數(shù)學(xué)素養(yǎng)驅(qū)動(dòng)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)及設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了有效途徑.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱《課標(biāo)2022》）中明確指出：綜合與實(shí)踐以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)來(lái)用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問(wèn)題[1].本文以蘇州園林中的宮燈為載體，開(kāi)展項(xiàng)目式探究活動(dòng)，倡導(dǎo)注重情境中的問(wèn)題解決，融合跨學(xué)科學(xué)習(xí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，培育關(guān)鍵能力和素養(yǎng).

1項(xiàng)目設(shè)計(jì)思路

1.1項(xiàng)目學(xué)習(xí)背景

七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)第5章“走進(jìn)圖形世界”后，對(duì)于幾何圖形已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，能夠較為順利地從宮燈中抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象，也能夠初步感知圖形的外觀美.宮燈不僅用于照明，還具有特殊的寓意和極高的觀賞價(jià)值.為什么蘇州園林中的宮燈以六角宮燈和八角宮燈為主？園林中的宮燈形狀和結(jié)構(gòu)基本一致，背后有怎樣的數(shù)學(xué)原理？通過(guò)對(duì)宮燈的探究，進(jìn)一步感悟研究數(shù)學(xué)圖形的重要性和必要性.

1.2項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)、各類文獻(xiàn)書(shū)籍搜集宮燈的歷史文化背景，了解蘇州園林中為什么以六角宮燈和八角宮燈為主.

（2）走進(jìn)耦園、獅子林和拙政園，觀察宮燈的結(jié)構(gòu)和形狀特點(diǎn)，抽象出幾何圖形，發(fā)展空間觀念，提升從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

（3）經(jīng)歷宮燈設(shè)計(jì)原理的探究過(guò)程，了解宮燈的形狀特征、結(jié)構(gòu)比例，建立模型，從數(shù)學(xué)的角度探究更多的宮燈結(jié)構(gòu)與形狀，培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展邏輯推理能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.

（4）經(jīng)歷設(shè)計(jì)并制作創(chuàng)意宮燈的過(guò)程，提升應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新實(shí)踐能力.

1.3項(xiàng)目學(xué)習(xí)路徑

本項(xiàng)目以幾何圖形作為核心知識(shí)載體，以問(wèn)題作為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，項(xiàng)目中涉及跨學(xué)科知識(shí)，如人文、歷史、物理等.項(xiàng)目主要分為四個(gè)階段（如圖1）：

（1）背景研究：通過(guò)資料收集與整理，了解園林中宮燈的歷史和文化；通過(guò)走進(jìn)園林，用數(shù)學(xué)的眼光觀察宮燈，提出實(shí)際問(wèn)題.

（2）合作探究：分組合作，針對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行研究可行性和必要性論證，抽象出幾何圖形，聚焦關(guān)鍵實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升推理能力.

（3）實(shí)踐創(chuàng)新：交流分享課內(nèi)研究成果，應(yīng)用研究所得進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)踐，展示創(chuàng)意作品，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

（4）評(píng)價(jià)反思：對(duì)前期的研究進(jìn)行總結(jié)反思，進(jìn)一步感受蘇州園林中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)智慧和數(shù)學(xué)審美，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和理性精神.

“園林?jǐn)?shù)學(xué)·燈火闌珊”項(xiàng)目學(xué)習(xí)路徑如圖1所示.

1.4項(xiàng)目任務(wù)結(jié)構(gòu)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是產(chǎn)品（作品）導(dǎo)向的，學(xué)生最終通過(guò)產(chǎn)品（作品）展現(xiàn)學(xué)習(xí)成果.學(xué)生以制作創(chuàng)意宮燈為終極任務(wù)，在真實(shí)情境中，探究驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，學(xué)習(xí)并應(yīng)用學(xué)科中重要知識(shí)，通過(guò)交流合作，完成驅(qū)動(dòng)性任務(wù)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).項(xiàng)目任務(wù)結(jié)構(gòu)具體設(shè)計(jì)如圖2.

