對(duì)2025年新高考I卷第19題的推廣研究

題目（2025年新高考1卷第19題）設(shè)函數(shù)f（x）= 5cosx-cos5x.

（1）求 f（x） 在 的最大值;（2）給定 θ∈（0，π），a 為給定實(shí)數(shù)，證明：存在y∈[a-θ，a+θ^] ，使得 cosy?cosθ ：

（3）若存在 φ ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，都有5cosx-cos（5x+φ）?b ，求 b 的最小值.

解析 ，令 f^′（x） ε=0 ，解得 或 ，其中k∈Z（下同）.因?yàn)? ，所以 由函數(shù) y=sin5x 與 圖象可知，當(dāng) 時(shí) I^′（x）≥0 ，當(dāng) 時(shí) I^′（x）?0 ，所以 f（x） 在 的最大值為

（2）假設(shè)任意 y∈[a-θ，a+θ] ，使得cosy gt;cosθ

因?yàn)閏osy gt;cosθ，θ∈（0，π） ，所以 y∈ （?-θ+2kπ，θ+2kπ） ，所以 [a-θ，a+θ]? （?-θ+2kπ，θ+2kπ） ，解得 2kπ

（3）令 ，不妨設(shè) φ ，由題意得 b?g（x）_max

當(dāng) φ=0 時(shí)， g（x）=f（x） ，由（1）可知當(dāng) x∈ （204號(hào) 時(shí) 當(dāng) 時(shí)， +1lt;3√3，由g（x）周期性與奇偶性可知 g（x） 在 R 上的最大值為

當(dāng) φ∈（0，2π） 時(shí)，令 x+5x+φ=π ，解得 x= 且 ，此時(shí) g（x）=6cosxgt;6cos ，所以

綜上， b 的最小值為

該題主要考查含參的三角函數(shù)最值問題，在2018年新課標(biāo)1卷中有如下的填空題：已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x ，則 f（x） 的最小值是

進(jìn)一步，若我們把題目第（3）小題中的條件5cosx-cos（5x+φ）?b 一般化，可得下結(jié)論.

結(jié)論 已知 n 是給定的大于1的正整數(shù)，若存

在 φ ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x，ncosx-cos（nx+φ）≤b ，則

b 的最小值為 （204號(hào)

證明設(shè) h（x）=ncosx-cos（nx+φ） ，不妨設(shè) （2 φ∈[0，2π） ，由題意得 b?h（x）_max

（1）當(dāng) φ=0 時(shí) h（x）=ncosx-cosnx ，設(shè) x∈ ^{[0，π]} 因?yàn)? ，令 h^′（x）= （204號(hào)0，則得 或 ，其中 k∈Z （下同）.不難發(fā)現(xiàn)方程 h^′（x）=0 相鄰兩根之間 h^′（x） 同號(hào)，所以 h（x） 在 或 處取得最大值.

因?yàn)榉匠?h^′（x）=0 最小的正根為 0由函數(shù) y=sinnx 與 y=sinx 圖象可知，當(dāng) x∈ 時(shí) h^′（x）?0 ，所以 （20 當(dāng) = 且 nx=x+2kπ 時(shí)， 當(dāng) x∈ （+1]且mx +x = （2k+1）π時(shí)，h（x） = n+1由h（x）周期性與奇偶性可知 h（x） 在 R 上的最大值為

（2）當(dāng) φ∈（0，2π） 時(shí)，令 x+nx+φ=π ，解得 Π-φ，且χ∈（ ，此時(shí)h（x）=ncosx-cos（Ω_nx+φ）=（Ω_n+1）cosxΓgt; （204號(hào) ，所以

綜上， b 的最小值為

教師平時(shí)在解題教學(xué)上可以多使用往年高考真題，引導(dǎo)學(xué)生逐步培養(yǎng)逆向思維、一般化、類比探究能力開拓思路，從而提高解決復(fù)雜問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).