探源·問(wèn)徑·破繭：HPM視角下三維教學(xué)模式的實(shí)踐與啟示

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0036-06引用格式：.探源·問(wèn)徑·破繭：HPM視角下三維教學(xué)模式的實(shí)踐與啟示：以復(fù)數(shù)章起始課為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：36-41.

一、問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不僅是知識(shí)的傳遞，還是思維能力的培養(yǎng)與文化價(jià)值的傳承．在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中，復(fù)數(shù)的引入是一個(gè)重要的里程碑，其概念的發(fā)展歷經(jīng)數(shù)百年的爭(zhēng)議與突破，最終在代數(shù)、幾何、物理及工程領(lǐng)域展現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力．然而，在實(shí)際教學(xué)中，教師往往將復(fù)數(shù)的抽象性與歷史背景割裂，甚至忽略不教，導(dǎo)致學(xué)生陷入“為學(xué)而學(xué)”的困境，機(jī)械記憶i²=-1 的符號(hào)規(guī)則，雖能熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)相關(guān)運(yùn)算，但難以理解其本質(zhì)意義．這種去情境化的教學(xué)模式，不僅削弱了學(xué)生的探究興趣，還妨礙了學(xué)生數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力和遷移能力的發(fā)展．

在復(fù)數(shù)章起始課的學(xué)習(xí)中，遇到的困難可能有二：一是因缺乏現(xiàn)實(shí)中的具體應(yīng)用實(shí)例，復(fù)數(shù)的概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得較為抽象，難以被掌握；二是由于高中生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知能力有限，他們對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的核心邏輯缺乏足夠的理解，虛數(shù)單位概念的引人也容易使其產(chǎn)生認(rèn)知困惑.

二、教學(xué)設(shè)想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，如何將數(shù)學(xué)史融入中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一個(gè)重要課題．在教學(xué)中，教師通過(guò)數(shù)學(xué)概念和思想方法的歷史發(fā)生發(fā)展過(guò)程，不僅可以使學(xué)生感受豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解．近年來(lái)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育 （HPM）的融合、探究式學(xué)習(xí)理念的推廣，以及以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程改革，為復(fù)數(shù)教學(xué)提供了新的視角．為此，筆者從探源（歷史溯源）、問(wèn)徑（問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)）、破繭（思維突破）三個(gè)維度出發(fā)，提出以下教學(xué)設(shè)想.

歷史維度：從卡爾丹（GirolamoCardano）的“分十問(wèn)題”和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）得到的方程引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)重構(gòu)教學(xué)情境，類比從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程和方法，實(shí)現(xiàn)從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)性.

問(wèn)題鏈維度：復(fù)數(shù)的抽象性與學(xué)生的固有認(rèn)知存在斷層，通過(guò)設(shè)計(jì)階梯式問(wèn)題鏈，將復(fù)雜概念分解為可以探究的認(rèn)知階梯，分解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在解決矛盾的過(guò)程中逐步突破思維障礙，促使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)建構(gòu).

思維維度：借助幾何直觀（復(fù)平面旋轉(zhuǎn)模型）與類比遷移，幫助學(xué)生突破實(shí)數(shù)思維的局限，打破“虛數(shù)即虛構(gòu)”的思維定式，引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)、幾何的雙向聯(lián)結(jié)，在幾何直觀與邏輯推理的協(xié)同作用下突破固有思維局限，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

三、教學(xué)實(shí)錄

1.情境引導(dǎo)，再現(xiàn)歷史

數(shù)是人類社會(huì)與科學(xué)活動(dòng)中不可或缺的基礎(chǔ)語(yǔ)言和工具．到目前為止，我們一直在實(shí)數(shù)的領(lǐng)域中探索，實(shí)數(shù)似乎能夠應(yīng)對(duì)所有問(wèn)題，但這真的可以嗎？早在16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹提出了這樣一個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：能否將10分成兩部分，使兩者的乘積為40？

生i：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為 x ，則另一個(gè)數(shù)為 10-x ，于是得到關(guān)于 x 的一元二次方程 x²-10x+40=0 ．這個(gè)方程的判別式 ，說(shuō)明該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.

【設(shè)計(jì)意圖】引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史，感受數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)并非神秘莫測(cè)，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)性問(wèn)題開(kāi)始研究的.

