應(yīng)用不同數(shù)學(xué)思想解答三角函數(shù)問(wèn)題的分析

1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用，具體是結(jié)合三角函數(shù)圖象回答相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷三角函數(shù)的周期、對(duì)稱軸等具體性質(zhì)，從而對(duì)問(wèn)題做出解答.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以解答大部分三角函數(shù)問(wèn)題，一般解題思路為：（1）已知三角函數(shù)解析式，則根據(jù)周期和對(duì)稱軸畫出具體圖象，已知圖象，找到對(duì)應(yīng)周期和對(duì)稱軸，列出相關(guān)等式；（2）根據(jù)圖象找到符合題意的情況，列式運(yùn)算；（3）將具體值代入問(wèn)題中，得到最終答案.

例1 已知函數(shù) ，函數(shù) g(x)=f(x)+a 有三個(gè)零點(diǎn) x₁ x₂，x₃ ，則 x₁+x₂+x₃ 的取值范圍為

分析首先根據(jù)已知的三角函數(shù)解析式畫出具體圖象，將函數(shù) g(x)=f(x)+a 有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù) f(x) 與直線有三個(gè)交點(diǎn)，列出符合題意的關(guān)系等式，即可對(duì)問(wèn)題做出解答.

解析 根據(jù)題意畫出函數(shù) f(x) 圖象，如圖1所示：

因?yàn)?g(x)=f(x)+a 有三個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù) f(x) 與 y=-a 在 上有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng) y=-a 位于直線 l₁ 和直線 l₂ 之間，符合題意，由圖象可知 因?yàn)? 所以

2 整體代換思想

整體代換思想主要是指將三角函數(shù)解析式看作整體，對(duì)其進(jìn)行替換，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，得到最終答案的一種解題思想，可以用來(lái)解答三角函數(shù)的部分問(wèn)題.運(yùn)用整體代換思想解答三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路為：（1）將三角函數(shù)解析式看作整體，結(jié)合已知條件對(duì)等式進(jìn)行替換；（2）對(duì)替換后的等式進(jìn)行運(yùn)算，求得具體值，推斷得到具體答案.

例2 已知函數(shù) 1x∈[-2π，2π] 時(shí)，求函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 該題給出了具體三角函數(shù)解析式和定

義域，求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)運(yùn)用整體代換思 z

為求函數(shù) sinz 的單調(diào)遞增區(qū)間，此時(shí)得到遞增區(qū)間

并列出不等式，結(jié)合規(guī)定區(qū)間 [-2π，2π] 得到符合

題意的 x 范圍，即可得知完整答案.

解析

因?yàn)檎液瘮?shù) f(z)=sinz 在區(qū)間 (k∈Z) 內(nèi)單調(diào)遞增，所以 2kπ(k∈Z) ，解得 因?yàn)?x∈[-2π，2π] ，所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為

3 函數(shù)與方程思想

運(yùn)用函數(shù)與方程思想解答三角函數(shù)問(wèn)題，主要是結(jié)合題意構(gòu)建函數(shù)或方程式，解方程或利用函數(shù)具體性質(zhì)解答問(wèn)題，從而得到完整答案.運(yùn)用函數(shù)與方程思想解答三角函數(shù)問(wèn)題，一般思路為：（1）根據(jù)題意，構(gòu)造與三角函數(shù)有關(guān)的方程式或函數(shù)解析式，得到對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)根、判別式或單調(diào)性等；（2）利用方程或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)列式解答，即可得到對(duì)應(yīng)問(wèn)題答案.

例3已知函數(shù) f(x)=sinx-2x+x³+1 ，若 f(m)=3 ，則 f(-m)=

分析該題需要利用函數(shù)的奇偶性解答，首先根據(jù)題意構(gòu)造奇函數(shù)，得到構(gòu)造函數(shù) g(m) 與g(-m) 的關(guān)系式，其次結(jié)合問(wèn)題所求函數(shù)解析式，分析并推斷 f(-m) 與 f(m) 的關(guān)系，即可得到所求值.

解析令 g(x)=sinx-2x+x³

因?yàn)楹瘮?shù) g(x) 定義域?yàn)?

所以函數(shù) g(x) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)?g(-x)=sin(-x)-2(-x)+(-x)³ （

=-(sinx-2x+x³)=-g(x)

所以 g(-m)=-g(m) ，

因?yàn)?f(x)=sinx-2x+x³+1=g(x)+1

所以 f(-m)=g(-m)+1=-g(m)+1=-1. （20

三角函數(shù)的相關(guān)題目中所涉及的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)不正本文所講述的這三種，還包括換元思想，分類討論思想，對(duì)應(yīng)思想，化歸思想，等等.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)知識(shí)中運(yùn)用十分廣泛，不僅是三角函數(shù)，還包括指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)等都能夠運(yùn)用函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.

4結(jié)語(yǔ)

參考文獻(xiàn)：

[1]朱旭波.一類三角函數(shù)問(wèn)題的優(yōu)化解法[J].數(shù)學(xué)通訊，2024(14):34—36+57.

[2]李象林，許修花，崔娟.一類三角函數(shù)問(wèn)題的多種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（7）:83-84.