高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念學(xué)習(xí)中的認(rèn)知沖突分析及對(duì)策

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0015-06引用格式：．高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念學(xué)習(xí)中的認(rèn)知沖突分析及對(duì)策[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：15-20.

一、問(wèn)題提出

史寧中教授強(qiáng)調(diào)，中學(xué)階段應(yīng)著力強(qiáng)化函數(shù)教學(xué)，將其作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要主線．初高中分別以“變量說(shuō)”和“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”定義函數(shù)，理解函數(shù)需要學(xué)生辯證地看待這兩個(gè)定義．由于學(xué)生在進(jìn)人高中以前所接觸的概念關(guān)系多為形式邏輯，很少涉及辯證關(guān)系，容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知沖突．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的提出對(duì)學(xué)生普遍持有的絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀提出了挑戰(zhàn)．作為高中預(yù)備知識(shí)后的第一節(jié)課，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，可能仍處在以教師引領(lǐng)為主和以自主規(guī)劃為主的學(xué)習(xí)觀沖突之中．目前，許多研究者從認(rèn)知層次、歷史發(fā)展等角度研究了函數(shù)概念的教學(xué)，但很少有研究者關(guān)注到函數(shù)概念中的認(rèn)知沖突，基于概念轉(zhuǎn)變模型和認(rèn)知沖突加工模型，筆者以“沖突呈現(xiàn)一理論基礎(chǔ)一沖突分析一解決對(duì)策”為邏輯框架，分析學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)可能面臨的函數(shù)觀、數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀等認(rèn)知沖突，并對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)提出建議.

二、認(rèn)知沖突的呈現(xiàn)

1.函數(shù)觀的認(rèn)知沖突

初中函數(shù)的定義選自人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)，高中函數(shù)的定義選自人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè).

初中函數(shù)的定義（變量說(shuō)）為：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量 x 與 y ，并且對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值， y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō) x 是自變量， y 是 x 的函數(shù).

高中函數(shù)的定義（集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)）為：一般地，設(shè)A， B 是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f ： A?B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 γ=f（x） ， x∈A ：

函數(shù)觀的認(rèn)知沖突主要集中在以下兩點(diǎn)：初中更多依賴于現(xiàn)實(shí)世界的變化關(guān)系，以運(yùn)動(dòng)變化為基礎(chǔ)來(lái)定義函數(shù)，而高中則是從集合和對(duì)應(yīng)的角度來(lái)定義函數(shù)；“變量說(shuō)”中雖然隱含了“對(duì)應(yīng)”思想，但這里的“對(duì)應(yīng)”僅是自然語(yǔ)言，并沒(méi)有抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系，而“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”明確了函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域三要素，且對(duì)應(yīng)關(guān)系是指兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的元素對(duì)應(yīng).

2.數(shù)學(xué)觀的認(rèn)知沖突

在義務(wù)教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的一般模式是在原有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究，如在整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，在三角形學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)等腰三角形、等邊三角形的知識(shí)等，且初中階段很少涉及同一概念的不同定義．因此，大部分高一學(xué)生都秉承著絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀，即數(shù)學(xué)知識(shí)是絕對(duì)正確的、一成不變的，定義是絕對(duì)權(quán)威的．這種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的片面認(rèn)識(shí)會(huì)阻礙學(xué)生批判精神和探索精神的發(fā)展，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的理解．“變量說(shuō)”和“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的認(rèn)知沖突隱含著絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀和可誤主義數(shù)學(xué)觀的沖突，可誤主義數(shù)學(xué)觀認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的、可以修正的，學(xué)生若不能突破原有的絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀，將難以準(zhǔn)確理解函數(shù)概念.

