相對性眼光的“感知力”

相對性眼光具有“重新塑型整體、重新把握關(guān)系、重新聚焦對象\"的重組功能[1]，發(fā)揮這樣的認知功能可以實現(xiàn)“隱性內(nèi)容顯性化、抽象內(nèi)容具象化、獨立對象結(jié)構(gòu)化\"的認知功效[2]。而功能的發(fā)揮與功效的實現(xiàn)依賴于“如何看\"的功力，這樣的功力作為人的認知能力主要表現(xiàn)為觀察過程中的“感知力”。

這里所說的感知力特指視覺觀察過程中表現(xiàn)出來的能力，兼具“感覺（Sensation）\"和“知覺（Per-ception）\"的意義。3]如果把感覺視為對觀察對象表層信息的直接反映，那么知覺則包含對信息的加工和組織的過程。下面從無中生有的制作、“視幾為一\"的構(gòu)造、由此及彼的轉(zhuǎn)換以及視靜為動的驅(qū)動四個方面說明相對性眼光的感知力。

一、無中生有的制作

無中生有的制作是觀察者將不存在的對象視為存在，將未發(fā)生的事件視為發(fā)生。所謂\"制作”，指的是在背景的映襯下，借助思維的想象，使得原本虛無的對象被觀察者感覺或感知到的過程。例如，在觀察圖1的過程中，如果要回答“能看見什么？”，可能的答案應(yīng)當是：三個大小相等的圓形；第一行有一個，第二行有兩個。除此之外，似乎沒有更多信息了。也就是說，感知到的信息局限于三個圓形及其空間方位。

如果將圖1中三個圓形的背景稍加改變，將每個圓中的一部分涂色，這時觀察者的感覺就會發(fā)生變化。對于“能看見什么？\"的回答也會隨之改變，不僅包括業(yè)已存在的三個圓形及其空間方位，同時還從無到有地浮現(xiàn)出一個白色三角形，其頂點位于三個圓的圓心。

這樣的視覺現(xiàn)象是意大利心理學(xué)家蓋塔諾·卡尼薩（GaetanoKanizsa，1913—1993）于1955年發(fā)現(xiàn)的，因此被命名為“卡尼薩三角形（KanizsaTrian-gle）\"[4]。事實上，卡尼薩三角形并非真實的存在，而是人的視覺在背景信息的映襯下，無中生有地制作出來的。如果把三個圓形中的陰影刪除，這個白色三角形就會在視覺中消失。

無中生有的制作具有靈活多樣的開放性，不同的制作方式能夠改變、拓展對觀察對象的感知。比如觀察圖3中的長方體，如果要回答“A與 X 哪個點距離觀察者更近？”，就可能出現(xiàn)不同的答案。

在二維的紙面上畫三維的長方體，通常用實線表示外部可見的線段，虛線表示長方體內(nèi)部隱藏的線段。針對同一個長方體，若制作不同的實線與虛線，對長方體方位的感覺就會發(fā)生變化。比如觀察圖4 ① 的感覺是從上向下看，A點到 X 點是自外而內(nèi)、由近及遠；而觀察圖 4② 的感覺恰好相反，是從下向上看，A點到 X 點是自內(nèi)而外、由遠及近。這樣的現(xiàn)象是瑞士晶體學(xué)家路易斯·阿爾貝特·內(nèi)克爾（LouisAlbertNecker，1786—1861）在研究晶體結(jié)構(gòu)時發(fā)現(xiàn)的，因此稱為\"內(nèi)克爾方塊”[5]

同一個長方體，人的視覺可能感知到不同的樣態(tài)，表明無中生有的制作不僅是從無到有的過程，而且伴隨著“未必如此、可能如彼\"的不確定性。正是這樣的不確定性為人類的創(chuàng)造與創(chuàng)新提供了無限的可能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生有更多的機會經(jīng)歷這樣無中生有的制作過程，有益于發(fā)展其創(chuàng)新意識，提升其創(chuàng)新能力。

二、“視幾為一\"的構(gòu)造

相對性眼光不僅具有無中生有的制作能力，在面對較多觀察對象時，還具有“視幾為一\"的構(gòu)造能力，主要表現(xiàn)為對觀察對象的歸類與分組。比如觀察圖5中水平擺放的小球，如果要回答“有多少個小球？”，用習(xí)慣且常規(guī)的眼光看，從左到右或從右到左可以數(shù)出唯一確定的答案為\"6個”。

如果把問題聚焦為“如何著出？”，用不同的眼光就會得到差異、多樣的答案。比如改變左側(cè)3個小球的顏色，觀察者便會不自覺地把顏色相同的小球歸為一類，即將左側(cè)顏色相同的3個小球歸為一類，右側(cè)顏色相同的3個小球歸為另外一類，從而把6個小球分成了兩組（如圖6）。