師：卡爾丹當(dāng)時(shí)也覺(jué)得該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，說(shuō)明要找的兩個(gè)數(shù)根本不存在.但是后來(lái)他竟然找出了兩個(gè)數(shù)，即 ， ．拋開(kāi)這兩個(gè)數(shù)的合理性，我們先來(lái)檢驗(yàn)一下它們是否符合方程的條件．這兩個(gè)數(shù)的和與積分別是多少？

生2：這兩個(gè)數(shù)的和是10，積是40.

師：說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)能滿足問(wèn)題1的要求，但是出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題．因此，當(dāng)年卡爾丹雖然找出了這樣兩個(gè)數(shù)，并稱為“詭辯式的數(shù)”，但是并未完全接受．負(fù)實(shí)數(shù)的開(kāi)平方問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們一直在回避，直到17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨研究了另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到了一個(gè)矛盾的結(jié)果時(shí)，才不得不面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，

問(wèn)題2：已知 x ， y 滿足 x²+y²=2，xy=2 ，求 x ， y 的值.

師：由 x ， y 滿足 x²+y²=2 ， xy=2 ，得 x²+y²+ 2xy=6 .得到 （當(dāng)時(shí)還未接受負(fù)數(shù)）.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系， x ， y 是方程 的兩個(gè)根，但是這個(gè)方程的判別式 ．因此，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．萊布尼茨嘗試用一元二次方程的求根公式得到了x=√6+√-2 ， ，接著神奇的事情出現(xiàn)了，我們發(fā)現(xiàn) ：

追問(wèn)：由此你是否能夠發(fā)現(xiàn)神奇的地方在哪里？

生3： x+y 的值是存在的，但是 的值并不是實(shí)數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】重現(xiàn)歷史經(jīng)典故事，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的困惑，產(chǎn)生思想碰撞，打破原有認(rèn)知觀念，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，為引入復(fù)數(shù)做好自然而然的鋪墊．

師：由此可見(jiàn)， x ， y 是真實(shí)存在的，也間接證明了盡管 不是實(shí)數(shù)，但它確實(shí)是有意義的.萊布尼茨問(wèn)題重現(xiàn)了卡爾丹問(wèn)題中負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，但是矛盾更明顯、更突出，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解釋，實(shí)數(shù)集不夠用了，怎么辦？

生4：擴(kuò)大實(shí)數(shù)的范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的必要性，進(jìn)而引出本節(jié)課的課題.

2.類比遷移，重溫?cái)U(kuò)充

數(shù)的發(fā)展史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，歷史上對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)總是在矛盾中不斷發(fā)展，讓我們一起回顧歷史上數(shù)系的擴(kuò)充歷程，

師：遠(yuǎn)古人類為了計(jì)數(shù)，用“結(jié)繩”“堆石”等方法表示個(gè)數(shù)，創(chuàng)造了自然數(shù)，又把表示“什么也沒(méi)有”的“0”也歸入自然數(shù)，于是形成了自然數(shù)集．因此，自然數(shù)是被“數(shù)”出來(lái)的．后來(lái)，人們打獵歸來(lái)遇到了分配問(wèn)題，如5個(gè)人獵獲3只羊，該如何分配獵物呢？于是產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)．因此，分?jǐn)?shù)是被“分”出來(lái)的．那么，負(fù)數(shù)又是如何產(chǎn)生的呢？負(fù)數(shù)的產(chǎn)生與債務(wù)有關(guān)，據(jù)《九章算術(shù)》記載，用紅色算籌（正算）表示收人或盈余，用黑色算籌（負(fù)算）表示支出或債務(wù)，并提出“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”因此，負(fù)數(shù)是被“欠”出來(lái)的．至此，數(shù)集就擴(kuò)充到了有理數(shù)集．約2500年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希伯斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度是個(gè)奇怪的數(shù)，這個(gè)數(shù)既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，于是開(kāi)始猜想在有理數(shù)之外，是否還存在別的數(shù)．幾百年之后，無(wú)理數(shù)終見(jiàn)天日，形成了我們迄今為止學(xué)到的最大數(shù)集一一實(shí)數(shù)集.

師：從上面數(shù)集的擴(kuò)充史可以看出，歷史上每一次數(shù)集的擴(kuò)充，都來(lái)自生產(chǎn)生活中的需求．同時(shí)，數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求也進(jìn)一步推動(dòng)了數(shù)集的發(fā)展．?dāng)?shù)集從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充路徑如圖1所示.