3.學(xué)習(xí)觀的認(rèn)知沖突

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的課程目標(biāo)指出要讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的課程目標(biāo)指出要發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．初中階段，學(xué)生心智尚未成熟，為了讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師往往采用面面俱到的教學(xué)方式，導(dǎo)致學(xué)生容易形成以教師引領(lǐng)為主的學(xué)習(xí)觀．《標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)置預(yù)備知識(shí)主題的主要目的是發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．函數(shù)概念是學(xué)生完成高中預(yù)備知識(shí)主題學(xué)習(xí)后的第一節(jié)課，但這并不意味著學(xué)生已經(jīng)形成了以自主規(guī)劃為主的學(xué)習(xí)觀．新的學(xué)習(xí)觀的形成通常需要較長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)間長(zhǎng)短因人而異，且會(huì)受到各種不確定因素的影響．因此，在函數(shù)概念教學(xué)中，教師仍需要關(guān)注以教師引領(lǐng)為主和以自主規(guī)劃為主這兩種學(xué)習(xí)觀之間的沖突.

三、理論基礎(chǔ)

聚焦認(rèn)知沖突在概念轉(zhuǎn)變中的作用，文獻(xiàn)[9提出了概念轉(zhuǎn)變模型．在概念轉(zhuǎn)變模型下改變?cè)懈拍钚枰獫M足四個(gè)條件，即原概念的局限性、新概念的可理解性、新概念的合理性和新概念的有效性，為了解釋異常情況發(fā)生時(shí)的認(rèn)知沖突，文獻(xiàn)[10關(guān)注了個(gè)體情緒的重要性，提出了認(rèn)知沖突加工模型，如圖1所示.他們認(rèn)為認(rèn)知沖突過(guò)程要發(fā)生，必須具備三個(gè)條件，即意識(shí)到?jīng)_突、對(duì)要解決的認(rèn)知沖突產(chǎn)生了興趣或焦慮、積極進(jìn)行認(rèn)知再評(píng)價(jià).

圖1認(rèn)知沖突加工模型

概念轉(zhuǎn)變模型和認(rèn)知沖突加工模型都圍繞認(rèn)知相關(guān)變化展開(kāi)，它們本質(zhì)上都涉及對(duì)認(rèn)知領(lǐng)域動(dòng)態(tài)變化的探討．這兩種模型的共同點(diǎn)為：都基于一定的沖突情境；都重視再認(rèn)知的過(guò)程.這兩種模型的不同點(diǎn)為：概念轉(zhuǎn)變模型注重新概念的可理解性、合理性及其對(duì)有效性的支撐作用，有助于學(xué)習(xí)者理解新概念，更適用于函數(shù)觀的認(rèn)知沖突；認(rèn)知沖突加工模型則更強(qiáng)調(diào)情緒對(duì)于認(rèn)知再評(píng)價(jià)的刺激作用，更適用于數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀等非概念性認(rèn)知沖突，該模型的處理過(guò)程如圖2所示.

圖2認(rèn)知沖突加工模型的處理過(guò)程

四、認(rèn)知沖突分析

1.函數(shù)觀的認(rèn)知沖突分析

根據(jù)概念轉(zhuǎn)變模型，探討“變量說(shuō)”的局限性和“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性、合理性和有效性.

（1）“變量說(shuō)”的局限性.

學(xué)生在沒(méi)有充分感受到“變量說(shuō)”的局限性之前，難以對(duì)函數(shù)概念做出重大改變．因此，在“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”提出之前，學(xué)生應(yīng)當(dāng)積累一定的沖突情境，在學(xué)習(xí)“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”時(shí)，“變量說(shuō)”的局限性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面： ① “變量說(shuō)”缺乏對(duì)自變量取值范圍的說(shuō)明，限制了學(xué)生對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步探索，如學(xué)生認(rèn)為函數(shù) y=4x（xgt;0） 與函數(shù) y=4x（xgt;1） 是同一個(gè)函數(shù)； ② “變量說(shuō)”缺乏對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象，限制了函數(shù)的表達(dá)，不能較好地呈現(xiàn)一些無(wú)法用解析式表示變化過(guò)程的函數(shù)，如心電圖中指標(biāo)值關(guān)于時(shí)間的函數(shù).

（2）“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性.

