基于大概念視角下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的實(shí)踐與思考

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2020版）提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重知識的結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性，以單元教學(xué)設(shè)計開展教學(xué)活動，將教學(xué)的視野從課時拓展到單元，從關(guān)注知識點(diǎn)的教學(xué)到關(guān)注更大范圍的教學(xué).

學(xué)校開展青年教師賽課活動，課題是“冪函數(shù)”.蘇教版在這章的研究順序是按照指數(shù)，對數(shù)，函數(shù)的概念和性質(zhì)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的順序研究的，將冪函數(shù)作為第一個函數(shù)研究，是為后面研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)提供研究思路，因此基于大概念視角下從單元教學(xué)的角度調(diào)整教學(xué)方式，激活學(xué)生已有的知識，引導(dǎo)學(xué)生遷移應(yīng)用，融會貫通，構(gòu)建新的知識體系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

2 學(xué)情分析

冪函數(shù)是必修1第六章的內(nèi)容，是生活中常見的函數(shù)模型，也是基本初等函數(shù)的重要內(nèi)容之一.在此之前，學(xué)生具備已學(xué)的正比例、反比例、二次函數(shù)等知識，為本課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).但是，學(xué)生缺乏對研究一類函數(shù)的內(nèi)容和方法的認(rèn)識，教師在教學(xué)過程中聯(lián)系學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，以及前面學(xué)習(xí)過的一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例歸納共性、抽象出概念、構(gòu)建整體思路，再展開具體研究，深刻體會研究一類函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法.由于函數(shù)思想是一個難點(diǎn)，教師在設(shè)計教學(xué)時需要按照單元教學(xué)思路，整體設(shè)計函數(shù)主線單元教學(xué)，螺旋上升，促進(jìn)函數(shù)理解.

3基于大概念教學(xué)的單元教學(xué)設(shè)計思路

本節(jié)課教師要讓學(xué)生充分體會研究一類函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法，經(jīng)歷“通過實(shí)例歸納共性一抽象概念一圖像與性質(zhì)一應(yīng)用”的過程.在教學(xué)過程中，教師合理創(chuàng)建實(shí)例情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納出冪函數(shù)的概念.在圖象和性質(zhì)的研究過程中，要注意引導(dǎo)觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn)，思考如何作圖，分析五個函數(shù)圖象的共性和個性而得出性質(zhì).通過小組合作交流的方式引導(dǎo)學(xué)生自主探究，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生從合作中獲取知識，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.同時，利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，幫助學(xué)生驗(yàn)證猜想，突破教學(xué)難點(diǎn).

4基于大概念教學(xué)的單元教學(xué)設(shè)計流程

環(huán)節(jié)一——情境導(dǎo)學(xué)，聚焦概念

問題1我們知道函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，并研究了一般函數(shù)的性質(zhì)，請同學(xué)們思考我們能否利用一般函數(shù)的性質(zhì)去研究具體函數(shù).在生活中，其實(shí)有很多類型的函數(shù)，請看下面幾個例子，你能找到其中的函數(shù)關(guān)系嗎？

（1）小明以1元／斤的價格買了某種蔬菜 x 斤，那么她需要支付的總價 y 為 y=x 元；（2）如果正方形的邊長為 x ，那么正方形的面積y 為 y=x² ：（3）如果立方體的棱長為 x ，那么立方體的體積y 為 y=x³ ：（4）如果一個正方形場地的面積為 x ，那么這個正方形的邊長 y 為

（5）如果某人 x 秒內(nèi)騎車行進(jìn)了1千米，那么他騎車的平均速度 y 為 千米/秒.

追問1：觀察這五個函數(shù)的解析式，從解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共性？

追問2：你能否根據(jù)特點(diǎn)歸納總結(jié)出這類函數(shù) 的定義？

設(shè)計意圖教師從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例引入，對五個基本函數(shù)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出冪函數(shù)的定義，構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系，體會函數(shù)的應(yīng)用性.通過總結(jié)出共性，為后面抽象出冪函數(shù)的概念做鋪墊.

環(huán)節(jié)二——師生互動，建構(gòu)新知

師：我們把這類函數(shù)稱為冪函數(shù)，你能給出冪函數(shù)的定義嗎？（學(xué)生討論總結(jié)出冪函數(shù)的定義，教師補(bǔ)充完善）：一般地，函數(shù) y=x^α 叫做冪函數(shù)，其中 x 是自變量， α 是常數(shù).

師：你能寫出哪一些冪函數(shù)嗎？

（學(xué)生回答，師生判斷是否為冪函數(shù)）

師：剛才大家的舉例都很好.我們一起來辨析下面函數(shù)是否是冪函數(shù)？

②y=2x² ③y=（x+1）³ ⑦7=x^α+1

（師生判斷并解答原因）

問題2 y=1 是冪函數(shù)嗎？

生 1：y=1 不是冪函數(shù)，因?yàn)椴皇? 的結(jié)構(gòu).

生2：我覺得是冪函數(shù)， y=1 可以寫成 y=x⁰ 的形式. y=1=x⁰ ，其中 x≠0 ，該探究中沒有強(qiáng)調(diào)，所以不是冪函數(shù).