問(wèn)題3：每一次數(shù)集的擴(kuò)充，都有哪些特點(diǎn)？

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在小學(xué)和初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了上述數(shù)的發(fā)展史，這是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)．讓學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降的，幫助學(xué)生梳理數(shù)集擴(kuò)充的過(guò)程，從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的每一次擴(kuò)充都源于實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題的需要.

問(wèn)題4：我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算及滿足的運(yùn)算律叫作一個(gè)數(shù)系，那么，每一次數(shù)集擴(kuò)充后，在運(yùn)算法則和運(yùn)算律上遵循什么規(guī)則呢？試完成表1.

表1

追問(wèn)：這幾次數(shù)系擴(kuò)充有哪些共同特點(diǎn)？

生：都引入了新數(shù)，原有的運(yùn)算在新的數(shù)集中可以實(shí)施，加法和乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律仍然成立.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生梳理已經(jīng)學(xué)習(xí)的從自然數(shù)集逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集所體現(xiàn)的規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括與表達(dá)能力，為數(shù)系的再一次擴(kuò)充及如何擴(kuò)充打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，突破本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)．

師：每一次數(shù)系的擴(kuò)充都是因?yàn)樵瓟?shù)系中的“數(shù)”不夠用了，每一次都引入了“新數(shù)”，原有的運(yùn)算律在新的數(shù)系中仍然適用，解決了原數(shù)系中不能解決的運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程就是不斷發(fā)現(xiàn)和解決矛盾的過(guò)程，數(shù)的發(fā)展也是如此，

3.類比實(shí)數(shù)，建構(gòu)新知

問(wèn)題5：回到卡爾丹和萊布尼茨所研究的數(shù)，即 和 .對(duì)于 和 ，如何讓它

們有意義呢？

生6： 可以寫成 ， 可以寫成 .要使 和 有意義，只要 有意義，那么所有負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題就都解決了．因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為找一個(gè)數(shù)使得它的平方等于-1.

【設(shè)計(jì)意圖】任何一個(gè)負(fù)數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為它的絕對(duì)值與-1之積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何解決-1的開(kāi)平方運(yùn)算.類比有理數(shù)系的擴(kuò)充，需要引入一個(gè)新數(shù)，使其平方為-1，讓學(xué)生意識(shí)到引入新數(shù)的必要性和必然性.

追問(wèn)：根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則，你認(rèn)為應(yīng)該如何合理規(guī)定新數(shù)？

生，：新數(shù)與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，加法和乘法的運(yùn)算律始終保持不變.

【設(shè)計(jì)意圖】類比有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的規(guī)則，對(duì)實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)及四則運(yùn)算，將實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，體現(xiàn)擴(kuò)充過(guò)程中理性思維的作用．

PPT展示：瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）最早引入虛數(shù)單位i（取自imaginary一詞的詞頭），并規(guī)定 i²=-1 ，且實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)原有的關(guān)于加法與乘法的運(yùn)算律（包括交換律、結(jié)合律和分配律）仍然成立.

問(wèn)題6：引人虛數(shù)單位i后，你能求出方程 x²=-1 的解嗎？

生8：求出方程 x²=-1 的解為i.

生：方程 x²=-1 應(yīng)該還有一個(gè)根 -i 追問(wèn)：能寫出卡爾丹和萊布尼茨所研究的數(shù)了嗎？生0：5±√-15=5±√I5i，√6±√-2=√6±√2i【設(shè)計(jì)意圖】呼應(yīng)問(wèn)題情境，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.

我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)．如圖2，數(shù)軸上的點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1，點(diǎn) A^′ 對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)-1．如果將^-1 表示為1乘-1，那么-1可以看作將數(shù)軸上的點(diǎn) A 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180^° 得到的點(diǎn) A^′ ．同理，1可以看作（-1）×（-1） ，在數(shù)軸上相當(dāng)于將點(diǎn) A^′ 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180^° 得到點(diǎn) A ·

圖2

問(wèn)題7： i²=-1 可以看作 -1=i×i ，類比實(shí)數(shù)的幾何意義，如何理解i的幾何意義？

生 ₁₁ ：根據(jù)實(shí)數(shù)的幾何意義， -1=1×（-1） 表示將數(shù)軸上的點(diǎn) A 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180^° 得到的點(diǎn) A^′ 因此， -1=1×（-1）=1×i×i 相當(dāng)于將數(shù)軸上的點(diǎn) A 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針作兩次 90^° 的旋轉(zhuǎn)，如圖3所示.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比實(shí)數(shù)的幾何意義，啟發(fā)學(xué)生思考，打破“虛數(shù)即虛構(gòu)”的思維定式，引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)與幾何的聯(lián)結(jié).

