試系統(tǒng)，在四象限探測(cè)器和光源確定的情況下，只需做一組標(biāo)定實(shí)驗(yàn)就可以確定光斑中心位置與偏移角的關(guān)系。這不僅能減少計(jì)算量，還能使定位精度達(dá)到微米量級(jí)。

仿真計(jì)算了偏移角分別為 0^° 、 30^° 、 45^° 和60^° （見圖5）時(shí)，橢圓光斑沿 x 或 y 軸移動(dòng)時(shí)的定位算法誤差。圖6所示為，橢圓光斑沿 x 軸移動(dòng)時(shí)的定位算法誤差。由圖可知，當(dāng)偏移角分別為 0^° 、 30^° 、 45^° 和 60^°| 時(shí)，4條誤差曲線均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 x 軸的定位算法誤差及最大誤差值均隨偏移角的增大而增大。在（0，0.75）mm區(qū)間內(nèi)，定位算法誤差隨偏移角增大而增大。圖7是橢圓光斑沿 y 軸移動(dòng)時(shí)的定位算法誤差，曲線的變化趨勢(shì)與 x 軸的相同，但在（0，0.5）mm區(qū)間內(nèi)， y 軸的定位算法誤差隨偏移角的增大而逐漸減小。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證橢圓光斑模型無窮積分?jǐn)M合算法的有效性和精度，設(shè)計(jì)了基于四象限探測(cè)器的光斑位置檢測(cè)系統(tǒng)。它包括波長(zhǎng)為 620nm 的激光器，直徑為 7.8mm 的光敏面，盲區(qū)為 0.042mm 的四象限探測(cè)器（Thorlabs，QPD80A）以及二維精密位移臺(tái)。系統(tǒng)還包括信號(hào)采集和數(shù)據(jù)處理模塊，其中采集卡（VKINGING，VK702N）的本底噪聲為 0.12mV 。圖8為檢測(cè)系統(tǒng)示意圖，激光器發(fā)出的光束經(jīng)光學(xué)透鏡和孔徑光闌后，形成長(zhǎng)軸為 3mm ，短軸為 2mm 的橢圓光斑測(cè)試光束。將四象限探測(cè)器固定安裝于微米級(jí)二維位移臺(tái)上，可實(shí)現(xiàn) x ！ y 軸方向的精密移動(dòng)。

仿真驗(yàn)證了基于橢圓高斯光斑的定位算法。采用圖8所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過手動(dòng)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)（最小刻度為 10^′ ）調(diào)整角度，當(dāng)橢圓光斑長(zhǎng)軸與四象限探測(cè)器光敏面坐標(biāo)系 x 軸呈 0^° 、 30^° 、 45^° 和60^° 夾角時(shí)，進(jìn)行了光斑長(zhǎng)軸和短軸的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。將光斑中心從（ -1mm ，0）移動(dòng)到（ 1mm 0），步長(zhǎng)為 10μm ，在每個(gè)位移點(diǎn)采集四象限探測(cè)器的輸出電流值。通過式（1）的解算位移值和真實(shí)位移值建立映射關(guān)系，標(biāo)定光斑 x 軸補(bǔ)償因子。 y 軸補(bǔ)償因子則通過二維位移臺(tái)將光斑中心從（0， -0.8mm ）移動(dòng)到（0， 0.8mm ，步長(zhǎng)為10μm ，進(jìn)行算法標(biāo)定。接著，將光斑中心從0 （-1mm） ，0）移動(dòng)到（ 1mm ，0），從（0， -0.8mm， 移動(dòng)到（0， 0.8mm ），步長(zhǎng)為 20μm ，在每個(gè)位移點(diǎn)采集四象限探測(cè)器的輸出電流值。利用輸出電流值及標(biāo)定實(shí)驗(yàn)獲得的補(bǔ)償因子定位光斑位置。將定位算法的計(jì)算結(jié)果與光斑真實(shí)位置進(jìn)行比對(duì)，以驗(yàn)證算法的定位精度。

圖9所示為靜態(tài)遮光條件下，測(cè)試系統(tǒng)的四象限探測(cè)器輸出功率譜密度，采集卡的采集頻率為 1Hz 。在采集范圍內(nèi)，測(cè)得系統(tǒng)最大噪聲為3.79×10^-5mm 。