師：兩位同學(xué)講的都比較好.他們的回答，讓我們更深理解了冪函數(shù)的概念.知道了 y=1 當(dāng)定義域?yàn)?R 時不是冪函數(shù)，當(dāng) x≠0 時是冪函數(shù)

問題3 若函數(shù) y=（m-2）x² 為冪函數(shù)，則 m 值為多少？（學(xué)生解答，教師完善）

設(shè)計意圖 教師給出冪函數(shù)定義后，講解冪函數(shù)這一形式概念的特征，然后對概念進(jìn)行辨析和運(yùn)用.學(xué)生在把握冪函數(shù)這一定義后，能夠較好地辨別冪函數(shù).在這一過程后，學(xué)生更加深入理解了冪函數(shù)這一形式概念的特征.

環(huán)節(jié)三一—自主學(xué)習(xí)，合作探究

師：剛才我們已經(jīng)了解了冪函數(shù)的基本概念，下面我們進(jìn)一步了解冪函數(shù)的性質(zhì)，通過我們之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容你覺得可以從哪幾個方面去研究？

生3：基本概念學(xué)完，可以了解函數(shù)的圖像與性質(zhì)，最后是函數(shù)的運(yùn)用

師：對于冪函數(shù)，我們以這五個冪函數(shù)為例： ，如何去研究其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)呢？

生4：先看函數(shù)定義域，畫函數(shù)圖像，再觀察圖像得到其他性質(zhì).

師：如何畫圖？這些圖像你都會畫嗎？

生5：我們以前不會畫圖時都用描點(diǎn)，

師：很好.那下面大家自己動手，在同一坐標(biāo)系中畫出這五個函數(shù)的圖像.

（學(xué)生自已動手描點(diǎn)畫圖，待學(xué)生畫好后，找?guī)讉€典型的投影，學(xué)生互評）

問題4觀察它們的圖象，上面五個函數(shù)有哪些共同特性？你能總結(jié)出它們的哪些性質(zhì)？

設(shè)計意圖 面對新的問題，把機(jī)會給學(xué)生，學(xué)生自己動手實(shí)踐，教師利用投影展示部分小組成果，指出作圖中的問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，形成“特殊---般”的研究思路，明白研究這類函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法，提高他們的工具意識和數(shù)學(xué)閱讀能力.

師：通過冪函數(shù)圖像，你能否完成下表？（學(xué)生結(jié)合圖像和定義域完成表格）

問題5 你能否總結(jié)出這些冪函數(shù)有哪些共同性質(zhì)？

生6：根據(jù)圖像，我發(fā)現(xiàn)在第一象限冪函數(shù) y= x^α 的單調(diào)性與指數(shù) α 有關(guān)

當(dāng) αgt;0 時，冪函數(shù)是單調(diào)遞增的；當(dāng) α=0 時，冪函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；當(dāng) αlt;0 時，冪函數(shù)是單調(diào)遞減的；

設(shè)計意圖教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，嘗試梳理冪函數(shù)的研究思路，發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主體地位.從圖象分布的區(qū)域、公共點(diǎn)，函數(shù)的對稱性（奇偶性），函數(shù)的變化趨勢（單調(diào)性）三個方面總結(jié)冪函數(shù)性質(zhì)中的“共性”.通過小組合作探究，讓學(xué)生主動探索，參與梳理，強(qiáng)化“套路”，提高學(xué)生的探究能力，學(xué)會數(shù)學(xué)，學(xué)會研究數(shù)學(xué)的能力.從特殊的冪函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)出一般的冪函數(shù)的性質(zhì).

問題6 你能運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)大致畫出 y= 的圖像嗎？你通過剛才的總結(jié)能說出這個函數(shù)哪些性質(zhì)？

生7：定義域?yàn)?{x∣x≠0} ，偶函數(shù)，并且在第一象限單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，關(guān)于 y 軸對稱，在第二象限單調(diào)遞增

（學(xué)生畫出大致圖像）

師：說的很好.你能否總結(jié)出 的圖像有何特點(diǎn)？何時關(guān)于 y 軸對稱？何時關(guān)于原點(diǎn)對稱？在第一象限內(nèi)單調(diào)性如何？

生8：對于函數(shù) ，先看指數(shù)正負(fù)，指數(shù)為正，函數(shù)在第一象限內(nèi)遞增，指數(shù)為負(fù)，函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減；其次再看分母，分母為偶數(shù)，只有第一象限有圖像；若分母為奇數(shù)，則繼續(xù)看分子，若分子為偶數(shù)，則為偶函數(shù)，若分子為奇數(shù)，則為奇函數(shù)

設(shè)計意圖將學(xué)生已經(jīng)會的描點(diǎn)作圖應(yīng)用到冪函數(shù)的作圖中，直觀體驗(yàn)作圖中的取點(diǎn)、連線，體會函數(shù)圖像的對稱美.借助“形”的直觀更深刻理解冪函數(shù)的概念，借助幾何直觀，找到解決問題的思路，體會“數(shù)形結(jié)合”的思想.另外，指數(shù)由整數(shù)到分?jǐn)?shù)，對偶函數(shù)的概念進(jìn)行了拓展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四一綜合運(yùn)用，鞏固新知

