單位化思想統(tǒng)領(lǐng)下除法運算的學習路徑

單位化思想是一種用“單位”來量化研究對象，從而簡化問題解決過程的思維策略。在小學數(shù)學學習中，單位化思想貫穿計數(shù)、計算、測量等多個領(lǐng)域。尤其是在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標\"實施以后，“計數(shù)單位\"作為構(gòu)建運算一致性的關(guān)鍵基礎(chǔ)備受重視。借助計數(shù)單位，既能對運算對象進行量化，又能深入剖析運算背后的思維邏輯。然而，在除法教學中，由于其存在“等分除”與“包含除”兩種意義，學生想要借助計數(shù)單位來把握運算的一致性存在一定困難。為解決這一難點，筆者以計數(shù)單位為核心概念，依托“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元，精心設(shè)計“等分除模型\"\"包含除模型\"\"等分、包含并行模型”三種學習路徑，以此開展單位化思想統(tǒng)領(lǐng)的教學實踐，幫助學生更好地把握除法運算的一致性，實現(xiàn)對除法運算本質(zhì)的深刻理解。

一、把握除法運算一致性的難點

根據(jù)2022年版課標，數(shù)與運算的教學應(yīng)強調(diào)計數(shù)單位的重要性，引導學生體會數(shù)的運算的一致性。在除法運算中，一致性體現(xiàn)為計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相除。然而，除法運算具有復雜性，它建立在平均分的基礎(chǔ)上，可分為等分除、包含除兩種模型。其中，“等分除\"強調(diào)將整體平均分成若干份，每份的數(shù)量相等；“包含除”則側(cè)重于看一個數(shù)里面包含了多少個另一個數(shù)。這種差異使得除法運算的意義難以用單一的“計數(shù)單位相除\"來概括和解釋。

此外，教材的編排也對除法運算一致性的把握有影響。以人教版教材為例，其在除法兩種意義的布局上較為均衡。在起始階段，無論是除法意義還是除法運算，教材對“等分除\"和“包含除\"基本都是平均著力。從二年級下冊開始，則在不同年段交替排布兩種意義的除法運算。但二年級下冊的“有余數(shù)除法\"以及四年級上冊的“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，教材都只安排了“包含除”情境。

進一步審視“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"單元的教學內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)該單元對“計數(shù)單位相除\"與“想幾個幾”算理的編排較為分散，內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性不強。具體而言，在\"口算除法\"一課中，例1、例2、例8都較好地體現(xiàn)了除法運算的一致性。而在“筆算除法”一課中，只有例6呈現(xiàn)了“18除61個十”，計數(shù)單位明顯，其余哪怕是關(guān)鍵課例1中也沒有呈現(xiàn)計數(shù)單位；例1、例2、例5都通過呈現(xiàn)“幾個幾\"來理解算理，其余例題則均沒有呈現(xiàn)具體算理。

二、“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"的學習路徑

在除法運算中，無論是“等分除”還是“包含除”，其本質(zhì)都是將問題中的數(shù)量或?qū)ο筠D(zhuǎn)化為統(tǒng)一的單位或標準：“等分除\"的結(jié)果就是每份數(shù)，即單位量；“包含除\"則是將每份數(shù)作為標準進行平均分。兩者都蘊含著單位化思想?；诖?，筆者以單位化思想為統(tǒng)領(lǐng)，分別從“等分除\"“包含除\"“等分、包含并行\(zhòng)"三個維度設(shè)計“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"的學習路徑，并選取三位教齡相近的區(qū)骨干教師在同學校水平相當?shù)娜齻€四年級班級進行了教學實踐。

（一）指向計數(shù)單位等分的“等分除模型”學習路徑

教師A在甲班實施“等分除模型\"的學習路徑。該學習路徑通過計數(shù)單位個數(shù)的等分得到相應(yīng)的計數(shù)單位個數(shù)，突出“計數(shù)單位等分\"的單位化思想，讓學生感悟“單位\"大，“數(shù)”小，不夠分，因而需要轉(zhuǎn)化成小“單位\"和天“數(shù)”，使其“夠分”，從而體會算理與算法的一致性。具體實施過程包括以下三個任務(wù)。

任務(wù)一：684本數(shù)學簿平均分給6個年級，每個年級分到幾本？

該任務(wù)有三種表征方式。

（1）程序表征：采用豎式計算的方式，即通過規(guī)范的豎式運算步驟得出結(jié)果。（2）直觀表征：借助形象的圖式，如小方塊或其他圖形，將684本數(shù)學簿按6個年級進行劃分，使分配的過程和結(jié)果直觀可見。

（3）抽象表征：從計數(shù)單位的角度分析，先計算百位上的6（即6個百），將其除以6，得到1個百。接著計算十位上的8（即8個十），除以6，商1余2，也就是得到1個十，余下2個十。再把余下的2個十與個位上的4（即4個一）合起來，得到24個一，將其除以6，得到4個一。最終得出結(jié)果：每個年級分到114本。