即便沒有顏色的區(qū)分，按照格式塔心理學(xué)的感知原理，人的視覺會根據(jù)空間位置的“鄰近（Prox-imity）\"以及某種性質(zhì)的\"相似（Similarity）\"等因素，自然而然地對觀察對象進行歸類與分組。比如觀察圖7中的7個小球，就會出現(xiàn)差異且多樣的分組方式，表現(xiàn)出相對性眼光靈活多樣的特征。

如果用自上而下或自左而右這些習(xí)慣且常規(guī)的眼光看，7個小球可以分為上、中、下三組（如圖 8① ），或左、中、右三組（如圖 8② ）。運用這樣的感知方式得到的算式可以表達為 2+3+2=7 。

如果改變這種習(xí)慣且常規(guī)的線性眼光，還可以用構(gòu)造“完形（Gestalt）\"的眼光進行觀察。比如觀察圖9時，若自左而右或從左上向右下著，視覺中會出現(xiàn)兩個平行四邊形（菱形），這時就會觸發(fā)“2個4\"的乘法思維，即將“4個\"視為“一”。由于兩個平行四邊形相鄰處有1個共用的小球，因而得到的算式為 4×2-1=7 。

更進一步，還可以將7個小球按照“三角形\"來分組（如圖10）。由于三個三角形相鄰處的小球重復(fù)了3次，因此對應(yīng)的算式就成為 3×3-2=7 。

用類似的完形眼光還可以構(gòu)造出兩個梯形（如圖11），這時對應(yīng)的算式就成為 5×2-3=7 。

除此之外，還可以結(jié)合前文中所說的“無中生有的制作”，采用不同于前面的構(gòu)造方式，通過添加小球?qū)φw進行重新塑型。比如分別在第一行和第三行無中生有地添加1個小球（如圖12），這時整體形狀就成為一個平行四邊形，對應(yīng)的算式就成為3×3-2=7 。

綜上反映出相對性眼光具有“視幾為一\"的構(gòu)造能力，通過不同的歸類與分組，將復(fù)雜、零散的觀察對象改變?yōu)椤安糠峙c整體\"的結(jié)構(gòu)，就會形成差異且多樣的方法與策略。美國斯坦福大學(xué)神經(jīng)科學(xué)家布魯斯·麥克坎德利斯（BruceMcCandliss）教授把這樣的能力叫作\"集組感知（Groupitizing）”，并通過研究證實集組感知的能力與學(xué)生學(xué)業(yè)成績呈正相關(guān)的關(guān)系，是學(xué)生智力發(fā)展的重要方面。

三、由此及彼的轉(zhuǎn)換

由此及彼的轉(zhuǎn)換主要應(yīng)用于不同觀察對象的比較過程，是發(fā)現(xiàn)不同對象之間關(guān)系的過程與能力。比如圖13中兩條線段相交，形成大小相等的對頂角。但對于低齡兒童來說，要形成對頂角相等的認知是存在困難的。

經(jīng)課堂觀察發(fā)現(xiàn)，對于圖 13① 中的兩個角，學(xué)生都會認為大小相等，但對圖 13② 和圖 ? 中的角就會出現(xiàn)誤判。圖 13② 標記角的扇形大小不同，圖 ? 兩個角畫出的邊長短不同，許多學(xué)生就會誤認為扇形大或畫出的邊較長一方的角更大。

為了使兩個角的相等關(guān)系更為清晰，就需要通過由此及彼的轉(zhuǎn)換改變比較的對象。比如分別將兩個角與相鄰的同一個角合并，將兩個對頂角的比較轉(zhuǎn)換為兩個平角的比較。借助平角相等就不難推理出對頂角相等的結(jié)論（如圖14）。

這種由此及彼的轉(zhuǎn)換發(fā)揮了相對性眼光重新塑型整體的重組功能，實現(xiàn)了將隱性的相等關(guān)系顯性化的認知功效。將這樣的眼光應(yīng)用于數(shù)的計算，對于發(fā)現(xiàn)不同算式之間的關(guān)系，探索算術(shù)以及代數(shù)中的一般性規(guī)律十分有益。比如面對算式 49×51 常規(guī)的眼光與方法是將豎式作為工具，依據(jù)計算的程序得到結(jié)果2499。

由此及彼的相對性眼光則不同，是尋求這個算式與其他算式的關(guān)系，通過不同算式之間的比較實現(xiàn)化未知為已知。 49×51 這一算式的特點是第一個因數(shù)49比50少1，第二個因數(shù)51比50多1，因此可把注意力聚焦于 49×51 與 50×50 或 50² 的關(guān)系上。羅列一些具有類似關(guān)系的算式進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)其中具有一致性的規(guī)律。