“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性體現(xiàn)在學(xué)生能在心理層面構(gòu)建與之相應(yīng)的內(nèi)部表征.學(xué)生在預(yù)備知識(shí)主題學(xué)習(xí)了與集合相關(guān)的知識(shí)，且在義務(wù)教育階段經(jīng)歷了確定簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)自變量取值范圍的過(guò)程，會(huì)求函數(shù)值.

筆者曾對(duì)九年級(jí)的96名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有56名學(xué)生能夠根據(jù)自變量的取值范圍判斷函數(shù) y=4x（xgt;0） 與函數(shù) y=4x（xgt;1） 不是同一個(gè)函數(shù)，人數(shù)占比約為 58.3% 學(xué)生在理解概念的過(guò)程中應(yīng)該處理好兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，第一個(gè)是學(xué)生在處理與函數(shù)相關(guān)的符號(hào)時(shí)存在問(wèn)題！例如， f（x） 這種記法會(huì)讓學(xué)生感到困惑，因?yàn)?f（x） 既代表函數(shù)的名稱，又代表給定輸入值時(shí)函數(shù)的值，在實(shí)踐教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后，對(duì)如y=2x+1，f（x）=2x+1，y=f（x）=2x+1 是同一個(gè)函數(shù)的不同表達(dá)形式感到困惑.第二個(gè)是因?yàn)椤凹弦粚?duì)應(yīng)說(shuō)”比較抽象，大多數(shù)學(xué)生只記住了函數(shù)的三要素，當(dāng)被問(wèn)及“什么是函數(shù)？”時(shí)，學(xué)生的回答不盡相同．文獻(xiàn)[12調(diào)查了116名高三學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)僅有 17.2% 的學(xué)生能用“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”描述函數(shù).

（3）“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的合理性.

合理性可以認(rèn)為是新概念與學(xué)生原有概念系統(tǒng)的契合程度．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的合理性體現(xiàn)為與“變量說(shuō)”的內(nèi)在一致性．“變量說(shuō)”與“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”是從不同角度描述函數(shù)概念的，函數(shù)的本質(zhì)不變．人教A版《普通高中教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)也強(qiáng)調(diào)了“變量說(shuō)”與“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的一致性．弗賴登塔爾（H.Freudenthal）指出，函數(shù)的兩個(gè)本質(zhì)屬性是任意性和單值對(duì)應(yīng)．其中，任意性包含兩層含義：一層含義是對(duì)應(yīng)關(guān)系的任意性，意味著函數(shù)不一定呈現(xiàn)出能用任何特定表達(dá)式或特定形狀的圖形來(lái)描述的某種規(guī)律性；另一層含義是定義域和值域的任意性，且涉及的集合不一定是數(shù)集，文獻(xiàn)[15]認(rèn)為對(duì)應(yīng)才是函數(shù)的根本屬性，非空數(shù)集和唯一性是函數(shù)在一定范圍內(nèi)保持不變的本質(zhì)屬性，這里的唯一性與弗賴登塔爾提出的單值對(duì)應(yīng)相一致．中學(xué)階段，單值對(duì)應(yīng)一直是教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的函數(shù)屬性，函數(shù)自變量和因變量的取值范圍也都在實(shí)數(shù)域內(nèi)，函數(shù)的表示方法有列表法、解析式法和圖象法．結(jié)合上述觀點(diǎn)和中學(xué)階段的教學(xué)內(nèi)容，筆者認(rèn)為“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的合理性源于函數(shù)的本質(zhì)屬性，中學(xué)階段函數(shù)概念的本質(zhì)屬性應(yīng)該是單值對(duì)應(yīng)、非空數(shù)集和多樣性，這里的多樣性指函數(shù)的表示方法多樣，包括列表法、圖象法和解析式法.

（4）“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的有效性.