在教學開始前，教師先讓學生完成任務(wù)一，對學生展開前測。學生需要想辦法說明自己的計算過程，并利用直觀表征厘清計數(shù)單位的細分過程。借此，喚醒學生在“除數(shù)是一位數(shù)的除法”一課習得的計數(shù)單位等分的學習經(jīng)驗，讓學生主動用分小棒的形式呈現(xiàn)等分過程，并在對應(yīng)的抽象表征中明晰豎式的程序表征（如圖1）。

任務(wù)二：684本數(shù)學簿平均分給20個班級，每個班級分到幾本？

該任務(wù)有兩種表征方式。

（1）程序表征：通過列豎式進行計算。

（2）抽象表征：從計數(shù)單位出發(fā)，先用68個十除以20，商3余8，即得到3個十，余下8個十。再將余下的8個十與4個一合起來，得到84個一，將其除以20，商4余4，也就是得到4個一，余下4個一。

教師讓學生基于計數(shù)單位等分的學習經(jīng)驗，繼續(xù)嘗試完成任務(wù)二。學生需要充分運用程序表征和抽象表征，理解同樣是6個“百”、8個“十\"以及4個“一”，平均分給20個班級，分法會有什么差異。據(jù)此，教師引導學生在組內(nèi)用小棒分一分，寫一寫過程，并與大家交流分享（如圖2）。在此基礎(chǔ)上，讓學生結(jié)合情境理解豎式計算每步的實際意義，夯實程序表征。

此任務(wù)是對本課學習內(nèi)容的鞏固延伸。該任務(wù)主要以程序表征的形式呈現(xiàn)。學生需要通過規(guī)范的豎式計算程序，逐步計算出結(jié)果。借助這一任務(wù)，教師能夠強化學生對“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"的理解和運算能力，同時檢驗其對單位化思想的運用是否熟練。

這一學習路徑切人了原教材沒有安排的“等分除”，深化了“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"的運算意義。同時，改變了先學習“商是一位數(shù)\"再學習“商是兩位數(shù)\"的教材布局，直接探究“商是兩位數(shù)”，進一步凸顯不同計數(shù)單位的等分，使學生扎實理解“大單位\"不夠分，需轉(zhuǎn)化為“小單位\"繼續(xù)分的方法，從而實現(xiàn)數(shù)意義與運算的一致性。

（二）指向以“每份數(shù)”為單位度量“總數(shù)”的“包含除模型\"學習路徑

教師B在乙班實施“包含除模型\"的學習路徑。該學習路徑以“每份數(shù)\"為單位去度量“總數(shù)\"（被除數(shù)）里有這樣的“幾份”，突出“除法是連續(xù)減若干個相同數(shù)\"的本質(zhì)，從而讓學生感悟算理與算法的一致性。具體實施過程包括以下三個任務(wù)。

任務(wù)一：有92本故事書，若每班分配30本，可以分給幾個班？

該任務(wù)有三種表征方式。程序表征為列豎式計算 92÷30=3…2 。直觀表征為用圖形表示分書的過程。抽象表征為\"92里有3個30，還余下2個”。

教師引導學生完成任務(wù)一，要求學生列出算式并嘗試解決。教師收集學生典型的正確表征方式，展現(xiàn)學生的學習情況。在此基礎(chǔ)上，借助直觀表征中“每份30\"的圖式，幫助學生構(gòu)建以“每份數(shù)”為標準單位度量“總數(shù)”（被除數(shù)）的經(jīng)驗。不僅要讓學生知道92里面有這樣的3個30，而非30個30，糾正圖3所示的錯例，還要讓他們明晰連續(xù)減去3個相同的數(shù)（每份30）突出了除法的本質(zhì)，修正圖4虛線框內(nèi)\"9\"的含義。由此，對接程序表征和抽象表征，使學生理解運算中算理與算法的一致性。

任務(wù)二：計算 920÷30 門

該任務(wù)有兩種表征方式。程序表征為列豎式 計算，抽象表征為“因為92里面有3個30，所以920 里面有30個 30^′′ 。

教師讓學生基于任務(wù)一的經(jīng)驗，繼續(xù)嘗試完成任務(wù)二，并交流分享抽象表征方式，即由“92里面有3個30\"類推出“920里面就有30個30”。同時對接程序表征，使學生明晰商3應(yīng)該寫在十位上。由此，再次強化以“每份30\"為單位去度量“總數(shù)\"920的過程。

任務(wù)三：完成豎式計算 84÷20.364÷70.642÷ 30，并拓展思考如何通過改動算式 84÷20 來編制新題目，包括改變被除數(shù)個位數(shù)字或百位數(shù)字兩種方式。

這一學習路徑將原教材中被除數(shù)無關(guān)聯(lián)的兩道例題 92÷30 ”和“ 178÷30^? ，改變?yōu)楸怀龜?shù)緊密關(guān)聯(lián)的 92÷30 ”和‘ 920÷30… 。這不僅連續(xù)強化了“包含除”以“每份數(shù)”作為標準單位度量“總數(shù)\"的過程，還發(fā)展了學生的運算推理能力。學生通過將“92個一\"和\"92個十\"都\" ÷30 ”，得到“3個一\"與“3個十”，從而自然對接\"計數(shù)單位等分\"的思想，以此實現(xiàn)運算的一致性，并提前切入“商是兩位數(shù)的除法\"的學習。

