由 (a+1)(b+1)=a+b+ab+1 想到的

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）08-0003-01

初看 （a+1）（b+1）=a+b+ab+1 似乎沒(méi)有什么特別之處，這不就是一個(gè)簡(jiǎn)單的恒等變形嗎？仔細(xì)看，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)恒等變形有其特點(diǎn)，這個(gè)特點(diǎn)就是 ， a+b+ab 這三個(gè)式子都加上了數(shù)字1.仔細(xì)再看，當(dāng) a ， b 互為相反數(shù)時(shí)，這個(gè)式子就是平方差公式；當(dāng) a ， b 相等時(shí)，這個(gè)式子就是完全平方公式，它們是初中階段兩個(gè)重要的公式，除了這些，好像沒(méi)有其他特別之處了.很多教師可能會(huì)說(shuō)：“我們的學(xué)生都熟練地掌握了上述恒等變形，因?yàn)樗A(chǔ)、太簡(jiǎn)單了.”

事實(shí)是這樣嗎？我們看下面這個(gè)問(wèn)題，

問(wèn)題：黑板上寫有0，1，2，3，…，9共十個(gè)數(shù)字，每次操作時(shí)先從黑板上的數(shù)中任意選取兩個(gè)數(shù) a ，b擦掉，然后在黑板上寫上數(shù) a+b+ab ，則經(jīng)過(guò)9次操作后，黑板上剩下幾個(gè)數(shù)？剩下的數(shù)能確定嗎？如果能確定，是多少？如果不能確定，試說(shuō)明理由.

這個(gè)問(wèn)題的解決要經(jīng)過(guò)9次操作，而且每次操作都是從黑板上的數(shù)中任意選取兩個(gè)數(shù)，很顯然，每次操作后黑板上少1個(gè)數(shù)，9次操作后，黑板上只剩下1個(gè)數(shù)，直覺(jué)告訴我們，這個(gè)數(shù)是確定的．如果不確定，這個(gè)問(wèn)題就沒(méi)意義了，這個(gè)數(shù)大概多大？幾百，幾千，幾萬(wàn)，？數(shù)量級(jí)是多少？

由于所取兩個(gè)數(shù)的任意性，理論上可以一一嘗試，有興趣的讀者可以算一算．但是這個(gè)操作單調(diào)重復(fù)、費(fèi)時(shí)費(fèi)力，因此，要尋求變化過(guò)程中不變的規(guī)律．也就是說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是什么？或者這個(gè)問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)是什么？筆者曾與很多初中數(shù)學(xué)教師交流過(guò)這個(gè)問(wèn)題，他們的反饋既在意料之中，又在情理之中，意料之中的是，不知從何思考，無(wú)法下手，無(wú)從獲得問(wèn)題的答案；情理之中的是，日常教學(xué)中很少接觸類似的問(wèn)題，不常規(guī)自然就是困難的，不得不說(shuō)，這是一個(gè)構(gòu)思極其巧妙的問(wèn)題，如何想到建立每次擦掉的兩個(gè)數(shù) a ， b 分別加1后，與寫上的數(shù) a+b+ab 加1之間的關(guān)系？也就是找到恒等變形 （a+1）（b+1）=a+b+ab+1 ，然后進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而獲得問(wèn)題的答案.

初中數(shù)學(xué)中，我們常常討論加法與乘法兩種運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．這些運(yùn)算都可以歸結(jié)為 a+b+ab+1 這種簡(jiǎn)單的形式．僅僅就這個(gè)式子而言，無(wú)論是從左到右，還是從右到左，運(yùn)算（或推導(dǎo)）的難度都不大，但如何評(píng)價(jià)學(xué)生是否掌握了這個(gè)式子？可以說(shuō)這個(gè)式子有很多變式，甚至有很多“花樣”.這需要在復(fù)雜的問(wèn)題情境中把握基本的關(guān)系．在某種程度上，整個(gè)初中數(shù)學(xué)的代數(shù)運(yùn)算就是在“整”這樣一個(gè)式子.

如何思考、解決這個(gè)問(wèn)題，前面給出了提示，筆者對(duì)此不展開(kāi)介紹，過(guò)程留給讀這本刊物的讀者．這個(gè)問(wèn)題的答案是3628799，這是一個(gè)很大的數(shù)．筆者的自的是通過(guò)這個(gè)有別于日常教學(xué)的問(wèn)題，讓學(xué)生掌握認(rèn)識(shí)變化過(guò)程中的不變性的方法，發(fā)現(xiàn)不變性，感受對(duì)代數(shù)恒等式及代數(shù)運(yùn)算不同水平的理解、掌握和靈活應(yīng)用程度.