“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的有效性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面，首先，在當(dāng)前學(xué)習(xí)中，“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”提出了函數(shù)三要素，為進(jìn)一步表示、探索函數(shù)奠定了基礎(chǔ)．其次，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”將函數(shù)的自變量和因變量限制在實(shí)數(shù)集中，為進(jìn)一步探究函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)提供了可能．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”使對(duì)應(yīng)關(guān)系成為可以研究的對(duì)象，在函數(shù)的運(yùn)算和組合中具有重要作用.最后，“變量說(shuō)”采用自然語(yǔ)言進(jìn)行描述，在定量研究函數(shù)性質(zhì)方面存在局限，“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”提供了較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是定量刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).

高中階段，學(xué)生探究了函數(shù)的一般性質(zhì)，“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”用嚴(yán)格的形式化語(yǔ)言明確了自變量的取值范圍，準(zhǔn)確表示了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)“?”符號(hào)，實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的轉(zhuǎn)化，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系，定量刻畫(huà)了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性．在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的定義、推導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”提供了嚴(yán)密的形式化語(yǔ)言表述.

2.數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的認(rèn)知沖突分析

認(rèn)知沖突加工模型表明，通過(guò)創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生興趣或讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知焦慮的問(wèn)題情境，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知再評(píng)價(jià)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀．然而，僅關(guān)注靜態(tài)知識(shí)不足以支撐學(xué)生數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的發(fā)展．因此，有必要梳理函數(shù)概念的發(fā)展，探討其在引發(fā)沖突情境、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)認(rèn)知再評(píng)價(jià)方面的作用.

（1）函數(shù)概念史的梳理，

17世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們開(kāi)始關(guān)注量與量之間的關(guān)系．牛頓（IsaacNewton）、歐拉（LeonhardEuler）等多位數(shù)學(xué)家提出了至少十多種不同的函數(shù)定義．18世紀(jì)，在弦振動(dòng)問(wèn)題的大討論中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)不能被解析式表示，這與人們的認(rèn)知產(chǎn)生沖突，于是狄利克雷（Dirichlet）在1837年從對(duì)應(yīng)的角度定義了函數(shù)，擺脫了解析式的限制．19世紀(jì)70年代，隨著集合論的發(fā)展，幾乎所有數(shù)學(xué)分支都受到了集合論的影響．以唐內(nèi)里（Tannery）、卡拉西奧多里（ConstantinCaratheodory）、布爾巴基學(xué)派為代表的數(shù)學(xué)家開(kāi)始在集合論的基礎(chǔ)上定義函數(shù)．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”是布爾巴基學(xué)派的“關(guān)系說(shuō)”與狄利克雷、柯西、黎曼等人的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的融合．因此，它也被稱作“對(duì)應(yīng)一關(guān)系說(shuō)”.通過(guò)梳理，能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念史在體現(xiàn)沖突情境、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)認(rèn)知再評(píng)價(jià)等方面起著重要作用.

（2）函數(shù)概念史的沖突情境.

函數(shù)概念史充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的認(rèn)知沖突．通過(guò)對(duì)函數(shù)概念史的系統(tǒng)梳理，發(fā)現(xiàn)絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀與可誤主義數(shù)學(xué)觀的沖突不僅體現(xiàn)在“變量說(shuō)”與“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”之間，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們提出的其他多個(gè)函數(shù)定義之間.函數(shù)概念的發(fā)展演變過(guò)程深刻反映了數(shù)學(xué)知識(shí)體系動(dòng)態(tài)生成、螺旋上升的特征，與學(xué)生所持有的絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀形成了鮮明對(duì)比．進(jìn)一步觀察牛頓、歐拉等杰出數(shù)學(xué)家的學(xué)術(shù)歷程，發(fā)現(xiàn)他們具有主動(dòng)探索的精神，這種精神也與學(xué)生在初中階段形成的以教師引領(lǐng)為主的學(xué)習(xí)觀產(chǎn)生了明顯的沖突.

（3）函數(shù)概念史的激趣功能.