據(jù)此有理由猜測 49×51 與 50²–1 的結(jié)果相等，這意味著可以將算式 49×51 轉(zhuǎn)換為易于心算的50²–1 。這種由此及彼的轉(zhuǎn)換改變并超越了常規(guī)的程序化計算，轉(zhuǎn)向了針對算式之間關(guān)系的比較。

由此及彼的轉(zhuǎn)換不僅使具體的計算更為簡便，還為發(fā)現(xiàn)更為普遍的規(guī)律提供了思路。如果用表達變量的字母 a 取代具體的數(shù)，那么以上所有算式間的關(guān)系都可以表示為 （a-1）×（a+1）=a²-1 。更進一步，通過對諸如 48×52=50²-2² 和 47×53=50²-3² 等算式的觀察與比較，就可以得到初中數(shù)學(xué)課程中的平方差公式，用代數(shù)的符號表達為 （a-b）×（a+b）= a²-b² 。

以上過程是將算式 49×51 轉(zhuǎn)換為 50²–1 ，進而納入一個具有相同規(guī)律的結(jié)構(gòu)中，使得隱性的規(guī)律顯性化。凡此表明，由此及彼的轉(zhuǎn)換能夠發(fā)揮相對性眼光的重組功能，實現(xiàn)獨立對象結(jié)構(gòu)化的認知功效。除此之外，相對性眼光的感知力還表現(xiàn)為驅(qū)動觀察對象的過程與能力。下面用初中數(shù)學(xué)課程中平方差公式的直觀證明進一步說明這一能力。

四、視靜為動的驅(qū)動

本刊在2025年4月刊載的《跨越學(xué)段界限的“相對性眼光\"》一文，用小學(xué)與初中數(shù)學(xué)中的實例詳細說明了視靜為動的眼光在認知方面的有效性及其學(xué)段貫通性。8作為初中代數(shù)的課程內(nèi)容，平方差公式承載著從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變與提升的課程價值，同時具有溝通代數(shù)與幾何，提升幾何直觀能力的教學(xué)價值。

用幾何的眼光看平方差公式 a²-b²=（a+b）× （a-b） ，其中的 a² 與 b²（agt;bgt;0） 表達的是大、小兩個正方形的面積（如圖 15① ），因此公式中的 a²-b² 就成為圖 15② 中白色“拐脖形”的面積。

為了直觀證明平方差公式，只需要用視覺看出這個“拐脖形”的面積為 （a-b）×（a+b） 即可。所謂“看出”，就是要盡量避免煩瑣、抽象的代數(shù)運算，實現(xiàn)抽象內(nèi)容的具象化。為此就需要重新塑型圖 15② 中的“拐脖形”，通過視靜為動的驅(qū)動，使其中一個局部的小長方形（表1中圖的陰影部分）發(fā)生平移與旋轉(zhuǎn)的運動，轉(zhuǎn)變?yōu)閷?、長分別為 a-b 和 a+b 的長方形，從而也就實現(xiàn)了公式的直觀證明。詳細過程如表1所示。

表1

以上過程反映出相對性眼光具有使觀察對象從靜止到運動的驅(qū)動力。正是這樣的驅(qū)動力使得觀察對象的空間方位發(fā)生變化，從而使不同對象之間隱性的關(guān)系得以顯現(xiàn)。需要注意的是，驅(qū)動的方式與過程未必是唯一確定的。對于圖 15② 中的“拐脖形”，還可以看作是由兩個具有全等關(guān)系的梯形構(gòu)成的（如圖16）。

通過相對性眼光的驅(qū)動，使其中一個梯形（表2中圖的陰影部分）發(fā)生對稱、旋轉(zhuǎn)和平移的運動，同樣可以將兩個梯形重新塑型為寬、長分別為a-b 和 a+b 的長方形。詳細過程如表2所示。

由此可見，相對性眼光視靜為動的驅(qū)動是將靜止的對象視為運動，通過改變空間方位對觀察對象進行重組，進而實現(xiàn)隱性關(guān)系的顯性化。因此應(yīng)當重新認識數(shù)學(xué)課程中“圖形的運動\"的相關(guān)內(nèi)容，諸如對稱、平移和旋轉(zhuǎn)等運動方式，不僅是等待獲取的知識，更應(yīng)當視為各個學(xué)段需要逐步提升與加強的感知力。

以上通過具體實例，歸納出相對性眼光的感知力主要表現(xiàn)為“無中生有的制作、視幾為一的構(gòu)造、由此及彼的轉(zhuǎn)換、視靜為動的驅(qū)動”四個方面。這樣的能力能夠使人在觀察過程中實現(xiàn)在對立中看到統(tǒng)一，具體表現(xiàn)為：在虛無中看到存在、在零散中看到結(jié)構(gòu)、在孤立中看到聯(lián)系、在靜止中看到運動。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）