例1 請你利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

設(shè)計意圖學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其中運(yùn)用到的冪函數(shù)的性質(zhì).作出冪函數(shù)圖像后，學(xué)生通過“形”，對冪函數(shù)的性質(zhì)已經(jīng)有了一定的理解，本題再通過“數(shù)”解決問題，由圖像直觀到理性推理，加深對新知識的理解，

環(huán)節(jié)五一歸納整理，整體認(rèn)識問題7 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，有哪些收獲？

生9：就知識而言，學(xué)會了冪函數(shù)的概念和圖像，以及利用圖像理解函數(shù)性質(zhì)（解析式，定義域，圖像，值域，單調(diào)性，奇偶性）.

生10：學(xué)會了研究一個新函數(shù)的一般方法.由特殊情況推導(dǎo)一般情況

設(shè)計意圖教師從知識、方法、思想三個層面引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)，教師啟發(fā)、補(bǔ)充、完善，積累、體會研究函數(shù)的方法和思路，學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，同時為后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)做好鋪墊.

5基于大概念教學(xué)的單元教學(xué)反思

5.1設(shè)置生活情境，聚焦大概念單元教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)

情境引入方式可以讓學(xué)生提前對大概念視角下的單元教學(xué)有一個整體認(rèn)知.即先對整體的概貌有一定了解，再研究局部問題.教育家奧數(shù)貝爾曾經(jīng)說過，認(rèn)知一個未知領(lǐng)域時，從已知的整體中分化細(xì)節(jié)，比已知的細(xì)節(jié)中概括整體要容易的多.當(dāng)然，大概念下的單元教學(xué)在情境設(shè)置時，應(yīng)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并與要建構(gòu)的新知識緊密相關(guān)，通過情境的催化，催生出新知識的建構(gòu)，在教學(xué)活動中建構(gòu)整體知識.例如，本節(jié)課中，先通過對五個函數(shù)在生活情境中的整體呈現(xiàn)，感知其函數(shù)模型，進(jìn)而研究每個函數(shù)的性質(zhì)，最后歸納這類函數(shù)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

5.2 注重合作交流，探究大概念單元教學(xué)的“再創(chuàng)造”實(shí)施

以數(shù)學(xué)知識發(fā)展為主線的合作探究，通過學(xué)生的“再探究、再創(chuàng)造”，從知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，將相似知識點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生已有用描點(diǎn)法作基本圖像的經(jīng)驗(yàn)，但是作圖能力有限，并且對圖像的認(rèn)識也不夠清晰，以動手作圖為切入點(diǎn)，通過再經(jīng)歷畫圖過程，引導(dǎo)學(xué)生理解作圖要點(diǎn)，明確看函數(shù)圖像的基本方法，進(jìn)而解決具體的問題.教學(xué)生畫圖、識圖、用圖是后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基本方法.讓學(xué)生在用函數(shù)圖象概括性質(zhì)的過程中充分交流、產(chǎn)生認(rèn)知沖突，教師及時捕捉學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，提煉關(guān)鍵問題、促進(jìn)思維碰撞，助力學(xué)生思考、分析解決問題.

5.3構(gòu)建主題問題，落實(shí)大概念單元教學(xué)的 后續(xù)鋪墊

“主題問題”是指“牽一發(fā)而動全身”的重要核心問題.設(shè)置主題問題，引導(dǎo)學(xué)生在具體的問題情境中，經(jīng)歷問題解決的過程.主題問題的驅(qū)動型，使得單元教學(xué)更具有探究性.

冪函數(shù)是學(xué)完函數(shù)基本性質(zhì)后的第一個函數(shù)，設(shè)置主題問題引導(dǎo)學(xué)生模仿、重復(fù)和運(yùn)用研究冪函數(shù)的路徑和方法，探究、得到這個函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步體會其中用代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì)的方法，為后面研究“指對函數(shù)”做好鋪墊.

5.4強(qiáng)調(diào)反思悟?qū)W，體現(xiàn)大概念單元教學(xué)知識的結(jié)構(gòu)融合

總結(jié)反思的目的是對新學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，反思不足.反思有助于學(xué)生有效的構(gòu)建復(fù)雜的認(rèn)知結(jié)構(gòu).重視反思悟?qū)W，培養(yǎng)學(xué)生的類比和歸納能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.本節(jié)課，及時反思過程，發(fā)現(xiàn)不足，教學(xué)生不斷“回頭看”、提煉數(shù)學(xué)探究的過程，既是嘗試、犯錯的過程，也是學(xué)習(xí)、矯正的過程.得到冪函數(shù)的性質(zhì)后讓學(xué)生“回頭看”研究的思路是如何形成的、研究的方法是如何產(chǎn)生的、研究過程中犯了哪些錯誤受到哪些啟發(fā)等，再現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.