函數(shù)概念史的激趣功能促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地認(rèn)知再評(píng)價(jià)．函數(shù)概念的發(fā)展進(jìn)程提供了真實(shí)、連貫的情境脈絡(luò)，相較于蒼白的口頭說(shuō)教，這種獨(dú)特的情境更容易激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．學(xué)生通過(guò)了解函數(shù)概念史，體會(huì)函數(shù)發(fā)展的曲折歷程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的生命力，實(shí)現(xiàn)與數(shù)學(xué)家的跨時(shí)空交流，從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行認(rèn)知與評(píng)價(jià)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀.

（4）函數(shù)概念史提供了認(rèn)知再評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì).

函數(shù)概念史的連續(xù)性能為學(xué)生提供積極認(rèn)知再評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生持續(xù)感受可誤主義數(shù)學(xué)觀和以自主規(guī)劃為主的學(xué)習(xí)觀的有效性，在函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程中產(chǎn)生了多個(gè)函數(shù)定義，每個(gè)函數(shù)定義的出現(xiàn)都為學(xué)習(xí)者提供了一次數(shù)學(xué)觀再評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)．函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程不是一帆風(fēng)順的，牛頓、萊布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等數(shù)學(xué)家在解決未知問(wèn)題的過(guò)程中，堅(jiān)持不懈、勇于探索，在推動(dòng)數(shù)學(xué)進(jìn)步乃至人類進(jìn)步的過(guò)程中發(fā)揮了關(guān)鍵作用.數(shù)學(xué)家遇到困難時(shí)主動(dòng)探索的故事可以為學(xué)生提供替代性經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生持續(xù)感知以自主規(guī)劃為主的學(xué)習(xí)觀的有效性．每一位數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的探索過(guò)程，都為學(xué)習(xí)者提供了一次學(xué)習(xí)觀再評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì).

五、教學(xué)建議

基于上述分析，對(duì)函數(shù)概念教學(xué)中的函數(shù)觀、數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀的認(rèn)知沖突提出以下建議.

1.設(shè)置針對(duì)性沖突情境

提供體現(xiàn)“變量說(shuō)”的局限性、指向“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”提出的異常情境.各版本教材對(duì)引發(fā)認(rèn)知沖突的異常情境的側(cè)重點(diǎn)不同.以人教版教材為例，人教A版教材必修第一冊(cè)在“3.1.1函數(shù)的概念”中設(shè)置了四個(gè)情境，問(wèn)題1和問(wèn)題2的情境為指向函數(shù)定義域提出的沖突情境，問(wèn)題3和問(wèn)題4并未設(shè)置沖突情境，而是直接提供實(shí)例幫助學(xué)生感受對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要性．人教B版教材必修第一冊(cè)在“3.1.1函數(shù)及其表示方法”的情境與問(wèn)題中提供了指向?qū)?yīng)關(guān)系的沖突情境.教師可以結(jié)合這兩版教材，利用人教A版教材必修第一冊(cè)第60頁(yè)問(wèn)題1的情境判斷“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系 s=350t ，這趟列車(chē)加速到 350km/h 后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了 350km^′ 新是否正確，創(chuàng)設(shè)指向定義域的沖突情境，利用人教B版教材第89頁(yè)情境與問(wèn)題中第（1）小題的情境給出的“年度”與“中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)”的關(guān)系，創(chuàng)設(shè)指向?qū)?yīng)關(guān)系的沖突情境，最終引導(dǎo)學(xué)生抽象“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”.

提供體現(xiàn)絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀、以教師引領(lǐng)為主的學(xué)習(xí)觀的局限性，指向可誤主義數(shù)學(xué)觀、以自主規(guī)劃為主的學(xué)習(xí)觀的沖突情境．人教A版教材、人教B版教材、北師大版教材、蘇教版教材、湘教版教材、鄂教版教材都先展示了初中“變量說(shuō)”的局限，再進(jìn)一步探索了“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”.教師在呈現(xiàn)“變量說(shuō)”之前，可以展示早于“變量說(shuō)”的函數(shù)定義及其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)家，強(qiáng)調(diào)“變量說(shuō)”不是憑空出現(xiàn)的，而是由其他函數(shù)定義發(fā)展得到的，不是絕對(duì)正確的定義，從而引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的認(rèn)知沖突．在“解凍”學(xué)生心中的絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的探索精神，從而引發(fā)學(xué)生以教師引領(lǐng)為主和以自主規(guī)劃為主的數(shù)學(xué)觀的認(rèn)知沖突.