項(xiàng)目任務(wù) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)任務(wù)1：搜集文獻(xiàn)史料， 宮燈的文化、實(shí)地考察測(cè)量 歷史及發(fā)展 抽象能力抽象幾何圖形 幾何直觀任務(wù)2：抽象幾何圖形， 建立模型項(xiàng)目任務(wù)結(jié)構(gòu) 欣賞宮燈之美 探究結(jié)構(gòu)比例空間觀念關(guān)注結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性！任務(wù)3：探究圖形性質(zhì)研究圖形對(duì)稱性發(fā)掘?qū)m燈之趣 明確重心 模型觀念由平面圖構(gòu)造 推理能力任務(wù)4：成創(chuàng)新理 應(yīng)用意識(shí)任務(wù)5：總結(jié)思提升， 總思 創(chuàng)新意識(shí)

2項(xiàng)目的組織實(shí)施片段

項(xiàng)目實(shí)施的核心任務(wù)是任務(wù)3和任務(wù)4，以下是研究過(guò)程和課堂展示片段.

2.1任務(wù)3-1探究宮燈底面正多邊形的對(duì)稱性

問(wèn)題1宮燈底面是正多邊形，正多邊形有怎樣 的對(duì)稱性？

操作：學(xué)生借助透明紙，通過(guò)動(dòng)手操作，驗(yàn)證正多邊形的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性.

總結(jié)：邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形是軸對(duì)稱圖形；邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.底面正多邊形的對(duì)稱性讓宮燈觀賞起來(lái)具有美感.

2.2任務(wù)3-2三角形的穩(wěn)定性與正多邊形的重心

問(wèn)題2宮燈底面為什么被分割成若干個(gè)小三角形呢？

問(wèn)題3以六角宮燈為例，底面的正六邊形至少需要幾條對(duì)角線才能將其分割成三角形，使得底面相對(duì)穩(wěn)定？

操作：學(xué)生以六角宮燈為例，研究正六邊形的分割，發(fā)現(xiàn)至少需要3條對(duì)角線，能將正六邊形分割成三角形，使得宮燈底面相對(duì)穩(wěn)定.學(xué)生對(duì)宮燈底面進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，并進(jìn)行計(jì)算，給出了三個(gè)方案，如圖3：

圖3

假設(shè)正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為 α_a ，其每個(gè)內(nèi)角為 120^°

方案一：因?yàn)?∠FEA=∠FAE=30^° ，所以∠AED=90^° ∠ADE=60^° 在 RtΔAED 中， AE= AD=2a .所以， 5.5a

方案二：易知△AEC為等邊三角形，連接 AD ，由方案一知 ，則 5.2a ：

方案三：易知正六邊形被分割為六個(gè)全等的等邊三角形，每條邊長(zhǎng)都為 a ，所以 AD+BE+CF=6a

問(wèn)題4以六角宮燈為例，不同的底面構(gòu)造，為什么古人選擇最費(fèi)材料的一種？有什么實(shí)際意義？

操作：小組內(nèi)查閱相關(guān)資料，就此問(wèn)題開(kāi)展了討論、猜想，經(jīng)請(qǐng)教物理老師，了解到中心對(duì)稱圖形的重心在對(duì)稱中心，軸對(duì)稱圖形的重心在對(duì)稱軸上.宮燈一般需要懸掛在高處，懸掛處應(yīng)為重心所在位置，且古代使用燭臺(tái)照明，那么燭臺(tái)也需要放在重心位置，這樣才能保證受力均勻，不易傾倒.方案一是中心對(duì)稱圖形，方案二是軸對(duì)稱圖形，它們雖然兼顧了對(duì)稱美，但沒(méi)有明確的重心位置.在方案三中，工匠們只需要將正六邊形邊長(zhǎng)加倍即可得到 AD，BE，CF ，相較于 更容易制作.

問(wèn)題5到了現(xiàn)代，由燭臺(tái)改進(jìn)到燈泡，光源更加便捷，宮燈的設(shè)計(jì)受限變少，對(duì)于你的創(chuàng)意設(shè)計(jì)，你有怎樣的設(shè)想？

總結(jié)：三角形的穩(wěn)定性和正多邊形的對(duì)稱性讓宮燈有一種穩(wěn)定的數(shù)學(xué)美.

2.3任務(wù)3-3從平面走向立體，探究正多面體

問(wèn)題6正多邊形的特殊性質(zhì)給人帶來(lái)了視覺(jué)上的美，還為工匠們制作宮燈帶來(lái)了便利，是否存在每個(gè)面都是正多邊形的立體圖形？

操作：學(xué)生借助磁力片，利用正四邊形拼出了正六面體，也就是正方體.但是，在用正六邊形去拼搭時(shí)，由于正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為 120^° ，一個(gè)頂點(diǎn)處只有兩個(gè)正六邊形不能構(gòu)成立體圖形，三個(gè)正六邊形只能夠成平面圖形，因此立體圖形的一個(gè)頂點(diǎn)至少要有三個(gè)正多邊形.正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為 135^° ，一個(gè)頂點(diǎn)處如果有3個(gè)正八邊形，那么度數(shù)之和已經(jīng)超過(guò) 360^° ，顯然不能構(gòu)成立體圖形.因此，只有正三邊形、正四邊形、正五邊形才可能構(gòu)成每個(gè)面都是正多邊形的立體圖形.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手拼搭，發(fā)現(xiàn)正四面體（三棱錐）、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體共5種正多面體（如圖4）.