追問(wèn)1：將1乘 ^-1 ，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸的反方向上，那么將1乘i后的點(diǎn)落在哪里呢？數(shù)軸上的非零實(shí)數(shù) α_a 乘i后的點(diǎn)又落在哪里呢？

生 ₁₂ ：根據(jù)前面同學(xué)的做法，1乘i后的點(diǎn)相當(dāng)于1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，該點(diǎn)在過(guò)原點(diǎn) o 且垂直于數(shù)軸的直線上，數(shù)軸上的非零實(shí)數(shù) Ψ_a 乘i后的點(diǎn)相當(dāng)于數(shù) Ψ_a 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，該點(diǎn)也在過(guò)原點(diǎn) o 且垂直于數(shù)軸的直線上，如圖4所示.

圖4

師：于是產(chǎn)生了一條新數(shù)軸，該數(shù)軸過(guò)原點(diǎn) o 且垂直于原數(shù)軸．我們稱原數(shù)軸為實(shí)軸，新數(shù)軸為虛軸．任意一個(gè)實(shí)數(shù) α_a 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，任意一個(gè)ai（a≠0） 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上.

追問(wèn)2：我們知道將實(shí)軸上的數(shù)1向右平移一個(gè)單位得到實(shí)數(shù)2，那么將虛軸上的數(shù) Δai 向上平移一個(gè)單位的數(shù)是多少呢？再向右平移一個(gè)單位的數(shù)又是多少呢？

師：我們一起來(lái)看下，ai是將實(shí)軸上的非零實(shí)數(shù) a 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，數(shù) Ψ_a 向右平移一個(gè)單位得到 ，若將 a+1 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針作 90^° 旋轉(zhuǎn)得到的數(shù)為 （圖5）.由此可見(jiàn)，上下平移與i有關(guān)，左右平移與i無(wú)關(guān)．那么，將實(shí)軸上的數(shù) a 向上平移 b 個(gè)單位得到的數(shù)為 a+bi （圖6）.這樣一來(lái)，由實(shí)軸和虛軸確定的平面上的所有數(shù)都可以用數(shù) 表示，我們稱該平面為復(fù)平面．復(fù)平面上的點(diǎn) 與數(shù) 一一對(duì)應(yīng).

圖5

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)追問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生生長(zhǎng)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯思維素養(yǎng)，從而得到復(fù)數(shù)的幾何意義，為后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)相等作鋪墊．

我們把形如 的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中i叫作虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合 C={a+bi|a，b∈R} 叫作復(fù)數(shù)集．復(fù)數(shù)一般用字母 z 來(lái)表示，即 z=a+bi ，其中的 Ψ_a 與 b 分別叫作復(fù)數(shù) z 的實(shí)部與虛部.

4.運(yùn)用新知，深化概念

例1說(shuō)出表2中復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，以及在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

表2

問(wèn)題8：你能根據(jù)例題中復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的不同取值情況，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類嗎？

生 ₁₃ ：根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的不同取值情況，可以對(duì)復(fù)數(shù) 進(jìn)行分類，如圖7所示．

圖7

追問(wèn)：你能得出復(fù)數(shù)集C與實(shí)數(shù)集R之間的關(guān)系嗎？

生4：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖8表示.

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體例子的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的取值情況對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的概念，從而順利得出復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集的關(guān)系．

例2當(dāng)實(shí)數(shù) m 取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) z=m+1+ （m-1）i 滿足下列條件？

（1）實(shí)數(shù);

（2）虛數(shù);

（3）純虛數(shù);

（4）在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第二象限.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題鞏固復(fù)數(shù)的分類及其幾何意義，進(jìn)一步熟悉復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

問(wèn)題9：類比向量相等的定義，你能說(shuō)出復(fù)數(shù)相等的定義嗎？

生 ₁₅ ：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等就是復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的點(diǎn)重合，只需復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)相等即可．因此，復(fù)數(shù)相等可以定義為 a+bi= c+di?a=c 且 b=d ：

追問(wèn)：結(jié)合兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，完成例3.