（三）指向計數(shù)單位等分與每份數(shù)單位度量融合的“等分、包含并行模型”學習路徑

教師C在丙班實施“等分、包含并行模型\"的學習路徑。由于“等分除\"和“包含除\"都可以看作把一個整體數(shù)量分成若干相同部分的過程，因此兩者并行同樣可以成為除法運算的一條學習路徑。

任務(wù)一：有92本數(shù)學簿，每班分配30本，可以分給幾個班？

該任務(wù)有三種表征方式。程序表征為 92÷30 的豎式計算，直觀表征為圖式，抽象表征為“92里面有幾個30”以及 30×3+2=92 。

教學開始前，教師對學生展開前測，要求學生完成任務(wù)一，用多種方法表示結(jié)果。教師利用前測中的正確表征方式，圍繞“這些方法你看得懂嗎？”“為什么商寫在個位上？”等問題，引導學生展開討論，從而聚焦以“每份30\"為單位度量“總數(shù)\"92的過程。

任務(wù)二：168本數(shù)學簿，平均分給12個班，每班分到幾本？

該任務(wù)有兩種表征方式。程序表征為 168÷12 的豎式計算，直觀表征為圖式。

通過對任務(wù)一“包含除\"的學習討論，學生已初步習得了“除數(shù)是兩位數(shù)的除法\"的算理算法。在此基礎(chǔ)上，教師切入“等分除\"的教學，結(jié)合學生對任務(wù)二的正確表征，引導學生借助計數(shù)器理解“計數(shù)單位等分\"的過程（如圖5），使學生再次直觀體會計數(shù)單位\"百\"\"十\"\"一\"的轉(zhuǎn)化，理解細分個數(shù)，實現(xiàn)數(shù)意義與運算的對接。

任務(wù)三：完成豎式計算 273÷30.703÷80.612÷ 20，312÷60 ，以及豎式填空 780÷?0=?? 、□ 80÷ 4?=? ○

這一學習路徑既涵蓋教材中“包含除\"的素材，又將“包含除”情境改變?yōu)椤暗确殖?，使“包含除”與“等分除”兩者并行，讓學生同時體會將每份數(shù)作為度量單位與計數(shù)單位等分兩種解決問題的思想策略，以單位化思想凸顯運算的一致性。

三、除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的實踐反思

三位教師分別使用上述三種學習路徑進行教學之后，又在同日下午同時對所教班級的學生進行了后測。具體后測題如下。

1.口算 280÷40 可以這樣思考。

（1）想乘法做除法 （2）想表內(nèi)除法 （ ×40=280 28÷4= （204 280÷40= 280÷40=

2.算一算，填一填。

（1）20）163（2） ① 被除數(shù)前兩位不夠除，要看前位，商寫在位。② 括號里最大填幾。

3.有264個面包，每12個裝一盒，可以裝幾盒？右邊豎式虛線方框里的數(shù)表示的意思是。

A.先裝了24個B.先裝了240個C.先裝了240盒

4.豎式計算。

（1）40）94（2）80）235（3）31）135

表1為甲、乙、丙三個班級的后測數(shù)據(jù)。表中數(shù)據(jù)表明，本內(nèi)容的三種學習路徑都較好地實現(xiàn)了算理算法的一致性。從算理來著，學生在“想乘法做除法\"和“想表內(nèi)除法\"這兩種理解的表現(xiàn)上幾乎沒有多大差異。從算法來看，對于第4題中的三道豎式計算，學生的正確率均達 80% 及以上；而對于商的書寫位置及“括號里最大填幾”，學生的正確率也達到了 90% 及以上。同時，這三種學習路徑也存在有待改進之處。學生對“被除數(shù)前兩位不夠除，要看前位”這一算法的感悟不夠深刻，且20）163計算出錯的原因幾乎都集中于沒有正確表示“商乘除數(shù)\"的積。而在對算理實際意義的理解上，甲班與其他兩個班級的差距較大，甚至超過了10個百分點。

基于以上分析，這三種學習路徑給教師的除法運算教學帶來如下啟示。首先，借助小棒、計數(shù)器等直觀表征方式，從“包含除”“等分除\"兩種意義凸顯單位化思想，全面理解除法意義，有助于實現(xiàn)對除法運算一致性的理解。其次，結(jié)合具體情境，適當強化運算的實際意義，有助于學生把握計算的算理。最后，利用商的變化規(guī)律，可以有效勾連與小數(shù)除法、分數(shù)除法等知識的內(nèi)在一致性，培養(yǎng)學生的推理能力。

總之，以單位化思想統(tǒng)領(lǐng)除法運算的教學，對于實現(xiàn)除法意義的理解以及運算教學的一致性具有重要的意義和作用。在后續(xù)小數(shù)除法、分數(shù)除法的運算教學中，教師可繼續(xù)沿用單位化思想，探索實現(xiàn)除法運算一致性的學習路徑。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）