圖4

問(wèn)題7以上是通過(guò)動(dòng)手操作得到結(jié)論，如何進(jìn)一步推理驗(yàn)證？

操作：學(xué)生通過(guò)查閱資料，得到“各個(gè)面都是全等的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)相等的凸多面體叫正多面體”.教師鼓勵(lì)學(xué)生合作探究，建立模型，假設(shè)正多面體每個(gè)面都是正 n 邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有 Ψ_m 條棱.因?yàn)檎?n 邊形的每個(gè)內(nèi)角為 ，每個(gè)頂點(diǎn)有 Σ_m 條棱，就應(yīng)該有 Σ_m 個(gè)正多邊形，那么為了構(gòu)成立體圖形，每個(gè)頂點(diǎn)的角的度數(shù)和應(yīng)該小于 360^° ，也就是 ，整理可得 （n-2）（m-2）lt; 4.通過(guò)上述操作知 m≥3，3≤n≤5，m，n∈Z. 當(dāng) n=3 時(shí)， m=3 或4或5；當(dāng) n=4 時(shí)， m=3 ；當(dāng) n=5 時(shí)，m=3

如何確定正多面體的面數(shù)呢？七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)過(guò)歐拉公式：在一凸多面體中，頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù) + 面數(shù) =2. 以每個(gè)面都是正五邊形的正多面體為例，設(shè)面數(shù)為 x ，也就是這個(gè)這個(gè)立體圖形有 x 個(gè)正五邊形面，那么正五邊形有5個(gè)頂點(diǎn)，5條邊， x 個(gè)正五邊形就有 5x 個(gè)頂點(diǎn)， x 個(gè)正五邊形就有 5x 條邊，因?yàn)樵谡嗝骟w中3條棱共用一個(gè)頂點(diǎn)，2個(gè)面共用一條棱，所以正多面體的頂點(diǎn)為 ，棱數(shù)為 ，根據(jù)歐拉公式可建立方程模型 ，解得 x=12 ，因此每個(gè)面都是正五邊形的正多面體為正十二面體.將其他m，n 逐一代入，還可以確定相應(yīng)的頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，如表1.可知，只有5種正多面體（如圖5）.

表1

圖5

2.4任務(wù)4形成創(chuàng)新理念，完成創(chuàng)新設(shè)計(jì)

小組合作或獨(dú)立創(chuàng)作，應(yīng)用研究所得進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，在動(dòng)手實(shí)踐中感悟?qū)m燈之美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之妙，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造美的能力.

學(xué)生代表作品1：吉祥如意燈（如圖6）.

圖6

設(shè)計(jì)理念：采用正十二面體圖形構(gòu)造宮燈，利用ProcreatePocketAPP繪制設(shè)計(jì)圖，每個(gè)面的正五邊形邊長(zhǎng)為 15cm ，正五邊形的內(nèi)徑和外徑之比接近黃金分割比，燈托上的圍欄仿照蘇州園林中的圍欄，由若干個(gè)黃金矩形組合而成.圍欄不僅有分隔區(qū)域的作用，還是靜謐與和諧的象征，裝飾在宮燈上，給人以安穩(wěn)舒適之感.選擇其中一個(gè)正五邊形的中心懸掛繩索，宮燈能夠穩(wěn)穩(wěn)地掛起.

學(xué)生代表作品2：十字海棠燈（如圖7）.

圖7

設(shè)計(jì)理念：燈高約 33cm ，中心寬度約 15cm ，比例約為 2：1 ，這個(gè)比例符合正統(tǒng)宮燈的設(shè)計(jì).它的上下底面采用十字海棠圖案，取自園林中的十字海棠窗格圖案，中間用竹條做成十字圖樣穿過(guò)四個(gè)花瓣，既構(gòu)成完整的十字海棠圖案，又提供了使用時(shí)懸掛的位置.四個(gè)側(cè)面采用多個(gè)十字組合的圖案，兩個(gè)相對(duì)的面分別是中間空、四周十字紋，和中間十字紋的圖案，相似中存在變化.整體符合數(shù)學(xué)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱原理，上下底為了穩(wěn)定海棠花瓣的弧形樣式，各增加了一對(duì)十字圖案加強(qiáng)筋，將中心的正方形變成了8個(gè)三角形，使整體更穩(wěn)固.當(dāng)夜幕降臨，開(kāi)燈后投影在地面上的紅色的海棠圖案與燈的底部如出一轍，美麗中包含優(yōu)雅，迷人中自帶樸實(shí)，朦朧的燈光為園林增添了一份藝術(shù)美.