例3求滿足下列條件的實(shí)數(shù) 的值.

（1） （x+y）+（y-1）i=（2x+3y）+（2y+1）i （2） （x+y-3）+（x-2）i=0. （204

【設(shè)計(jì)意圖】引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，為了保證對(duì)象的確定性，需要明確兩個(gè)元素相等的含義，教師要培養(yǎng)學(xué)生具有這種意識(shí)．

5.課堂小結(jié)，理性升華

問(wèn)題10：通過(guò)本節(jié)課，你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些方法？

追問(wèn)：回顧數(shù)系的擴(kuò)充史，你有哪些感悟？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)本節(jié)課知識(shí)的回顧、總結(jié)，以及教師補(bǔ)充提煉的方法，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的認(rèn)

識(shí)，幫助學(xué)生體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．同時(shí)，對(duì)數(shù)系擴(kuò)充史的回顧，讓學(xué)生體會(huì)了學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要意義.

6.作業(yè)布置

必做題：人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第七章習(xí)題7.1的第1題、第2題和第3題.

拓展題1：通過(guò)網(wǎng)絡(luò)閱讀沈致遠(yuǎn)先生的《說(shuō)數(shù)》一文，并探尋文中最后提出的問(wèn)題的答案．（問(wèn)題：數(shù)的發(fā)展史是否還有新的篇章？）

拓展題2：搜集最美數(shù)學(xué)公式 e^iπ+1=0 的相關(guān)資料，了解該公式的優(yōu)美之處.

【設(shè)計(jì)意圖】必做題是使學(xué)生在課后對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、相關(guān)概念、分類及復(fù)數(shù)相等的含義進(jìn)行鞏固加強(qiáng)．拓展題是為了讓學(xué)生了解數(shù)的發(fā)展史，引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)更廣泛的興趣，激勵(lì)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的奧秘．

四、教學(xué)啟示

復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是數(shù)學(xué)家們辛勤耕耘的結(jié)果，是思想觀念的一種突破．作為復(fù)數(shù)的章起始課，整節(jié)課從HPM視角出發(fā)，以探源（歷史溯源）、問(wèn)徑（問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)）、破繭（思維突破）為主線，實(shí)現(xiàn)由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到任務(wù)生成的復(fù)數(shù)概念構(gòu)建，有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生理解“為什么學(xué)？學(xué)什么？怎樣學(xué)？學(xué)得怎么樣？”等問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，真正發(fā)揮了概念教學(xué)的育人功能.

1.歷史溯源，了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷程

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程.”單從知識(shí)獲取的層面而言，學(xué)生即使不了解數(shù)學(xué)史，也能夠在考試中完成很多與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問(wèn)題的求解．但是，數(shù)學(xué)是自然的，在教學(xué)中通過(guò)重構(gòu)數(shù)學(xué)史，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的歷程，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)性，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生形成適應(yīng)終生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格發(fā)揮重要的作用.

2.問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)，推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題.”在教學(xué)中，教師要努力探索概念背后的深層次數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生成為問(wèn)題探究的主體，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題鏈的形式，分解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，形成知識(shí)遷移．當(dāng)然，問(wèn)題鏈的設(shè)置要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，兼?zhèn)鋸V度、深度與關(guān)聯(lián)度，使問(wèn)題鏈成為學(xué)生思維的觸發(fā)器，充分調(diào)動(dòng)已有的經(jīng)驗(yàn)去解決遇到的新問(wèn)題，親身經(jīng)歷概念生成和生長(zhǎng)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的自主探究.

3.思維突破，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”這些素養(yǎng)的形成需要學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題情境中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的完整過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，要先培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維．理性思維是人類思維的高級(jí)形式，是人們把握客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的思維活動(dòng).數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)是思維的教學(xué)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的理性思維．因此，在教學(xué)過(guò)程中，將理性思維的培養(yǎng)嵌入概念建構(gòu)的每個(gè)環(huán)節(jié)，才能讓學(xué)生在“知其然”“知其所以然”的過(guò)程中，真正發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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