圖10所示為偏移角為 45^° 時(shí) x 軸定位算法補(bǔ)償前后的誤差曲線，圖中小三角形標(biāo)識(shí)曲線為定位算法計(jì)算值與真實(shí)值之間的誤差。由圖6和圖7所示仿真結(jié)果可知，定位誤差曲線在負(fù)半軸和正半軸呈對(duì)稱，所以本文主要分析正半軸區(qū)間（0，1）mm內(nèi)定位算法的誤差，并采用均方根誤差（root mean squared error， RMSE）E_rms 來描述定位精度。Ems= ， N 為定位次數(shù)， X_i 為光斑定位算法計(jì)算值， X 為光斑移動(dòng)真實(shí)值。在 （ 0， 1）mm 區(qū)間內(nèi)，補(bǔ)償前定位算法x 軸的 E_rms 為 8.1595μm 。由圖6可知，偏移角為 45^° 時(shí)，仿真計(jì)算 x 軸的 E_rms 為 2.375μm 定位算法誤差曲線的變化趨勢(shì)和仿真結(jié)果大體相同，驗(yàn)證了本文算法的可行性。補(bǔ)償前算法的固定誤差為微米量級(jí)，為提高光斑定位精度，需對(duì)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)得出的誤差值進(jìn)行補(bǔ)償。圖10中小圓點(diǎn)標(biāo)識(shí)的為補(bǔ)償后 x 軸誤差曲線，其 E_rms 為0.219 3μm ，相對(duì)于補(bǔ)償前算法精度提高了97.3% 。同理，圖11為 y 軸定位算法補(bǔ)償前后的誤差曲線，圖中小三角形標(biāo)識(shí)曲線為定位算法計(jì)算值與真實(shí)值之間的誤差。在（0，0.75）mm區(qū)間內(nèi)，定位算法誤差曲線趨勢(shì)與圖7所示仿真結(jié)果相似，驗(yàn)證了橢圓無窮積分算法的可行性。補(bǔ)償前定位算法 y 軸的 E_rms 為 7.0192μm 。由圖7可知，偏移角為 45^° 時(shí)，仿真計(jì)算 y 軸的 E_rms 為0.964μm 。圖11中小圓點(diǎn)標(biāo)識(shí)的為補(bǔ)償后 y 軸誤差曲線，其 E_rms 為 0.2676μm ，相對(duì)于補(bǔ)償前的算法精度提高了 96.2% 。理論上，修正后的E_rms 應(yīng)該為0，但由于系統(tǒng)處于光照不穩(wěn)定環(huán)境，雜光進(jìn)人等原因會(huì)使得系統(tǒng)噪聲誤差增大。在靜態(tài)遮光條件下，系統(tǒng)最大噪聲誤差為 3.79× 10^-5mm ，所以補(bǔ)償后的誤差精度為亞微米量級(jí)， x 軸和 y 軸的測(cè)量精度已經(jīng)達(dá)到了船用軸承形變量測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)[14]

表1所示為不同偏移角時(shí)，補(bǔ)償前后定位算法的均方根誤差。由結(jié)果可知，在 x 軸方向偏移角越大，均方根誤差越大；在 y 軸方向，偏移角越大，均方根誤差越小。這與圖6和圖7所示仿真結(jié)果相同。本文提出的橢圓無窮積分算法在補(bǔ)償后， x 軸和 y 軸方向的 E_rms 相對(duì)于補(bǔ)償前降低了 94.83%～97.80% 。

4結(jié)論

本文提出基于橢圓高斯模型的無窮積分?jǐn)M合定位算法，通過仿真計(jì)算橢圓光斑長(zhǎng)短軸與探測(cè)器坐標(biāo)系坐標(biāo)軸間的偏移角，驗(yàn)證了算法對(duì)任意偏移角度的適應(yīng)性；在固定光源與四象限探測(cè)器的條件下，通過標(biāo)定實(shí)驗(yàn)建立了光斑中心坐標(biāo)關(guān)于偏移角的函數(shù)模型；進(jìn)一步通過補(bǔ)償修正將檢測(cè)精度提升至 10^-4mm ，滿足船用軸承形變測(cè)試精度。未來在橢圓光斑定位精度的研究中需對(duì)信號(hào)放大處理電路[15]進(jìn)行重點(diǎn)討論，因?yàn)樵谛⌒盘?hào)的處理過程中電磁干擾會(huì)顯著降低定位精度，優(yōu)化算法和抗干擾設(shè)計(jì)是后續(xù)的核心研究方向。

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（編輯：李曉莉）