3項(xiàng)目反思

3.1真實(shí)性環(huán)境，讓學(xué)習(xí)主動(dòng)發(fā)生

數(shù)學(xué)知識(shí)不僅來(lái)源于數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部，也來(lái)源于生活實(shí)際.本文中創(chuàng)設(shè)蘇州園林這一真實(shí)學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光觀察、數(shù)學(xué)的思維思考，聚焦宮燈中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象，探究其本質(zhì)屬性，獲取現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)原理，感悟生活中的數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)審美.

雖然項(xiàng)目式學(xué)習(xí)有預(yù)期的目標(biāo)和成果，但是，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的復(fù)雜性導(dǎo)致項(xiàng)目不一定沿著預(yù)期研究路徑進(jìn)行.學(xué)生在項(xiàng)目進(jìn)程中不斷反思或者是帶著批評(píng)與自我批評(píng)的眼光看待學(xué)習(xí)過(guò)程，教師更多的是以組織者和學(xué)習(xí)者的部分參與其中.學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性、學(xué)習(xí)的深度得到進(jìn)一步提升.

在項(xiàng)目結(jié)束之后，學(xué)習(xí)并未停止，有學(xué)生還提出：上述五種正多面體的每個(gè)面都是同一種正多邊形，是否存在兩種正多邊形構(gòu)成的多面體呢？

3.2驅(qū)動(dòng)型任務(wù)，讓探究自然深入

數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主題一般基于相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容或單元內(nèi)容，在圍繞主題從事相關(guān)任務(wù)活動(dòng)時(shí)，學(xué)生同樣應(yīng)該與特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，便于完成學(xué)習(xí)任務(wù).驅(qū)動(dòng)型任務(wù)的表層指向的是獲取相應(yīng)的知識(shí)，本質(zhì)上是培養(yǎng)完成任務(wù)所必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在設(shè)計(jì)每個(gè)驅(qū)動(dòng)型任務(wù)時(shí)，要充分考慮與項(xiàng)目主題相關(guān)的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，從而讓探究自然深人，讓素養(yǎng)逐步滲透.在宮燈研究過(guò)程中，任務(wù)2的關(guān)鍵是學(xué)生能夠從情境中抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象，獲取研究對(duì)象的概念和性質(zhì)，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；任務(wù)3通過(guò)探究圖形的性質(zhì)，學(xué)生動(dòng)手做，動(dòng)腦思，感悟?qū)W科間的融合相通，細(xì)節(jié)中蘊(yùn)藏?cái)?shù)學(xué)智慧，經(jīng)歷從平面到立體的研究路徑，探究自然深入，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，提升推理能力.

3.3可視化成果，讓素養(yǎng)落地生根

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)不僅僅是一種重要的教學(xué)手段，而且為學(xué)生提供了可以自由參與、進(jìn)行創(chuàng)作設(shè)計(jì)的環(huán)境.在這種環(huán)境中，學(xué)生進(jìn)行“有目的的行動(dòng)”，發(fā)揮其創(chuàng)造力、想象力、鑒賞力，圍繞項(xiàng)目設(shè)計(jì)作品；充分感受校內(nèi)外生活的聯(lián)系，培養(yǎng)責(zé)任意識(shí)、自主探索能力和個(gè)性發(fā)展精神.設(shè)計(jì)并制作創(chuàng)意宮燈是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的可視化成果.學(xué)生以完成作品為目標(biāo)，從現(xiàn)實(shí)世界中抽象得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象，經(jīng)歷以研究數(shù)學(xué)問(wèn)題為主，融合人文、歷史、物理問(wèn)題的跨學(xué)科學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)以致用，大膽創(chuàng)新.此過(guò)程不僅要求學(xué)生具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，還要有一定的溝通、協(xié)作、反思能力.學(xué)生在這樣的過(guò)程中，潛能得以激發(fā)，素養(yǎng)得以提升.

參考文獻(xiàn)：

[1中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：16.

[2]徐斌艷等.數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2023：48.