2.注重可理解性課堂講授

設(shè)置多種表示形式，增強(qiáng)“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性的關(guān)鍵在于對(duì)符號(hào) f（x） 的理解和對(duì)函數(shù)概念的整體表征．通過(guò)文字語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言相結(jié)合的方式，增強(qiáng)“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的可理解性，相比于人教A版教材，人教B版教材明確指出 y=2x+1 和 f（x）=2x+1 都可以表示函數(shù).

在此基礎(chǔ)上，教師可以結(jié)合 的符號(hào)表達(dá)，幫助學(xué)生更好地理解 f（x） 的含義．在函數(shù)概念教學(xué)中，教師可以結(jié)合圖3，利用文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，突出函數(shù)與集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生形成“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的心理內(nèi)部表征提供支架，幫助學(xué)生理解函數(shù)概念.

f集合A 集合B單值對(duì)應(yīng)

3.突出合理性總結(jié)提煉

歸納函數(shù)本質(zhì)屬性，突出“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的合理性．從“變量說(shuō)”到“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的轉(zhuǎn)變并非簡(jiǎn)單的替代關(guān)系，而是教學(xué)認(rèn)知的深化過(guò)程．通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，上述兩種定義模式本質(zhì)上具有一致性，這種一致性深刻反映了數(shù)學(xué)概念發(fā)展的內(nèi)在邏輯．抽象出“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”后，學(xué)生體會(huì)到了新定義對(duì)解決當(dāng)前問(wèn)題的有效性．此時(shí)，教師進(jìn)一步總結(jié)函數(shù)的多樣性、單值對(duì)應(yīng)和非空數(shù)集三個(gè)本質(zhì)屬性，體現(xiàn)“變量說(shuō)”與“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的契合程度，有利于學(xué)生體會(huì)“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的合理性，從而進(jìn)一步理解函數(shù)概念，解決函數(shù)觀的認(rèn)知沖突.

4.凸顯激趣性史韻滲透

采用創(chuàng)新性展示形式，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的激趣功能．根據(jù)認(rèn)知沖突加工模型，學(xué)生積極地認(rèn)知再評(píng)價(jià)是解決學(xué)生數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀等沖突的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．具體而言，教師可以充分利用多媒體技術(shù)和人工智能技術(shù)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)歷史沉浸式情境，讓學(xué)生在趣味中感受數(shù)學(xué)文明的演進(jìn)．多樣化展示形式的有機(jī)整合可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀與可誤主義數(shù)學(xué)觀之間的矛盾．更重要的是，它還能夠進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極地認(rèn)知再評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的發(fā)展.

5.體現(xiàn)有效性主線意識(shí)

函數(shù)概念的教學(xué)需要貫穿三條主線：第一條是以“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”為主線，幫助學(xué)生理解函數(shù)本質(zhì)；第二條是以數(shù)學(xué)史為主線，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的發(fā)展；第三條是以數(shù)學(xué)家的探索歷程為主線，助力學(xué)生學(xué)習(xí)觀的發(fā)展．這三條主線要能夠有機(jī)銜接、相互促進(jìn)．“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，在函數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生多次感受“集合一對(duì)應(yīng)說(shuō)”的有效性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解．對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀的發(fā)展，不能期待畢其功于一役，教師要做到課內(nèi)外結(jié)合，在課堂上適當(dāng)滲透，在課后以數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的故事串聯(lián)函數(shù)概念的發(fā)展，形成閱讀材料，用數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的發(fā)展，用數(shù)學(xué)家的探索精神引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)觀的發(fā)展，從而持續(xù)促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

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